基于立體幾何的深度理解構(gòu)建高品質(zhì)課堂

摘要：本文中以直線與平面所成的角的求法為例，以“面面垂直的性質(zhì)”作為課堂靈魂，利用一題多解的形式培養(yǎng)學(xué)生對(duì)直接法、轉(zhuǎn)移法求解線面角的運(yùn)用能力；最后，對(duì)構(gòu)建高品質(zhì)課堂的策略進(jìn)行了分析.

關(guān)鍵詞：高品質(zhì)課堂；深度理解；立體幾何；直觀想象

1 構(gòu)建高品質(zhì)教學(xué)課堂之價(jià)值

高品質(zhì)課堂是指教師在傳統(tǒng)教學(xué)模式基礎(chǔ)上，以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展為培養(yǎng)目標(biāo)，以高品質(zhì)、高質(zhì)量、高成效為原則，構(gòu)建的有針對(duì)性的課堂.與此同時(shí)，高品質(zhì)課堂也聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，教師教學(xué)中會(huì)盡可能豐富教學(xué)內(nèi)容和優(yōu)化教學(xué)形式，能夠讓學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)素養(yǎng)的內(nèi)涵.新課標(biāo)新課程背景下，高品質(zhì)課堂展現(xiàn)出較高的育人價(jià)值，以學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”為根本，通過問題多角度感受知識(shí)的價(jià)值，進(jìn)而提高學(xué)生的綜合學(xué)習(xí)能力[1].

2 構(gòu)建高品質(zhì)教學(xué)課堂之案例分析

2.1 知識(shí)回顧

學(xué)生回顧直線與平面所成角的定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角.復(fù)習(xí)本節(jié)課貫穿使用的平面與平面垂直的性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直.

2.2 例題講解

例題如圖1，已知五棱錐PABCDE，AE∥BC，AC∥DE，AB∥CD，PA=AB=22，BC=2AE=4，∠ABC=45°，PA⊥平面ABCDE.

（1）證明：平面PAC⊥平面PCD；

（2）求PB與平面PCD所成角的大小.

學(xué)生活動(dòng)：獨(dú)立思考，完成第（1）問的證明.

教師活動(dòng)：學(xué)生回答證明思路，點(diǎn)出只需證明CD⊥平面PAC.解決第（2）問時(shí)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)利用直接法作出線面角時(shí)，過點(diǎn)B作平面PCD的垂線，垂足落在幾何體外.

思路探析：結(jié)合試題內(nèi)容來看，可以用直接法和平移法對(duì)上述試題進(jìn)行分析.

（1）直接法

直接法包括垂足在幾何體內(nèi)、垂足在幾何體外兩種情況.

教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生利用平面與平面垂直的性質(zhì)定理過點(diǎn)B作平面PCD的垂線，即需要將平面PAC平移到過點(diǎn)B.

思路探析：過點(diǎn)B作BG，使得BG∥PA，BG=PA，BF∥AC，BF=AC，即得平面BGF∥平面PAC.過點(diǎn)B作平面PCD的垂線BH，連接PH，則∠BPH為PB與平面PCD所成角，如圖2.

教師活動(dòng)：直接法將垂線作在幾何體外，難度較大，是否可以通過平移的思路解決直線與平面所成角？

（2）平移法

平移法包括平移點(diǎn)、平移線、平移面.

學(xué)生活動(dòng)：給予學(xué)生充分的時(shí)間思考如何通過平移解決作角的問題.

教師活動(dòng)：解決線面角的大小問題，實(shí)際難點(diǎn)是求出點(diǎn)B到平面PCD的距離h.一條與平面PCD平行的直線上的點(diǎn)到平面PCD的距離是相等的.可以利用這個(gè)性質(zhì)將點(diǎn)B轉(zhuǎn)移.

思路探析：易證AB平行平面PCD，即只需過點(diǎn)A作PC的垂線段AG，如圖3，則PB與平面PCD所成角的正弦值為AGPB=12.

教師活動(dòng)：請(qǐng)同學(xué)們思考，除了轉(zhuǎn)移點(diǎn)，能否將直線PB轉(zhuǎn)移呢？轉(zhuǎn)移的目的是為了能利用垂面PAC.

思路探析：連接BD交AC于點(diǎn)O，取PD靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)N，得到ON∥PB，ON與平面PCD所成角即為PB與平面PCD所成角.過點(diǎn)O作OM⊥PC，可證OM⊥平面PCD，則∠ONM為所求線面角的平面角.如圖4.

2.3 練習(xí)鞏固

變式探究1如圖5，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC⊥BC，且AC＝[KF（]3[KF）]，BC＝[KF（]6[KF）]，AA1＝2AB，D是棱BB1的中點(diǎn)，E是棱CC1上的點(diǎn)，滿足CE＝5EC1.

（1）證明：AD⊥平面A1DE；

（2）求直線AE與平面ABB1所成角的正弦值.

思路探析：易證平面A1DE⊥平面A1B1BA.

法1：直接法.

過點(diǎn)E作EH⊥A1D，則EH⊥平面A1B1BA，∠EAH為所求線面角的平面角.

法2：平移法.

易證C1C∥平面A1B1BA，將點(diǎn)E到平面A1B1BA的距離轉(zhuǎn)換到C1到平面A1B1BA的距離，即過點(diǎn)C1作C1G⊥A1B1，則所求線面角平面角的正弦值為C1GAE.

變式探究2如圖6，已知PA⊥平面ABC，等腰直角三角形ABC中，AB=BC=2，AB⊥BC，AD⊥PB于點(diǎn)D，AE⊥PC于點(diǎn)E.

（Ⅰ）求證：PC⊥DE；

（Ⅱ）若直線AB與平面ADE所成角的正弦值為[SX（]23[SX）]，求PA的值.

思路探析：易證平面PCB⊥平面ADE.過點(diǎn)B作BF∥DE，將點(diǎn)B到平面ADE的距離轉(zhuǎn)換為點(diǎn)F到平面ADE的距離，即EF=43.

3 構(gòu)建高品質(zhì)課堂之策略分析

3.1 深度理解學(xué)生

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng)，目的在于加強(qiáng)學(xué)生建立數(shù)與形的聯(lián)系，提升學(xué)生的空間想象能力[2].教師培養(yǎng)學(xué)生這一核心素養(yǎng)的主要時(shí)期便是學(xué)習(xí)人教A版《數(shù)學(xué)（必修第二冊(cè)）》第八章立體幾何初步.而學(xué)生在這一章節(jié)最大的學(xué)習(xí)難點(diǎn)之一便是如何作出直線與平面所成角的平面角.教師往往認(rèn)為在學(xué)習(xí)了選擇性必修一第一章空間向量與立體幾何后，學(xué)生便能用坐標(biāo)法解決問題，因而在教學(xué)過程中減弱對(duì)幾何法作直線與平面所成平面角的探究，錯(cuò)失了這一階段對(duì)學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)的培養(yǎng).學(xué)生無論是在初中還是在高中學(xué)習(xí)階段，如何添加輔助線都是弱項(xiàng).而用幾何法解決直線與平面所成角時(shí)，若題目中沒有現(xiàn)成的線面垂直可用，就要自己過點(diǎn)作面的垂線.那往哪條線段作垂線，垂足在哪里？大部分學(xué)生都會(huì)出現(xiàn)卡頓.因此，設(shè)計(jì)了這節(jié)基于深度理解的線面角解法的習(xí)題課.

3.2 深度挖掘教學(xué)內(nèi)容

人教A版《數(shù)學(xué)（必修第二冊(cè)）》第八章中直線與平面所成角的例題所體現(xiàn)的方法便是利用線面垂直找到斜線的射影，繼而找到直線與平面所成角的平面角.平時(shí)教學(xué)中并不會(huì)局限于此種方法的教學(xué)，教師會(huì)提供等體積法、坐標(biāo)法等其他方法.等體積法將垂線段長度轉(zhuǎn)化成三棱錐的高，減少了找垂線的步驟，坐標(biāo)法思路簡(jiǎn)單，程序化.但是這些方法弱化了學(xué)生的空間想象能力.本節(jié)課內(nèi)容將如何過點(diǎn)作平面的垂線總結(jié)為直接法和轉(zhuǎn)移法.直接法中，作垂線牢牢抓住平面與平面垂直的性質(zhì)，垂足可能在幾何體內(nèi)也可能在幾何體外.當(dāng)垂足在幾何體外時(shí)，就進(jìn)行補(bǔ)形.轉(zhuǎn)移法可以通過平移點(diǎn)、平移線、平移面使得過點(diǎn)作面的垂線直觀化.

3.3 深度探究教學(xué)方法

立體幾何的教學(xué)中更側(cè)重學(xué)生的思考，教師的引領(lǐng).例如，在例題的平移法教學(xué)過程中，轉(zhuǎn)換點(diǎn)B到點(diǎn)A的目的在于能更好地利用平面PAC⊥平面PCD.平移PB使得ON∥PB，目的也是將點(diǎn)B轉(zhuǎn)移到平面PAC上.教師要做好解題目的性的指導(dǎo)，使得學(xué)生能夠更準(zhǔn)確尋求解題思路.在練習(xí)鞏固題目的選取上要做到“量不在于多，在于落實(shí)；題不在于新，在于挖掘”.

參考文獻(xiàn)：

[1]張麗萍.基于品質(zhì)課堂構(gòu)建的高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究[J].理科愛好者，2022（5）：106108.

[2]郭濤.核心素養(yǎng)視域下高中數(shù)學(xué)高品質(zhì)課堂的構(gòu)建分析[J].試題與研究，2022（32）：5254.