初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)

創(chuàng)新性學(xué)習(xí)有別于大家常見的大量做題、刷題，是從學(xué)生思維認知出發(fā)而形成的一種解決問題的新思維，如高效讀題的思維、有效分析和解題的思維，以及嚴謹?shù)膱D形思維等，這些都是學(xué)生創(chuàng)新思維能力的體現(xiàn)，而這些都需要教師在日常教學(xué)中不斷滲透，加以引導(dǎo)，先讓學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣，再引導(dǎo)學(xué)生走進數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵中，最后形成一種數(shù)學(xué)認知邏輯思維，從而讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中能夠游刃有余。本文以初中數(shù)學(xué)“勾股定理”教學(xué)為例，對基于認知邏輯下的學(xué)生創(chuàng)新思維培養(yǎng)訓(xùn)練進行實踐探索。

一、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生認知思維的發(fā)展分析

勾股定理是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，同時也是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中的難點部分。多年來，勾股定理被稱為“千古第一定理”，主要是因為勾股定理中體現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)知識是整個數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，如“直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”的規(guī)律，很多教師在講授這一規(guī)律時會通過“勾三股四弦五”的情境來引出，然后通過例子來驗證以上規(guī)律，如邊長分別為3、4、5的直角三角形，去套用規(guī)律，以此來達到教學(xué)目的。其實經(jīng)過反思之后，我們發(fā)現(xiàn)，這個例子的驗證過程是呆板、無趣的，在這個過程中沒有學(xué)生的自主思考，更沒有學(xué)生的創(chuàng)新。針對這樣的例子，教師只是緊緊盯著驗證本身，而沒有引導(dǎo)學(xué)生從例子中去主動探索3、4、5這三個數(shù)值的關(guān)系，沒有考慮到這樣的例題會讓學(xué)生產(chǎn)生哪些想法，這些想法對建構(gòu)勾股定理有哪些幫助等，所以教學(xué)價值并沒有發(fā)揮出來。同時，有的教師喜歡用數(shù)學(xué)歷史故事來引出勾股定理教學(xué)，如畢達哥拉斯去朋友家做客后發(fā)現(xiàn)地磚上的特殊三角形的關(guān)系這一數(shù)學(xué)歷史故事，雖然能發(fā)揮歷史故事激發(fā)學(xué)生興趣的直觀作用，但對勾股定理的知識建構(gòu)和學(xué)生認知思維的發(fā)展起到的作用是微乎其微的，關(guān)于這方面的問題似乎很少有教師關(guān)注到。

只有在知識建構(gòu)過程中幫助學(xué)生建立這一認知，才能有效促使學(xué)生在學(xué)習(xí)勾股定理的知識時產(chǎn)生思維創(chuàng)新，從而體現(xiàn)“教”和“學(xué)”的一致性。那么在教學(xué)實踐中該怎樣為學(xué)生建立這一認知，促進學(xué)生創(chuàng)新思維發(fā)展呢？下面筆者通過日常教學(xué)實踐來進行探索。

二、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的策略

（一）教會學(xué)生怎樣學(xué)習(xí)，先建構(gòu)知識認知思維

在講勾股定理相關(guān)知識時會經(jīng)常出現(xiàn)以下場景：

場景一：教師在臺上講得井井有條、內(nèi)容豐富，關(guān)于勾股定理的歷史故事、數(shù)學(xué)游戲等方式幾乎全都用上了。學(xué)生在臺下聽得津津有味、目不轉(zhuǎn)睛，能跟著教師的講解隨聲附和，似乎深入到了勾股定理的知識結(jié)構(gòu)中。但是當(dāng)教師隨機提問學(xué)生問題時，學(xué)生卻支支吾吾，回答不出來。

場景二：教師在課堂上合盤輸出，從一堂課的開始到結(jié)束，幾乎沒有停過，從勾股定理的證明方法、公式到課本上的例題分析、答案解析等，講得井然有序。學(xué)生能跟著教師的思路按部就班地完成各項學(xué)習(xí)任務(wù)。但在課后練習(xí)或者小測時卻一塌糊涂，雖然考查的知識都是教師在課堂上重復(fù)講解很多次的問題，但是在具體的練習(xí)中卻效果不佳。

以上兩個場景似乎是每一位教師都會遇到的且常見的問題，針對這些問題很多教師是剪不斷理還亂，有的采取不理睬，只顧自己的教學(xué)進度，也有的稍微注意，但并沒有從學(xué)生本身的認知特點出發(fā)，導(dǎo)致始終無法改變這些常態(tài)化問題。筆者認為，出現(xiàn)這些問題的因素有兩個方面：

一是教師方面。教師的教學(xué)重點大都放在了如何教上，如備課、講課、作業(yè)設(shè)計等，而忽略了教師教的最終目的是讓學(xué)生學(xué)好。其實課堂也是一個生態(tài)系統(tǒng)，要想維持這一生態(tài)系統(tǒng)的平衡，就需要將“教”和“學(xué)”達成和諧統(tǒng)一，這就需要教師不僅要考慮怎樣教，同時也要解決學(xué)生怎樣學(xué)的問題，這樣才能為學(xué)生的創(chuàng)新思維發(fā)展奠定基礎(chǔ)。在勾股定理教學(xué)過程中，將教和學(xué)融合進行的教學(xué)設(shè)計可以這樣進行：

首先，在備課環(huán)節(jié)，對于“勾股定理”，很多學(xué)生都是第一次接觸。教師需要摸清楚學(xué)生對勾股定理的初次感受，有的學(xué)生通過預(yù)習(xí)對勾股定理的相關(guān)知識有了簡單的認識，有的學(xué)生在課外數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中接觸過勾股定理，還有的學(xué)生聽過有關(guān)勾股定理的數(shù)學(xué)故事。教師只有在掌握學(xué)生的認知基礎(chǔ)后，才能在備課時將一些好的教學(xué)方法有目的、有針對性地融入其中，為更好地上課做足準(zhǔn)備。

其次，在講課環(huán)節(jié)，課堂是最能體現(xiàn)教師水平的地方，同時也是最能激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新思維的場所。在講勾股定理時，從勾股定理的歷史由來到命題驗證，從勾股定理的證法到勾股定理的逆向定理，講到每個點時，教師都要先顧及學(xué)生的感受，通過判斷學(xué)生的反應(yīng)來展開下一步教學(xué)。比如，關(guān)于等腰三角形的三邊之間的關(guān)系“斜邊的平方等于兩直角邊的平方和”，只是專門拿出來讓學(xué)生去死記硬背，這樣的方式是不科學(xué)的，不利于學(xué)生創(chuàng)新思維的形成。所以，筆者認為，在教學(xué)這部分知識時，教師可以采用反向教學(xué)設(shè)計，先讓學(xué)生去求證等腰直角三角形三條邊的關(guān)系，有的學(xué)生通過多次測量的方式，有的學(xué)生通過自己舉例說明的方式，無論采用哪種方式都是學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維的體現(xiàn)。學(xué)生在自我思考、驗證、求證的過程中，還會發(fā)現(xiàn)很多其他新的問題，如“只要是直角三角形都會有兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方的性質(zhì)嗎？”，提出這樣的問題，說明學(xué)生的認知思維在逐漸形成，表明學(xué)生已經(jīng)走進“勾股定理”的知識結(jié)構(gòu)深處，這對學(xué)生的知識轉(zhuǎn)化有很大的幫助。如果班級上大部分學(xué)生都無法理解或者驗證這個問題，那么教師就需要給予點撥，可以設(shè)計問題：“如圖1所示，已知每個小方格的面積是1，請分別算出圖中，正方形A，B，C，A′，B′，C′的面積?！蓖ㄟ^計算和對圖形觀察可以發(fā)現(xiàn)：“以斜邊為邊長的正方形面積，等于某個正方形的面積減去四個直角三角形的面積?！睆亩纬擅}，“如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2”，如圖2所示。然后學(xué)生再用自己知識認知內(nèi)的方法去驗證這一命題，如有的學(xué)生采用“趙爽弦圖法”進行命題驗證，有的用“畢達哥拉斯的證法”，還有的用《原本》中的證法。在這個過程中，教師不是牽著學(xué)生的鼻子走，而是潛移默化地引導(dǎo)學(xué)生主動去完成問題的探究，學(xué)會自己學(xué)習(xí)，逐漸形成認知邏輯，這正是學(xué)生創(chuàng)新思維形成的過程。

最后，在設(shè)計作業(yè)環(huán)節(jié)，作業(yè)是對學(xué)生課堂上所學(xué)知識的主要檢測方式，教師通過評改作業(yè)就可以對學(xué)生進行針對性的學(xué)習(xí)評估。但從目前的作業(yè)設(shè)計情況來看，照搬現(xiàn)成的作業(yè)已經(jīng)成為常態(tài)，這對學(xué)生創(chuàng)新思維培養(yǎng)會產(chǎn)生不利影響。因為現(xiàn)成的課后作業(yè)是無法從根本上體現(xiàn)出教師的課堂教學(xué)情況和學(xué)生的學(xué)習(xí)情況的，同時市面上的輔導(dǎo)材料五花八門，針對性較差，如果教師只把這些材料作為學(xué)生的課后作業(yè)來設(shè)計，那么不僅不利于教和學(xué)的有效銜接，同時也不利于學(xué)生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)。由此可見，科學(xué)的作業(yè)設(shè)計非常重要。在教學(xué)勾股定理這部分知識時，筆者采用了自主命題設(shè)計作業(yè)和完成課后教輔材料相結(jié)合的方式來布置課后作業(yè)。自主命題設(shè)計作業(yè)主要以課堂上所講的例題為主，以復(fù)習(xí)和鞏固基礎(chǔ)為目標(biāo)，如下題：

滿足下列條件的△ABC不是直角三角形的是（" ）

A.a=1，b=2，c=" B.a∶b∶c=3∶4∶5

C.∠A+∠B=∠C" " D.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5

這道選擇題比較簡單，主要考查學(xué)生對勾股定理特點的記憶情況，不需要通過計算的方式掌握規(guī)律。

課后教輔材料的作業(yè)布置主要以班級統(tǒng)一的課后學(xué)習(xí)材料為主，教師可以有選擇性、有層次性地讓學(xué)生自主完成教輔材料上的作業(yè)，同時鼓勵學(xué)生進行創(chuàng)新學(xué)習(xí)，如嘗試不同的證法、轉(zhuǎn)換思維反向解題等，鼓勵學(xué)生進行思維創(chuàng)新。

二是學(xué)生方面。學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，每位教師都能認識到這一點。但是在實際學(xué)習(xí)過程中，有些學(xué)生的學(xué)習(xí)方式或者數(shù)學(xué)思維是固化的、懶惰的，也就是說，他們?nèi)狈?chuàng)新的學(xué)習(xí)方式，缺少主動思考的積極性。這就導(dǎo)致在課堂上，學(xué)生被教師及教材牽著鼻子走，而無法突破并創(chuàng)新；同時也導(dǎo)致學(xué)生只是眼睛盯著教師，而思維卻被遠遠落下。這樣的學(xué)習(xí)方式很難有較好的效果。所以，教師在進行高效教學(xué)的過程中，需要教會學(xué)生掌握正確且高效的學(xué)習(xí)方法，讓學(xué)生在聽課的過程中能集中注意力，不斷發(fā)散思維，不斷創(chuàng)新。

（二）用思維驅(qū)動教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力

基于前面學(xué)生認知思維的建構(gòu)，在組織勾股定理的教學(xué)時，筆者嘗試采用以下“三步曲”，一方面為了促進學(xué)生對勾股定理的有效構(gòu)建，另一方面為了實現(xiàn)學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。

第一步，形成新認知。勾股定理體現(xiàn)的是直角三角形邊的關(guān)系特征，教師需要通過數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化或者表達式的關(guān)系轉(zhuǎn)化，采用從簡到繁的教學(xué)順序，從學(xué)生的認知規(guī)律出發(fā)，基于數(shù)的認識來構(gòu)建三角形，為學(xué)生構(gòu)建起勾股定理的表象，即“直角三角形的兩條直角邊的平方等于斜邊的平方”，同時這也是判定直角三角形的依據(jù)。在教學(xué)時，我給學(xué)生拋出這樣一個問題：“如果有三個非負整數(shù)分別為a，b，c，而且它們之間正好滿足a2+b2=c2，你能算出這三個數(shù)分別是多少嗎？”這個問題看似簡單，但在計算時如果學(xué)生找不到規(guī)律需要費很大勁才能換算出來，所以學(xué)生自主換算的過程是不能忽視的。當(dāng)有的學(xué)生得出是3，4，5之后，教師要趁熱打鐵，再一次拋出問題“有的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，如果有個三角形的邊長分別是這三個數(shù)后，那么這個三角形就是……”，當(dāng)教師為問題留下懸疑時，學(xué)生會結(jié)合以前學(xué)過的知識進行猜想，這時學(xué)生會通過想象構(gòu)建出這一圖形。在這個過程中，學(xué)生的創(chuàng)新力被激發(fā)了出來，他們對這三個數(shù)值進行對號入座，建構(gòu)出三角形的形狀，最終確定為直角三角形，這就為直角三角形三邊關(guān)系構(gòu)建起了表象，為創(chuàng)新思維奠定基礎(chǔ)。

第二步，完成親身體驗。教師提前為學(xué)生準(zhǔn)備好足夠長的繩子（教具），組織一次學(xué)習(xí)體驗：先讓學(xué)生取12等份為繩子打結(jié)，共打13個結(jié)，然后分別以3個結(jié)的間距、4個結(jié)的間距、5個結(jié)的間距長度為邊長，用釘子固定成一個三角形，最后觀察三角形的形狀。很明顯，圍成的三角形為直角三角形，這就是將第一步中表象的知識具體化體現(xiàn)的過程。在這個過程中，學(xué)生通過實踐操作體驗完善認知，建構(gòu)起思維，進而認識直角三角形三條邊的關(guān)系，清晰了解了這些能為后面勾股定理的運用、拓展奠定基礎(chǔ)。

第三步，構(gòu)建新思維。在前面兩步的基礎(chǔ)上，教師在講解勾股定理知識時應(yīng)從特殊到一般，讓學(xué)生認識到32+42=52這一看似偶然的等式是否具有一般意義上的a2+b2=c2的含義，這也正好迎合了第一步中對連續(xù)非負整數(shù)a，b，c的猜想。很明顯，3，4，5只是偶然，而符號a，b，c卻是一般，那么是不是所有的直角三角形都具有這樣的特點，就需要學(xué)生進一步證明。這里教師就可以帶領(lǐng)學(xué)生完成勾股定理逆命題的證明。

假設(shè)一個三角形的邊長分別為a，b，c，并且滿足a2+b2=c2，怎樣證明這個三角形是直角三角形？

證明：先畫兩個直角三角形，分別為△ABC和△A′B′C′，這兩個三角形的邊長相同，如圖3、圖4：

根據(jù)勾股定理，A′B′2=A′C′2+B′C′2=a2+b2，由于a2+b2=c2，所以A′B′=c，在△ABC和△A′B′C′中，BC=a=B′C′，AB=c=A′B′，AC=b=A′C′，所以，△ABC≌△A′B′C′，因此∠C=∠C′=90°，即△ABC為直角三角形。

這樣就形成了一種逆向思維，通過證明得出勾股定理的逆命題是正確的，它也是一個定理，這樣的定理即為勾股定理的逆定理。對于初中生來說，這是一種新的思維方式，一般地“原命題成立時，它的逆命題可能成立，也可能不成立。但通過證明之后成立的逆命題，這個命題也可以成為逆定理”。

這樣的思維比較抽象，難以理解，教師就需要通過切實的例子來進行引導(dǎo)，幫助學(xué)生思維進階。如下題：

判斷由線段a，b，c組成的三角形是不是直角三角形：a=15，b=8，c=17；a=13，b=14，c=15.

因為152+82=225+64=289，而172=289，所以，152+82=172，因此這個三角形為直角三角形。

因為132+142=169+196=365，而152=225，顯然132+142≠152，因此這個三角形不是直角三角形。

這樣通過一個簡單的驗證，引出勾股數(shù)，即“像15，8，17這樣能夠成為直角三角形三條邊長的三個整數(shù)，稱為勾股數(shù)”。

逆定理是數(shù)學(xué)中的新概念，它體現(xiàn)了一種全新的思維模式，掌握好這一思維模式對學(xué)生的創(chuàng)新思維發(fā)展有很大的促進作用。

（三）拓展課本知識，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新熱情

課本上的知識呈現(xiàn)方式和所呈現(xiàn)出來的內(nèi)容是有限的，同時課本上的知識也是側(cè)重于基礎(chǔ)和表層的內(nèi)容，要想讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中體驗數(shù)學(xué)創(chuàng)新的過程，教師需要拓展課本知識，用延伸性的問題激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新熱情，如“本例題還有其他的解法嗎？”“這一定理有沒有其他的變式”“你還能聯(lián)想到什么呢？”等，讓一般和類比思維成為學(xué)生思考和判斷的主要方法，讓學(xué)生能在課堂上充滿想象力，并飽含熱情地想要對數(shù)學(xué)知識進行深入探究。比如，在對勾股定理的課外練習(xí)延伸中，可以將平面三角形轉(zhuǎn)化到空間立體圖形中，如下題：

如圖5所示，已知四邊形ABCD是長方形，AC為對角線，則有AB2+BC2=AC2，即AB、BC、AC滿足勾股定理。如圖6所示，ABCD-A1B1C1D1是長方體，圖5中的線段AB、BC、AC分別對應(yīng)圖6中的面ABB1A1、面BCC1B1、面ACC1A1。若長方體的面ABB1A1、面BCC1B1、面ACC1A1的面積分別用α、β、γ表示，則α2+β2=γ2是否仍然成立？

這樣的題型和前面的平面題型形成了鮮明的對比，而且具有一定的難度，學(xué)生在解決這類圖形問題時，不僅需要對勾股定理運用熟練，而且還要具有一定的空間思維，能通過圖形的轉(zhuǎn)化思維用勾股定理進行驗證。這不僅是對知識的活學(xué)活用，同時也是對學(xué)生創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)。

三、教學(xué)總結(jié)

初中生正處于思維發(fā)展的黃金期，加之?dāng)?shù)學(xué)知識邏輯性強的學(xué)科特點，離不開學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程中認知思維的訓(xùn)練以及在教學(xué)過程中對學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。本節(jié)課中的勾股定理教學(xué)是初中階段數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要部分，在教學(xué)實踐中注重對學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)需要注意以下方面：

1.要注意從學(xué)生的實際水平出發(fā)。因為學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，同時他們又是獨立的個體，在同一班級內(nèi)每個學(xué)生具有一定的差異化，他們的創(chuàng)新能力水平是不同的、邏輯思維能力是不同的、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)掌握能力是不同的，等等。在這些差異化的基礎(chǔ)上，教師不能采用“一刀切”式的講課方式，而是要針對學(xué)生的情況酌情設(shè)計學(xué)習(xí)任務(wù)、布置課后作業(yè)等，以此幫助學(xué)生的創(chuàng)新能力都能得到一定程度的發(fā)展。

2.要注意對學(xué)生創(chuàng)新表現(xiàn)的評價。學(xué)生的創(chuàng)新表現(xiàn)是一種隱性的綜合表現(xiàn)，并不能只通過學(xué)生的一次練習(xí)或者一個問題的回答就單一評價，而是要結(jié)合學(xué)生在某個時間段的整體創(chuàng)新體現(xiàn)。如在勾股定理學(xué)習(xí)過程中，從課前預(yù)習(xí)、課上聽課、課后練習(xí)等環(huán)節(jié)都表現(xiàn)積極，邏輯思維活躍，想象力豐富，教師需要對學(xué)生的創(chuàng)新水平進行綜合評價，以此來保證評價的科學(xué)性。

（作者單位：蘇州大學(xué)高郵實驗學(xué)校）

編輯：曾彥慧