融入歸納思想的三類規(guī)律探索試題特征及解題路徑分析

摘要：文章從數(shù)式規(guī)律探索中的猜想歸納思想、圖案規(guī)律探索中的猜想歸納思想、點的坐標(biāo)中的猜想歸納思想三個方面探究歸納思想的考查路徑及考查特征，并提出解題路徑.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；歸納思想；解題路徑

1 數(shù)式規(guī)律探索中的猜想歸納思想

觀察下列運算：

（1）由（2+1）（2－1）=1，得12+1=2－1；（2）由（3+2）（3－2）=1，得13+2=3－2；……

問題：（1）通過觀察，你得出什么規(guī)律？用含n的式子表示出來.

（2）利用（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算：12+1+13+2+14+3+……+12 024+2 023+12 025+2 024（2 025+1）.

試題分析：（1）考查路徑.在數(shù)式規(guī)律探索問題中，考查路徑通常以觀察、猜想、驗證和歸納為核心.這類問題首先通過觀察一系列數(shù)式，要求學(xué)生識別其中隱含的模式或規(guī)律.在該題中，學(xué)生通過分析多個類似的運算式，逐步發(fā)現(xiàn)這些表達(dá)式之間的共性.這一過程不僅考查學(xué)生的觀察力，還考查他們歸納總結(jié)的能力，要求他們能夠從多個具體案例中提取出普遍性的規(guī)律.接著，學(xué)生需要將通過觀察猜想得到的規(guī)律用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示出來，并進(jìn)一步驗證其正確性.這一環(huán)節(jié)要求學(xué)生具有較強的邏輯思維能力，并能夠在復(fù)雜的計算中保持嚴(yán)謹(jǐn)性和準(zhǔn)確性.最終，通過對規(guī)律的歸納，學(xué)生將初步猜想上升為一般性結(jié)論，為后續(xù)的復(fù)雜計算提供依據(jù).在整個過程中，考查的是學(xué)生從具體到抽象、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思維能力，這與數(shù)學(xué)中廣泛應(yīng)用的研究方法和推理模式密切相關(guān).（2）考查特征.數(shù)式規(guī)律探索中的考查特征主要體現(xiàn)在對學(xué)生多層次思維能力的要求上.首先，這類題目通常以簡單的數(shù)式為起點，通過層層遞進(jìn)的形式逐步增加問題的復(fù)雜性，促使學(xué)生深入思考.其次，這類題目不僅考查學(xué)生對數(shù)式的計算能力，更強調(diào)他們的歸納推理能力，要求他們在解決具體問題時能夠保持對整體規(guī)律的把握.題目的設(shè)計往往涉及對多個中間結(jié)果的整合和轉(zhuǎn)化，學(xué)生需要在不斷的驗證中修正和完善他們的猜想，這個過程要求他們具備耐心和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度.最后，這類題目的考查形式通常還會涉及對規(guī)律應(yīng)用的檢驗，通過提出復(fù)雜的計算任務(wù)，進(jìn)一步考查學(xué)生能否靈活運用之前得到的結(jié)論來解決新問題.因此，這類題目綜合性強，層次清晰，是對學(xué)生數(shù)理思維能力的全面考驗.

2 圖案規(guī)律探索中的猜想歸納思想

用同樣規(guī)格的黑、白兩種顏色的正方形，按如圖1所示的方式拼圖，請根據(jù)圖中的信息完成下列的問題：

（1）在圖②中用了塊白色正方形，在圖③中用了塊白色正方形.

（2）按此規(guī)律繼續(xù)鋪下去，那第n個圖形要用塊白色正方形.

（3）如果有足夠多的黑色正方形，能不能恰好用完2 024塊白色正方形，拼出具有以上規(guī)律的圖形？如果可以，請說明它是第幾個圖形；如果不能，請說明你的理由.

試題分析：（1）考查路徑.該類試題通常涉及觀察、猜想、驗證、推廣四個主要步驟.首先，學(xué)生通過觀察給定的圖案及其變化，識別其中的規(guī)律，例如顏色的分布、形狀的擴展、或數(shù)量的增減.其次，學(xué)生要基于觀察到的規(guī)律，提出關(guān)于后續(xù)圖案中白色正方形數(shù)量的猜想，這一過程要求學(xué)生具備初步的推理能力和歸納思維.通過驗證這些猜想是否與后續(xù)圖案一致，學(xué)生進(jìn)一步強化對規(guī)律的理解，并在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出一般性結(jié)論，即關(guān)于任意圖形的白色正方形數(shù)量的預(yù)測公式或規(guī)律.這一考查路徑體現(xiàn)了學(xué)生從具體到抽象、從個別到一般的數(shù)學(xué)思維過程，也是數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)的重要組成部分.（2）考查特征.圖案規(guī)律探索中的猜想歸納思想試題的考查特征集中體現(xiàn)了對學(xué)生多層次思維和邏輯推理能力的全面要求.首先，這類題目通常以直觀的圖形為基礎(chǔ)，但隨著問題的推進(jìn)，學(xué)生需要將對圖形的直觀感知轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)量關(guān)系或結(jié)構(gòu)規(guī)律.這意味著學(xué)生不僅需要具備空間想象力，還要有很強的模式識別能力.其次，這類題目往往要求學(xué)生在具體的圖案規(guī)律基礎(chǔ)上得出一般化的結(jié)論，并進(jìn)一步應(yīng)用這些結(jié)論解決更復(fù)雜的問題.這不僅要求學(xué)生具備扎實的計算能力，還需要他們能夠靈活應(yīng)用已得出的規(guī)律解決新問題，展現(xiàn)出較高的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和創(chuàng)新思維能力.總的來說，這類題目強調(diào)過程性思維的培養(yǎng)，注重考查學(xué)生在面對新問題時的探索能力、邏輯推理能力及綜合應(yīng)用能力，是對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的深度考驗.

3 點的坐標(biāo)中的猜想歸納思想

如圖2，點O（0，0），A（0，1）是正方形OAA1B的兩個頂點，以對角線OA1為邊作正方形OA1A2B1，再以正方形OA1A2B1的對角線OA2作正方形OA2A3B3，……，依此規(guī)律，點A10的坐標(biāo)是.

試題分析：（1）考查路徑.該類試題通常以圖形的動態(tài)變化為背景，引導(dǎo)學(xué)生通過逐步分析坐標(biāo)的變化規(guī)律來進(jìn)行推理和歸納.在此類問題中，學(xué)生首先需要明確幾何圖形的構(gòu)建規(guī)則，并觀察每一步操作如何影響點的坐標(biāo)變化.其次，通過對規(guī)律的準(zhǔn)確把握，學(xué)生能夠得出目標(biāo)點的具體坐標(biāo)，完成問題的求解.這種考查路徑凸顯了從觀察幾何構(gòu)造到推導(dǎo)坐標(biāo)變化，再到得出一般性結(jié)論的完整思維過程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的系統(tǒng)性和遞進(jìn)性.（2）考查特征.該類問題主要表現(xiàn)為對學(xué)生多種數(shù)學(xué)能力的綜合考查.首先，這類題目通常涉及動態(tài)的幾何構(gòu)造過程，要求學(xué)生能夠在復(fù)雜的圖形變化中保持清晰的邏輯思維.其次，這類題目往往包含對多個步驟的分析與總結(jié)，要求學(xué)生能夠在連續(xù)變化的條件下歸納出穩(wěn)定的規(guī)律，并通過代數(shù)或幾何手段進(jìn)行驗證.這考驗了學(xué)生的歸納推理能力和運算能力，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的結(jié)構(gòu)化思維特征.此外，這類題目通常設(shè)計成逐層遞進(jìn)的形式，考查學(xué)生在處理簡單情況后，能否夠推廣到復(fù)雜情境，從而得出最終解答.總的來說，這類題目不僅要求學(xué)生具備較強的觀察力和推理能力，還需要他們具備靈活運用知識的能力，能夠?qū)缀?、代?shù)、推理等多方面的知識有機結(jié)合起來，展示出對問題的深刻理解和綜合解決能力.這種題目形式強調(diào)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的系統(tǒng)性和遞進(jìn)性，是對學(xué)生綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)的深度檢驗.

4 解題路徑

4.1 觀察與初步猜測

解題路徑的第一步是引導(dǎo)學(xué)生詳細(xì)觀察題目所給出的數(shù)值、圖形或函數(shù).學(xué)生需要通過分析題目提供的若干實例或圖像，識別其中的特征和規(guī)律.此時，學(xué)生通常會對某些可能存在的規(guī)律做出初步猜測.這一過程鼓勵學(xué)生從具體的實例中提煉出一般性規(guī)律，是歸納思想的起點.在教學(xué)中，教師可以通過引導(dǎo)學(xué)生討論，幫助他們理清思路，逐步建立對題目規(guī)律的初步認(rèn)識.

4.2 歸納與驗證猜測

在學(xué)生形成初步猜測后，解題路徑的第二步是通過進(jìn)一步的計算或推理對猜測進(jìn)行驗證.學(xué)生需要將他們的猜測應(yīng)用到更多的實例中，檢查這些實例是否符合他們歸納出的規(guī)律.這個過程強調(diào)了從具體到一般的推理過程，是歸納思想的核心.在這一階段，學(xué)生可能會對初步猜測進(jìn)行修正或完善，以使其更符合題目的所有條件.在教學(xué)中，教師可以通過提供更多的例題或反例，幫助學(xué)生進(jìn)行驗證與調(diào)整，使他們在不斷的驗證過程中加深對規(guī)律的理解，并最終歸納出正確的公式或定理.

4.3 推廣與應(yīng)用規(guī)律

解題路徑的最后一步是將歸納出的規(guī)律應(yīng)用到更廣泛的情境中，解決更復(fù)雜或一般性的問題.學(xué)生需要將他們歸納出的規(guī)律進(jìn)行推廣，解決一些與題目形式不同但本質(zhì)相似的問題.此時，學(xué)生的歸納推理能力得到進(jìn)一步的檢驗，他們需要具備將局部規(guī)律推廣應(yīng)用的能力.在教學(xué)中，教師可以通過設(shè)計一些變式題或應(yīng)用題，促使學(xué)生靈活運用所學(xué)規(guī)律解決新問題［1］.

參考文獻(xiàn)：

[1]吳立寶，王新民.例談中考數(shù)學(xué)試題中的歸納思想[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2009（18）：3941.