聚焦中考數(shù)學(xué)試題中的平移、對稱與旋轉(zhuǎn)

【摘要】本文通過具體的中考真題，如選擇題、填空題、解答題等，展示平移、對稱、旋轉(zhuǎn)在中考中的常見題型和考查方式，分析解題思路和方法，幫助考生更好地理解和掌握這些知識點在中考中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】平移；對稱；旋轉(zhuǎn)；初中數(shù)學(xué)；解題

近幾年的中考數(shù)學(xué)試題非常注重對幾何圖形變換的考查，主要涉及平移、對稱、旋轉(zhuǎn)等.平移變換主要考查在坐標(biāo)系中圖形平移后坐標(biāo)的變化規(guī)律，也會與平行四邊形等特殊四邊形結(jié)合，通過平移線段構(gòu)造平行四邊形來解決面積、周長、圖形的全等、對應(yīng)角相等等問題.對稱變換?？疾橹行膶ΨQ、軸對稱圖形的識別，以及利用對稱性質(zhì)進(jìn)行幾何證明與計算.旋轉(zhuǎn)變換主要圍繞旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，以及距離和夾角等問題展開.旋轉(zhuǎn)常用來構(gòu)造全等三角形，利用角、邊關(guān)系來解決復(fù)雜的幾何證明題.此外，還會結(jié)合函數(shù)圖象，如將拋物線進(jìn)行旋轉(zhuǎn)后探究其解析式的變化規(guī)律等.解答此類問題的關(guān)鍵是把握圖形變化中的變化量與不變量，利用不變量列出等量關(guān)系，進(jìn)而解決問題.

1平移變換

在平移變換中平移前后圖形的大小和形狀不會發(fā)生改變，其關(guān)鍵因素是平移的距離以及平移的方向.

性質(zhì)經(jīng)過平移變換，對應(yīng)的角相等，對應(yīng)點所連的線段平行或在同一條直線上且相等.

常見考點多與全等三角形、等腰三角形等知識綜合，出現(xiàn)在幾何壓軸題中，如求線段長度、角度、圖形面積等，還會涉及平移的作圖及在坐標(biāo)中的應(yīng)用.

例1（2024·呼倫貝爾中考）已知點A（0，－2），B（1，0），如圖1，將線段AB平移得到線段DC，如果12BC=AB，∠ABC=90°，則點D的坐標(biāo)是．

分析由平移性質(zhì)可知AB=CD，AB∥CD，則四邊形ABCD是平行四邊形，又∠ABC=90°，則四邊形ABCD是矩形.過點D作DE⊥y軸于點E.根據(jù)同角的余角相等可得∠OBA=∠EAD，從而證明△OAB∽△EDA，可得2ED=5DA=1EA，設(shè)EA=a，則ED=2a，DA=5a，則5a=25，解得：a=2，故有EA=2，ED=4，則OE=OA+EA=4，即可求解．

詳解略.答案為：4，－4．

點評本題主要考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、平移的性質(zhì)、同角的余角相等等知識點，熟練掌握這些知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．

平移變換?？嫉闹R點不僅包括平移的性質(zhì)，還涵蓋平移在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)變化規(guī)律，以及與平行四邊形等特殊四邊形結(jié)合等綜合知識.

2對稱變換（軸對稱與中心對稱）

2.1軸對稱

如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫作軸對稱圖形.把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果其能夠與另一個圖形重合，則這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，也稱這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫作對稱軸.折疊后重合的對應(yīng)點叫作對稱點.

性質(zhì)軸對稱圖形中對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等.如正方形沿對角線對折后，除對角線外，對應(yīng)的線段相等，對應(yīng)的角也相等.在長方形中，相對的頂點連線會被對稱軸垂直平分.

常見考點判斷一個圖形是否是軸對稱圖形、根據(jù)軸對稱性質(zhì)求角度和線段長度、作軸對稱圖形、利用軸對稱進(jìn)行圖案設(shè)計及解決實際問題等.

2.2中心對稱

某圖形繞某點旋轉(zhuǎn) 180°后與另一圖形重合，則這兩圖形成中心對稱.

性質(zhì)對應(yīng)點連線經(jīng)過對稱中心且被對稱中心平分，對應(yīng)線段平行且相等，對應(yīng)角相等.

常見考點判別圖形是非對稱圖形、軸對稱圖形、中心對稱圖形還是軸對稱+中心對稱圖形，對稱點連線的性質(zhì)，對稱中心考點，以及對特殊載體的考查等.

例2（2024·甘孜中考）如圖2，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=4，折疊△ABC，使點A與點B重合，折痕DE與AB交于點D，與AC交于點E，則CE的長為．

分析本題考查了折疊的性質(zhì)和勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．設(shè)CE=x，則AE=BE=8－x，根據(jù)勾股定理即可求解．

詳解略.答案為3．

點評對稱包括軸對稱和中心對稱.在軸對稱方面，講解了其定義、性質(zhì)，如對稱軸垂直平分對應(yīng)點的連線，對應(yīng)角相等，對應(yīng)線段相等，還列舉了常見的軸對稱圖形.在中心對稱方面，說明了其定義、性質(zhì)，以及中心對稱圖形的判斷和相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用，如利用中心對稱性質(zhì)解決圖形分割與拼接問題等.

3旋轉(zhuǎn)變換

旋轉(zhuǎn)變換中的定點叫旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角度稱為旋轉(zhuǎn)角.如果轉(zhuǎn)動的角度為180°，就說這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱，這個點叫作對稱中心.

性質(zhì)對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，即形狀和大小完全相同.

常見考點識別旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角和旋轉(zhuǎn)方向，根據(jù)給定的條件進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換作圖，求旋轉(zhuǎn)后圖形的位置、角度、線段長度，利用性質(zhì)進(jìn)行計算或證明，求平面幾何中的最值問題等.

例3（2024·內(nèi)江中考）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，AB⊥y軸，垂足為點B，將△ABO繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到△AB1O1的位置，使點B的對應(yīng)點B1落在直線y=－34x上，再將△AB1O1繞點B1逆時針旋轉(zhuǎn)到△A1B1O2的位置，使點O1的對應(yīng)點O2也落在直線y=－34x上，如此下去，……，若點B的坐標(biāo)為0，3，則點B37的坐標(biāo)為（）

（A）180，135．（B）180，133．

（C）－180，135．（D）－180，133．

分析本題考查了平面直角坐標(biāo)系、一次函數(shù)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理等知識點．找出點的坐標(biāo)規(guī)律以及旋轉(zhuǎn)過程中線段長度的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．通過求出點A的坐標(biāo)，AB、OA、OB的長度，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的特點逐步推導(dǎo)出后續(xù)點的位置和坐標(biāo)，然后結(jié)合圖形求解即可．

詳解略.答案選（C）．

點評旋轉(zhuǎn)涵蓋旋轉(zhuǎn)的定義、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)三要素.與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的問題主要考查旋轉(zhuǎn)中心的確定方法和旋轉(zhuǎn)作圖的具體步驟，以及旋轉(zhuǎn)在構(gòu)造全等三角形、結(jié)合函數(shù)圖像探究解析式變化規(guī)律等方面的應(yīng)用.