二次函數(shù)圖象平移問題的分類解析

摘要：初中數(shù)學(xué)中，函數(shù)圖象平移是二次函數(shù)部分的重點和難點.基于二次函數(shù)圖象平移可以設(shè)計很多問題，考查二次函數(shù)圖象平移規(guī)律、二次函數(shù)圖象與二次函數(shù)解析式之間的關(guān)系等知識.文章從要求解的問題出發(fā)將二次函數(shù)圖象平移問題分為求最值、求參數(shù)值、求參數(shù)范圍、求運(yùn)動路程四種類型，并圍繞相關(guān)習(xí)題展示具體的解題過程.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；二次函數(shù)；圖象平移；解析

二次函數(shù)圖象平移整體上分為四種情境：二次函數(shù)圖象沿x軸平移（又稱左右平移）；二次函數(shù)圖象沿y軸平移（又稱上下平移）；二次函數(shù)復(fù)合平移（既有左右平移又有上下平移）；二次函數(shù)圖象沿著傾斜方向平移.其中沿著傾斜方向平移可以轉(zhuǎn)化為左右平移和上下平移來處理.學(xué)習(xí)過程中應(yīng)結(jié)合二次函數(shù)圖象平移情境及要求解的問題，歸納對應(yīng)的解題思路，形成解題經(jīng)驗，為以后高效解題提供指引.

1 求最值

初中階段求解最值問題常用的思路就是構(gòu)造二次函數(shù)[1].對于部分二次函數(shù)圖象平移問題中的求最值問題同樣適用.但不同的是，解題的過程中需要深刻理解題意，對二次函數(shù)圖象平移過程有全面的認(rèn)識，通過引入?yún)?shù)對二次函數(shù)圖象平移規(guī)律進(jìn)行刻畫，借助二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答.

例1已知點A（2，1），B（4，3），C（4，-1），二次函數(shù)y=ax2+bx－1（a，b為常數(shù)，且a≠0）的圖象經(jīng)過其中的兩個點.平移函數(shù)的圖象，使其頂點始終在直線y=x－1上，則平移后拋物線和y軸交點縱坐標(biāo)的最大值為（）.

A.-14B.-12C.-1D.-2

解析：所給二次函數(shù)中含有兩個未知參數(shù)，解題時先通過判斷函數(shù)圖象過哪兩個點，求出二次函數(shù)的解析式.而后根據(jù)平移要求，表示出平移后拋物線的解析式，令x=0，運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值.

由題意可知，B，C兩點的橫坐標(biāo)相等；二次函數(shù)y=ax2+bx－1恒過點（0，-1）；A（2，1），B（4，3）兩點均在直線y=x－1.因此，二次函數(shù)y=ax2+bx－1的圖象只可能經(jīng)過A，C兩點，將其坐標(biāo)代入y=ax2+bx-1，得1=4a+2b－1，

－1=16a+4b－1，解得a=－12，

b=2.故二次函數(shù)的解析式為y=－12x2+2x－1，即y=－12（x－2）2+1，其頂點為（2，1），在直線y=x－1上.根據(jù)題意，平移后拋物線的解析式可表示為y=－12（x－c）2+c－1，令x=0，得y=－12c2+c－1=-12（c-1）2-12，可知當(dāng)c=1時，y的值最大，且最大值為-12，即平移后拋物線和y軸交點縱坐標(biāo)的最大值為-12.故選擇：B.

2 求參數(shù)值

二次函數(shù)圖象平移的求參數(shù)值問題情境較為復(fù)雜，考查的知識點不盡相同.解答該類問題時，可以根據(jù)題意描述畫出草圖，采用數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)行分析[2].而后根據(jù)二次函數(shù)圖象平移口訣“左加下減，上加下減”表示出平移后的二次函數(shù)解析式，結(jié)合對圖象分析的結(jié)論求解答案.

例2已知二次函數(shù)y=2（x－k）（x－k+3）的圖象與x軸交于兩點，將其圖象向上平移m個單位長度，得到的新圖象也與x軸交于兩點，且這四個交點中每相鄰兩點間的距離均相等，則m的值為（）.

A.3B.4C.5D.6

解析：根據(jù)所給二次函數(shù)的解析式求出與x軸交點的坐標(biāo)，根據(jù)四個交點每相鄰兩點間的距離相等，求出平移后圖象與x軸的交點，表示出平移后函數(shù)的解析式，而后求出m的值.

令2（x－k）（x－k+3）=0，可得x1=k－3，x2=k.x2－x1=3，表明四個交點中每相鄰兩點間的距離為1，平移后圖象和x軸的交點橫坐標(biāo)分別為k-2，k-1，則平移后的圖象對應(yīng)的解析式為

y=2（x－k+2）（x－k+1）.①

二次函數(shù)y=2（x－k）（x－k+3）的圖象向上平移m個單位長度，平移后的圖象對應(yīng)的解析式為

y=2（x－k）（x－k+3）+m.

②

①②聯(lián)立，解得m=4.故選擇：B.

3 求參數(shù)范圍

求參數(shù)范圍是初中數(shù)學(xué)中的熱門考點，在二次函數(shù)圖象平移問題中也較為常見[3].解答該類問題時，可以根據(jù)對平移規(guī)律的理解，準(zhǔn)確畫出二次函數(shù)平移前后的圖象，建立平移前后圖象之間的關(guān)系，尤其是能夠根據(jù)平移后二次函數(shù)的解析式，通過數(shù)形結(jié)合計算出參數(shù)的上下限.

例3如圖1所示，拋物線y=－2x2+8x－6和x軸交于A，B兩點，取拋物線x軸上方的部分為C1，將其向右平移n個單位長度得到C2，其中C2和x軸的交點為B，D.若直線y=x+m和C1，C2有兩個不同的交點，則m的取值范圍為.

解析：解答該題可以畫出草圖，通過數(shù)形結(jié)合找到臨界點，而后通過聯(lián)立拋物線方程和直線方程進(jìn)行計算得出結(jié)果.

根據(jù)題意，畫出草圖，如圖2所示，可以清晰地看到滿足題意情況有三種：介于m2和m1之間，m3和m4.

令－2x2+8x－6=0，整理得到x2－4x+3=0，解得x=1或x=3，則A（1，0），B（3，0）.易得C1關(guān)于直線x=2對稱.

由C2和x軸的其中一個交點為B，可知C2是由C1向右平移2個單位長度得到，則C2的解析式為y=－2（x－2-2）2+2，即

y=－2x2+16x－30（3≤x≤5）.③

聯(lián)立y=-2x2+8x-6（1≤x≤3）和y=x+m1，得－2x2+7x－6－m1=0.由Δ=49－4×（－2）×（－6－m1）=1－8m1=0，得m1=18.另外，由圖2可知y=x+m2過點A（1，0），則1+m2=0，解得m2=－1.綜合起來，此時－1≤mlt;18.

當(dāng)y=x+m3和③只有一個交點時，聯(lián)立兩個方程得到－2x2+15x－30－m3=0.由Δ=152－4×（－2）×（－30－m3）=－15－8m3=0，得m3=－158.

當(dāng)y=x+m4過點B（3，0）時，3+m4=0，則m4=－3.

綜上可知，滿足題意的m的取值范圍為－1≤mlt;18或m=－158或m=－3.

4 求運(yùn)動路程

二次函數(shù)圖象平移過程中，圖象上的各點都會進(jìn)行相應(yīng)的運(yùn)動.根據(jù)要求求某點的運(yùn)動路程是二次函數(shù)圖象平移問題中難度較大的一類問題.解答時需要深刻掌握二次函數(shù)圖象的特點，準(zhǔn)確判斷二次函數(shù)圖象平移過程中相關(guān)點的運(yùn)動規(guī)律，充分挖掘隱含條件.

例4如圖3，拋物線y=x2+2x和直線y=x+2交于A，B兩點，和直線x=2交于點P.將拋物線沿射線AB平移32個單位長度，在整個平移過程中，點P經(jīng)過的路程為（）.

A.5B.6

C.132D.152

解析：由于拋物線在運(yùn)動的過程中和x=2的交點P在不斷變化中，對想象能力要求較高，難度較大.

拋物線沿著射線AB平移32個單位長度相當(dāng)于先向右平移3個單位長度，再向上平移3個單位長度，設(shè)拋物線向右平移a個單位長度，向上平移a個單位長度，根據(jù)題意可得0≤a≤3.

拋物線y=x2+2x=（x+1）2－1在平移過程中對應(yīng)拋物線的解析式為y=（x+1－a）2+a－1.當(dāng)x=2時，y=（3－a）2+a－1=a－522+74（0≤a≤3）.由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，若0≤a≤52，則當(dāng)a=0時y取得最大值8；若a=52，則y=74；若52≤a≤3，當(dāng)a=3時，y取得最大值2.故拋物線運(yùn)動過程中點P經(jīng)過的總路程為8－74+2－74=132.故選擇：C.

綜上所述，二次函數(shù)圖象平移問題可易可難.為提高解題能力，學(xué)習(xí)時應(yīng)深刻理解平移規(guī)律及相關(guān)的平移口訣，能夠透過現(xiàn)象看本質(zhì).同時，應(yīng)注重運(yùn)用一定的解題策略，根據(jù)題意敢于通過引入新的參數(shù)構(gòu)造新的二次函數(shù)，借助二次函數(shù)的性質(zhì)順利求得結(jié)果.

參考文獻(xiàn)：

[1]陳一鑫，孫凱.二次函數(shù)圖象平移規(guī)律的猜想與探索[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2023（24）：2425.

[2]莫冰.巧用點解決二次函數(shù)圖象的平移問題[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2023（6）：4043.

[3]陳文倩.二次函數(shù)的平移、翻折與旋轉(zhuǎn)[J].數(shù)理天地（初中版），2022（9）：23.