高中數(shù)學(xué)新課程中的三角函數(shù)與三角關(guān)系

摘要：隨著教學(xué)的改革，高中數(shù)學(xué)新課程內(nèi)容有較大變化，需要教師在整體上進(jìn)行教學(xué)設(shè)計并提高教學(xué)質(zhì)量.“三角函數(shù)與三角關(guān)系”這部分內(nèi)容在高中數(shù)學(xué)新課程中的教學(xué)編排上有一些變化，對這些關(guān)系進(jìn)行分析可以提高學(xué)生思維能力和判斷能力.本文中結(jié)合高中數(shù)學(xué)新課程對三角函數(shù)與三角關(guān)系的正確應(yīng)用進(jìn)行了分析，并提出了教學(xué)建議.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；新課程；三角函數(shù)與三角關(guān)系

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)新課程中的重難點內(nèi)容，學(xué)生需要花費(fèi)較多時間、精力去學(xué)習(xí)，方可將其理解、吃透和靈活運(yùn)用.深入學(xué)習(xí)三角函數(shù)就會獲悉，其看似是在討論“角”的問題，但實則是在探討函數(shù)的周期，這一點易讓學(xué)生忽略.此外，在學(xué)習(xí)中掌握解析數(shù)學(xué)方法尤為重要，關(guān)乎學(xué)生對幾何問題的深入鉆研以及對周期問題的全面了解等，所以，高中數(shù)學(xué)教師有必要圍繞三角函數(shù)做精心設(shè)計、策劃，引導(dǎo)學(xué)生逐步掌握相關(guān)知識，避免學(xué)習(xí)表面化、低效化.

1 “三角函數(shù)與三角”在新課程中的重要性

從歷史視角對“三角函數(shù)與三角關(guān)系”進(jìn)行分析，研究三角的時間更早，可追溯到16世紀(jì)，當(dāng)時已經(jīng)出現(xiàn)了較完整的三角關(guān)系研究理論，至今有借鑒和參考價值，其研究涉及面積、長度、角度等內(nèi)容，研究范圍比較寬泛.17世紀(jì)，三角形常量數(shù)學(xué)研究出現(xiàn)并開始引人關(guān)注.后來，解析幾何領(lǐng)域中出現(xiàn)變量數(shù)學(xué)，也對三角函數(shù)的發(fā)展起到了推波助瀾的作用.簡而言之，有關(guān)三角函數(shù)的研究正在深入發(fā)展，成為了解、把握三角幾何的重要切入口，也將三角函數(shù)視為三角幾何的重要組成部分，后續(xù)才開始實現(xiàn)獨立發(fā)展，基于實變函數(shù)做了相應(yīng)的分析與調(diào)和.在20世紀(jì)末，針對調(diào)和分析和小波分析在實際中的應(yīng)用進(jìn)行了研究，逐漸在多個領(lǐng)域廣泛應(yīng)用三角函數(shù)以及相關(guān)數(shù)學(xué)知識，尤其是三角函數(shù)的作用更加突出，這也是“三角函數(shù)與三角”在教學(xué)內(nèi)容上發(fā)生改變的主要原因.但是，當(dāng)前仍舊有諸多學(xué)生難以吃透和靈活有效運(yùn)用三角函數(shù)知識，這與學(xué)生孤立看待三角函數(shù)和三角有關(guān)，所以二者并未被有效聯(lián)系起來，學(xué)生也并未實現(xiàn)整體性的探究，在理解概念、解決問題等方面能力不足.因此，教師需要充分認(rèn)識到“三角函數(shù)與三角”在高中數(shù)學(xué)新課程中的重要性，并在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形思維能力，指導(dǎo)學(xué)生快速理解并應(yīng)用這些知識［1］.

2 新課程中的三角函數(shù)與三角關(guān)系教學(xué)思路

2.1 利用數(shù)形結(jié)合思維，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力

在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生難以在短時間內(nèi)捕捉到三角函數(shù)的要點，難以概括、總結(jié)三角函數(shù)同普通函數(shù)的差異，獲取三角函數(shù)問題正確的解題思路也存在不小難度.諸如此類的問題還有很多，皆表明學(xué)生學(xué)習(xí)三角函數(shù)的過程是不順利的，存在諸多阻礙與挑戰(zhàn)，易讓學(xué)生對三角函數(shù)和三角關(guān)系產(chǎn)生誤解.數(shù)形思維成為攻克這些問題的關(guān)鍵所在［2］.

例如，下面這道數(shù)學(xué)習(xí)題：

例1已知sin α＞sin β，下面正確的命題是（）.

A.如果α與β是第一象限角，那么con α＞tan β

B.如果α與β是第二象限角，那么tan α＞tan β

C.如果α與β是第三象限角，那么cos α＞cos β

D.如果α與β是第四象限角，那么tan α＞tan β

教師在指導(dǎo)學(xué)生思考這道例題時，如果用常規(guī)的計算方式進(jìn)行解析會增加很多程序，但是若利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行思考，則解決問題時就會比較簡便.教師可以按照圖1來引導(dǎo)學(xué)生思考.

從圖1中可以看到，邊、角、坐標(biāo)均用函數(shù)描述，如果學(xué)生在解析這種問題時結(jié)合圖形將抽象的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo)的問題，就能利用三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷，最終得出正確答案為選項D.

對于這道例題，教師通過一道判斷題引導(dǎo)學(xué)生利用相關(guān)概念來尋找解題思路，巧妙融入數(shù)形結(jié)合思想，從而快速正確解答問題.此外，學(xué)生運(yùn)算過程中，還可以將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)題，也能準(zhǔn)確解答與角度有關(guān)的問題.在這個轉(zhuǎn)化過程中需要教師提醒學(xué)生注意觀察這些問題，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和轉(zhuǎn)化意識，對問題進(jìn)行正確判斷.學(xué)生要具備正確判斷能力，明確哪些問題可以利用數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，明確問題類型并找到三角函數(shù)與三角問題，這樣學(xué)生的學(xué)習(xí)能力才有望大幅度提升.

2.2 利用函數(shù)思想，提高學(xué)生的思維水平

求解三角函數(shù)與三角數(shù)值問題時，學(xué)生易出現(xiàn)各式各樣的錯誤，原因在于并非所有計算都可以用計算方式來解決，這時函數(shù)思想就會起到重要作用，幫助學(xué)生找到計算方法并準(zhǔn)確求解［3］.比如，以下這道三角函數(shù)習(xí)題就可以嘗試應(yīng)用函數(shù)思想、分類討論思想、與數(shù)形結(jié)合思想來解決：

例2已知函數(shù)f（x）＝ 12（sin x＋cos x）－ 12｜sin x－cos x｜，求f（x）的值域.

面對這道題，學(xué)生開始會摸不著頭腦，也會思考兩個相加的函數(shù)是否屬于特殊函數(shù)，認(rèn)真思考后，便會察覺這個問題可進(jìn)行轉(zhuǎn)化，主要是利用分類討論思想進(jìn)行化簡，數(shù)形結(jié)合得出最終結(jié)果為-1，22.這種方式就是將以上問題轉(zhuǎn)化為兩個三角函數(shù)的問題.當(dāng)sin x≥cos x；f（x）=cos x；當(dāng)sin x＜cos x時，f（x）=sin x.畫出兩個三角函數(shù)的圖象，如圖2所示.

在解決以上問題時需要教師的引導(dǎo).首先要觀察數(shù)學(xué)問題中是否有三角函數(shù)特征，可以按照常見函數(shù)的方式進(jìn)行數(shù)形結(jié)合降低解題難度.但是，有些三角函數(shù)與三角問題需要學(xué)生進(jìn)行詳細(xì)觀察，正確判斷.由于三角函數(shù)具有特殊性，教師要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思維，在遇到不確定問題時要指導(dǎo)學(xué)生通過函數(shù)與方程或數(shù)形結(jié)合進(jìn)行思考，選擇最佳方式解決三角函數(shù)與三角中的問題.

2.3 幫助學(xué)生轉(zhuǎn)換思路，強(qiáng)化學(xué)生的發(fā)散思維

當(dāng)學(xué)生理解三角函數(shù)與三角問題的求解方法以及基本特征之后，教師還需要指導(dǎo)學(xué)生明確解題思路，知道哪些問題適合使用三角函數(shù)，哪些問題不適合使用，這樣才能提高學(xué)習(xí)效率.例如，下面這道題：

例3為了迎接“10.1”開展美化城市活動，在某城區(qū)主干道布置了大量花卉綠植，對大型花盆進(jìn)行統(tǒng)一規(guī)劃，對規(guī)格有這樣的要求：花盆口直徑2 m內(nèi)部設(shè)置了不同區(qū)域種植不同顏色的花草，于蝶形區(qū)域栽種四季美，如圖3，蝶形中包含四個全等三角形，其中一個三角形OAB的頂點為圓心O，設(shè)計要求為∠ABO=120°.

（1）請設(shè)置一個變量ｘ，再寫出這個蝶形區(qū)域的面積S關(guān)于ｘ的函數(shù)表述式；

（2）ｘ為多少時，這個蝶形區(qū)域的面積最大？

在解答這個問題時，學(xué)生開始大多會習(xí)慣性地利用圖形中的長度設(shè)定變量，這種設(shè)置方式不能快速解決關(guān)鍵問題，教師可以提醒學(xué)生利用角度設(shè)置變量，如設(shè)∠AOB=x.思路

轉(zhuǎn)換之后學(xué)生會理解“利用角度來表示線段長度和區(qū)域面積”這種方式解答更簡便.

當(dāng)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識之后在不確定使用哪種方法時，要發(fā)散學(xué)生思維，使其聯(lián)想到三角函數(shù)的特征，即正弦、余弦、正切、余切等特性，只要抓住一種特征完成轉(zhuǎn)化，然后應(yīng)用三角函數(shù)與三角的性質(zhì)，就能夠正確解決這些問題.

總而言之，高中數(shù)學(xué)新課程中的三角函數(shù)與三角這部分內(nèi)容的教學(xué)需要循序漸進(jìn)，教師在教學(xué)中根據(jù)學(xué)生具體情況給予合理指導(dǎo)，幫助學(xué)生提高判斷能力和轉(zhuǎn)換能力，最終能夠順利解決數(shù)學(xué)問題.

參考文獻(xiàn)：

[1]王富美. 如何提高中等學(xué)生第一輪復(fù)習(xí)效率——例析一輪復(fù)習(xí)課《三角函數(shù)基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式》[J]. 中學(xué)教學(xué)參考，2018（8）：3132.

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[3]王尚志，張思明，胡鳳娟，等. 整體把握高中數(shù)學(xué)新課程中的三角函數(shù)與三角[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2008（15）：4，9.