依托多元技巧，突破初中數(shù)學(xué)幾何解題障礙

【摘要】幾何題目涉及的知識(shí)面廣、題型靈活多變，對(duì)學(xué)生的空間想象能力、邏輯思維能力要求相對(duì)較高，使得學(xué)生在解題時(shí)常常面臨諸多障礙，不僅影響學(xué)生的成績(jī)，也挫傷學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.在日常教學(xué)中向?qū)W生傳授一些解題技巧，不斷提升學(xué)生的幾何問(wèn)題解決能力，已經(jīng)成為一線教師關(guān)注的重點(diǎn).本文結(jié)合解題實(shí)踐，從輔助線、構(gòu)造法、平移法等角度展開探究，旨在幫助學(xué)生順利沖破解題障礙.

【關(guān)鍵詞】初中幾何；解題技巧；課堂教學(xué)

幾何作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)體系的重要組成部分，主要圍繞圖形展開研究，對(duì)學(xué)生的空間想象素養(yǎng)、邏輯思維素養(yǎng)均提出了更高的要求.鑒于幾何知識(shí)的特點(diǎn)，其題目比較靈活，涉及的知識(shí)面較廣，且題目綜合性強(qiáng)、難度較高，歷來(lái)是一塊“難啃的骨頭”.在這一背景下，學(xué)生在解決幾何問(wèn)題時(shí)，常常面臨著諸多困難.鑒于此，教師不僅要重視幾何解題教學(xué)，還應(yīng)全面加強(qiáng)解題技巧指導(dǎo)，以便于學(xué)生在日常解題過(guò)程中，順利突破當(dāng)前的解題障礙，全面提升自身的幾何解題能力.

1"基于輔助線突破解題障礙

在幾何解題中，輔助線扮演著十分重要的角色.尤其是當(dāng)題目中所給出的條件無(wú)法滿足問(wèn)題解答時(shí)，即可通過(guò)添加輔助線等方式，將題目中隱藏的定理、性質(zhì)顯示出來(lái)，進(jìn)而在已知條件和所求問(wèn)題之間搭起橋梁，幫助學(xué)生形成明確的解題思路[1].

例1"如圖1所示，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，D為BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，如果AC=1，S△ABC=√3/2，求AD+1/2BD的最小值.

解析"這一幾何題目難度系數(shù)比較高，題目中所給出的條件遠(yuǎn)遠(yuǎn)無(wú)法滿足解題需求，以至于部分學(xué)生陷入解題困境.鑒于此，可通過(guò)添加輔助線的方式，增加新條件.就本題目而言，即可通過(guò)對(duì)稱點(diǎn)作輔助線的方式，對(duì)所求問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而完成題目的解答.

作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)A′，過(guò)點(diǎn)A′作A′E′⊥AB，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB.

因此，AD+1/2BD的最小值即為A′E′的長(zhǎng)度.

因?yàn)椤螩=90°，AC=1，

S△ABC=√3/2=1/2AC·BC=1/2×1×BC，

所以BC=√3.

又因?yàn)椤螪′AC=∠A′=30°，

所以D′C=ACtan30°=√3/3，

BD′=BC－D′C=√3-√3/3=2√3/3，

所以AD′=BD′=A′D′=2√3/3，

D′E′=1/2BD′=√3/3，

因此，A′E′=A′D′+D′E′=2√3/3+√3/3=√3，

即AD+1/2BD的最小值為√3.

2"利用構(gòu)造法突破解題障礙

構(gòu)造法屬于一種極具創(chuàng)新性的解題方法，蘊(yùn)含著類比、化歸、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，可使得學(xué)生從“山重水復(fù)疑無(wú)路”到“柳暗花明又一村”.因此，當(dāng)學(xué)生遇到解題障礙時(shí)，可巧妙利用構(gòu)造法解題，通過(guò)深入挖掘題目中的隱含條件，并推動(dòng)未知條件向已知條件轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)抽象問(wèn)題具體化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，最終幫助學(xué)生形成清晰的解題思路.

例2"求√x2+4+√（12－x）2+9的最小值.

解析"受到常規(guī)思維的影響，學(xué)生在解答該問(wèn)題時(shí)，基本上都是從代數(shù)的角度進(jìn)行思考.然而在實(shí)際解題中，學(xué)生僅利用代數(shù)知識(shí)很難完成題目的解答，甚至?xí)萑胨季S困境.針對(duì)這一現(xiàn)象，即可采用幾何構(gòu)造法，將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，進(jìn)而在直觀圖形的輔助下進(jìn)行解答[2].

如圖2所示，作AB⊥BC，CD⊥BC，假設(shè)AB=2，CD=3，BC=12，點(diǎn)E在BC上.

設(shè)BE=x，則CE=12－x.

由勾股定理可知：AE=√x2+4，

DE=√（12－x）2+9.

如此，√x2+4+√（12－x）2+9的最小值即可轉(zhuǎn)化為AE+ED的最小值.

當(dāng)A、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，AE+ED存在最小值.

構(gòu)建Rt△AFD，如圖3.

因?yàn)锳F=5，DF=12，

所以AD=√AF2+FD2=√52+122=13，

即√x2+4+√（12－x）2+9的最小值為13.

3"利用平移法突破解題障礙

平移變換是解答幾何問(wèn)題的最常用手段之一.平移法就是在保持圖形大小和形狀不變的情況下進(jìn)行平移，其實(shí)質(zhì)是全等變換[3].因此，在實(shí)際解題過(guò)程中，通過(guò)有效的平移運(yùn)動(dòng)，可幫助學(xué)生突破解題障礙，順利完成題目的解答.

例3"如圖4所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD+BC=3，AC=√3，BD=√6，求梯形ABCD的面積.

解析"就本題目而言，已知條件和所求問(wèn)題之間存在一定的分散性，部分學(xué)生無(wú)法將兩者結(jié)合到一起，進(jìn)而導(dǎo)致學(xué)生無(wú)從下手.鑒于此，教師在開展解題教學(xué)時(shí)，即可引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)平移法，將原本分散的已知條件集中起來(lái)，以便于學(xué)生更好地發(fā)現(xiàn)條件之間的內(nèi)在聯(lián)系，并據(jù)此完成題目的解答.

將BD沿著BC方向平移至CE的位置，最終得到四邊形BCED.

因?yàn)锳D∥BC，

所以四邊形BCED為平行四邊形，

即CE=BD=√6，BC=DE，

所以AE=AD+DE=AD+BC=3.

又因?yàn)锳C=√3，AC2+CE2=AE2，

所以AC⊥CE.

假設(shè)點(diǎn)C到直線AD的距離為h，

則h=AC·CE/AE=√2，

因此，S梯形ABCD=1/2（AD+BC）h=1/2×3×√2=3√2/2.

4"結(jié)語(yǔ)

綜上所述，鑒于初中幾何題目的特點(diǎn)，教師在開展解題教學(xué)時(shí)，應(yīng)基于當(dāng)前學(xué)生的實(shí)際需求，根據(jù)其在解題中面臨的各種困難，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)創(chuàng)建輔助線、構(gòu)造法、平移法等方式，尋找解題新思路，并促使他們?cè)卺槍?duì)性的訓(xùn)練中，逐漸掌握幾何解題技巧.

參考文獻(xiàn)：

[1]李軼男.活用輔助線，巧妙建立聯(lián)系——以初中幾何解題教學(xué)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2024（04）：72-73.

[2]李琴霞.幾何構(gòu)造法在初中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的妙用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2023（20）：67-68.

[3]姚玲玲.逆向思維在初中幾何解題技巧中的應(yīng)用分析[J].新課程導(dǎo)學(xué)，2020（26）：44+48.