五步遞進(jìn)式講題模型的應(yīng)用探究

摘要：應(yīng)用五步遞進(jìn)式講題模型講解中考數(shù)學(xué)試題是教學(xué)手段創(chuàng)新的重要體現(xiàn).文章結(jié)合教學(xué)實踐和中考數(shù)學(xué)真題，從引導(dǎo)啟發(fā)、知識講解、示范解題、鞏固練習(xí)和總結(jié)反思五個步驟對試題進(jìn)行講解，以期引導(dǎo)教學(xué)，服務(wù)教學(xué).

關(guān)鍵詞：中考試題；深度學(xué)習(xí)；試題講解

1 五步遞進(jìn)式講題模型

初中數(shù)學(xué)五步遞進(jìn)式講題模型是一種系統(tǒng)的教學(xué)方法，其內(nèi)涵包括引導(dǎo)啟發(fā)、知識講解、示范解題、鞏固練習(xí)和總結(jié)反思五個步驟.首先，“引導(dǎo)啟發(fā)”階段，教師通過設(shè)置生活化的數(shù)學(xué)問題或創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生的興趣，促使他們主動思考，幫助學(xué)生從實際問題出發(fā)，感知數(shù)學(xué)知識的價值和應(yīng)用.這一階段不僅是學(xué)生進(jìn)入新知識學(xué)習(xí)的心理過渡，也為后續(xù)知識學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).接著，“知識講解”階段，教師詳細(xì)講解新知識的核心概念、性質(zhì)、定理或公式，通過清晰的邏輯結(jié)構(gòu)和舉例說明，幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)思想[1].在這個過程中，教師要注意知識點的層次性和銜接性，避免知識講解的跳躍或混亂，確保學(xué)生能夠逐步接受和理解所學(xué)內(nèi)容.第三步是“示范解題”，教師通過講解典型例題，演示如何將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到實際問題中.此階段不僅強(qiáng)調(diào)解題步驟和方法，更注重引導(dǎo)學(xué)生理解解題背后的數(shù)學(xué)原理，幫助他們掌握解題的技巧和思維方式.然后是“鞏固練習(xí)”環(huán)節(jié)，學(xué)生通過自主練習(xí)和集體討論，進(jìn)一步消化和鞏固所學(xué)的知識.在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生通過解答不同難度的題目，提升對知識的理解深度，發(fā)現(xiàn)自己的不足，并進(jìn)行針對性的改進(jìn).最后，“總結(jié)反思”階段，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，反思解題過程，分析常見錯誤和易錯點，幫助學(xué)生形成更加清晰的知識框架，并提高他們的自主學(xué)習(xí)和問題解決能力.

2 五步遞進(jìn)式講題模型下的試題講解

（2024年江蘇省鹽城市中考數(shù)學(xué)試卷第15題）如圖1，小明用無人機(jī)測量教學(xué)樓的高度，將無人機(jī)垂直上升至距地面30 m的點P處，測得教學(xué)樓底端點A的俯角為37°，再將無人機(jī)沿教學(xué)樓方向水平飛行26.6 m至點Q處，測得教學(xué)樓頂端點B的俯角為45°，則教學(xué)樓AB的高度約為m.（精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin 37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75.）

2.1 引導(dǎo)啟發(fā)

師：今天我們來解決一道關(guān)于幾何和三角函數(shù)的實際應(yīng)用問題.題目給出了一個無人機(jī)測量建筑物高度的場景，你們可以從中提取哪些數(shù)學(xué)知識來解答這個問題呢？（教師鼓勵學(xué)生思考）

生1：這個問題涉及的是三角函數(shù)吧，可能需要用到正切、正弦或者余弦.

師：很好！這道題確實是通過三角函數(shù)來解決的.在無人機(jī)上升和水平飛行的過程中，你們認(rèn)為哪個角度信息最有用呢？

生2：可能是俯角吧，因為俯角可以幫助我們計算高度.

師：對的！我們有俯角信息和距離，利用這些可以求解建筑物的高度.那如何根據(jù)這些信息建立數(shù)學(xué)模型呢？我們一起來分析一下題目中的已知條件和要求.

2.2 知識講解

師：首先，題目中提到小明用無人機(jī)垂直上升至距離地面30 m的點P，測得教學(xué)樓底端點A的俯角為37°.這意味著什么呢？

生3：這應(yīng)該是一個直角三角形的一個角度，我們可以用正切來解決.

師：沒錯！我們可以利用正切來求解無人機(jī)與教學(xué)樓底端點A之間的距離.這個距離就是我們要求解的三角形的一個重要組成部分.接著，題目又告訴我們無人機(jī)從點P飛行到點Q，距離是26.6 m，此時測得教學(xué)樓頂端點B的俯角為45°.在這里，俯角為45°可以幫助我們進(jìn)一步計算.

師：因此，整道題的關(guān)鍵在于如何通過已知的三角函數(shù)和幾何圖形求解建筑物的高度.我們可以從直角三角形出發(fā)，利用已知的三角函數(shù)關(guān)系一步步求解出高度.

2.3 示范解題

師：好了，接下來我來演示一遍如何解這道題.延長AB交PQ的延長線于點H，則∠PHA=90°.我們先從點P出發(fā)，分析三角形PHA.我們知道，AH（即無人機(jī)的高度）是30 m，∠APH是37°，根據(jù)三角函數(shù)的定義，tan37°=AHPH.于是可得tan37°=30PH≈0.75，通過這個等式，我們可以求得PH=300.75=40（m），所以PH（無人機(jī)到建筑物底端的水平距離）是40 m.

接著，繼續(xù)求QH.由于無人機(jī)沿著水平路徑飛行了26.6 m，則QH=PH-PQ.因此，QH=PH-PQ=40-26.6=13.4（m）.接下來，要注意的是，∠PHA=90°，∠HQB=45°，所以可以得出QH=BH，由此得出BH也是13.4 m.

最后，AB的高度就是AH減去BH，即AB=AH-BH=30-13.4=16.6（m），四舍五入后，最終答案是17 m.

2.4 鞏固練習(xí)

師：同學(xué)們，聽完我的講解之后，大家的思維是不是更清晰了？接下來，我們做一個類似的問題練習(xí)，幫助大家鞏固這些知識點.請大家看這個問題——如果無人機(jī)的上升高度為40 m，俯角變成了45°，你們能利用剛才學(xué)到的知識解出建筑物的高度嗎？

生4：這個問題也可以用相同的方法來解決，我可以先求得PH，再計算QH，然后通過幾何關(guān)系得到建筑物的高度.

師：非常好！大家可以嘗試一下，注意要把角度和三角函數(shù)的關(guān)系弄清楚，步驟要一步步來.

2.5 總結(jié)反思

師：今天我們通過這道題，復(fù)習(xí)了如何運用三角函數(shù)解決實際問題.首先，我們利用正切函數(shù)求解PH的值，接著利用幾何關(guān)系找到了QH，最后通過簡單的減法得出了建筑物的高度.

師：在解這類問題時，同學(xué)們一定要注意以下幾個方面.明確題目中的已知條件，找出關(guān)鍵的幾何關(guān)系；熟練掌握三角函數(shù)的應(yīng)用，特別是正切函數(shù)；計算過程中一定要小心，避免不必要的計算錯誤.通過一步步推導(dǎo)，最終得出正確答案.希望大家可以通過練習(xí)掌握這些技巧，在考試中能夠靈活應(yīng)用.

3 應(yīng)用五步遞進(jìn)式講題模型的注意事項

在“引導(dǎo)啟發(fā)”階段，教師不僅要通過生活化的問題或情境來激發(fā)學(xué)生的興趣，還要巧妙地引導(dǎo)學(xué)生主動思考和發(fā)現(xiàn)解決問題的關(guān)鍵.在上述案例中，教師通過設(shè)定利用無人機(jī)測量教學(xué)樓高度的實際場景，促使學(xué)生從生活實際出發(fā)，思考如何運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題.在這一階段，教師需要注意引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，并鼓勵學(xué)生表達(dá)自己的想法.教師通過引導(dǎo)學(xué)生討論可以揭示出三角函數(shù)的核心應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的興趣和參與感.同時，教師要避免一開始就直接給出解題思路，而是要通過提問和引導(dǎo)，幫助學(xué)生自行思考和發(fā)現(xiàn)解決問題的路徑.

在“知識講解”階段，教師需要對新知識進(jìn)行深入講解，確保知識點的層次性和銜接性.在本案例中，教師通過對三角函數(shù)中正切、正弦等公式的講解，幫助學(xué)生理解如何運用這些公式解決實際問題.此時，教師不僅要注重知識的講解，還要在講解過程中注重學(xué)生對知識點的理解和內(nèi)化.在教學(xué)中，教師可以通過多種方式加深學(xué)生對知識的理解，例如通過圖示、模型或生活中的實例來幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)概念.此外，教師要特別注意知識的銜接性，確保學(xué)生在理解新知識時，不會感到斷裂或跳躍，避免學(xué)生在后續(xù)環(huán)節(jié)中因為基礎(chǔ)不扎實而出現(xiàn)理解偏差.

在“示范解題”環(huán)節(jié)，教師通過演示典型例題的解法，展示如何將所學(xué)知識應(yīng)用于實際問題.教師要在演示過程中強(qiáng)調(diào)解題的步驟和思維方式，確保學(xué)生不僅掌握解題方法，還能理解每一步的數(shù)學(xué)原理.在示范解題時，教師要引導(dǎo)學(xué)生理解如何從已知條件出發(fā)，利用數(shù)學(xué)知識推導(dǎo)出結(jié)果.

在“鞏固練習(xí)”階段，教師通過設(shè)置類似問題讓學(xué)生練習(xí)，幫助學(xué)生在實踐中加深對知識的理解，并通過討論解決學(xué)生在練習(xí)中遇到的問題.這一環(huán)節(jié)對于學(xué)生技能的提升至關(guān)重要，教師在這個環(huán)節(jié)中的作用是引導(dǎo)和幫助學(xué)生克服難點，而不是直接給出答案.此外，教師要注意設(shè)計不同難度的題目，既要有基礎(chǔ)的訓(xùn)練，也要有一定的挑戰(zhàn)，幫助學(xué)生逐步提高解題能力.

最后，在“總結(jié)反思”階段，教師通過引導(dǎo)學(xué)生回顧整個解題過程，幫助他們總結(jié)解題經(jīng)驗和反思可能的錯誤.在本案例中，教師通過分析常見的錯誤點，幫助學(xué)生避免常見的思維誤區(qū)，提高他們的問題解決能力.在總結(jié)時，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生反思整個解題過程，強(qiáng)調(diào)方法和思路的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維和自主學(xué)習(xí)能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]麥鳳珊.學(xué)生講題促進(jìn)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2021（10）：1820.