挖掘倍比關系，提高學生理解力

在小學數(shù)學中，分數(shù)的理解是學生從具體數(shù)量認知向抽象數(shù)學思維過渡的關鍵環(huán)節(jié)。而“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”這一內容，不僅涉及分數(shù)的基本概念，還是學生理解比、比例等的基礎。

本文以“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”的教學為例，探討如何在教學中運用問題導向策略挖掘倍比關系，幫助學生逐步構建分數(shù)思維，提高對數(shù)學知識的理解能力和應用能力。

一、課前思考

（一）知識梳理

本節(jié)課教學主要包含以下幾方面內容：

1.理解分數(shù)在表示倍比關系中的應用。學生需要掌握如何使用分數(shù)來表示兩個同類數(shù)量之間的倍比關系。這包括認識到分數(shù)不僅僅表示部分與整體的關系，還可以用于描述兩個數(shù)量之間的倍數(shù)關系。

2.確定單位“1”的選擇。教學中，教師要讓學生明確選擇和確定哪個數(shù)量作為單位“1”。這一步驟對于學生理解分數(shù)表示的基本單位至關重要，并且對后續(xù)計算和理解具有基礎性作用。

3.區(qū)分不同的分數(shù)表示。教師需要幫助學生區(qū)分表示兩個同類數(shù)量之間倍比關系的分數(shù)和表示部分與整體之間倍比關系的分數(shù)。理解這兩種不同類型的分數(shù)及其應用場景，學生能更準確地應用分數(shù)解決問題。

（二）方法明確

從知識內容的角度來看，“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”和“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”在本質上是相似的。具體而言，這兩個問題都涉及對數(shù)量關系的理解和應用。

從學生的認知情況看，他們已經(jīng)掌握了“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”的方法，因此，本節(jié)課可以充分利用學生對“倍”的理解引導他們通過類比遷移的方式來探索“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”的新知識。這種方法不僅能夠幫助學生將已有的知識經(jīng)驗應用到新的情境中，還能夠在結構化的學習過程中有效提升學生的理解力。

（三）本質探究

“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”的本質在于兩個同類量之間的份數(shù)比關系。分數(shù)的意義以及用分數(shù)和除法來表示“幾分之幾”的方法，都旨在闡釋這一本質。分數(shù)不僅僅是一種表示部分與整體關系的工具，還是描述兩個同類量之間比例關系的有效手段。掌握這一本質對學生深刻理解“幾分之幾”概念至關重要。通過對這種份數(shù)比關系的理解，學生能夠更全面地認識分數(shù)的實際意義，并為后續(xù)學習分數(shù)約分等相關知識打下基礎。

二、課中實踐

（一）創(chuàng)設情境，激活需要

復習引入，出示問題：王阿姨買了一些花，紅花有9朵，黃花有3朵，紅花的朵數(shù)是黃花的幾倍？

師：根據(jù)紅花有9朵，黃花有3朵，怎樣求紅花的朵數(shù)是黃花的幾倍呢？

生：這是求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍的問題，可以用除法計算，即9÷3=3。

師：為什么沒有單位？

生：這里的3表示的是紅花朵數(shù)與黃花朵數(shù)的關系，不是一個具體的數(shù)量，所以沒有單位名稱。

師：根據(jù)已知條件，再思考：黃花的朵數(shù)是紅花的幾分之幾？今天我們就來研究這樣的問題。

（設計意圖：本環(huán)節(jié)通過提問與列式幫助學生回顧和鞏固“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”這一問題的解決思路與方法。通過簡明的提問和系統(tǒng)的列式演示，學生能夠重新梳理倍數(shù)問題的基本邏輯和計算步驟，進一步加深對倍數(shù)關系的理解。與此同時，教師通過引入與學生生活實際相關的問題情境，激發(fā)他們的興趣和參與度，為接下來開展類比遷移教學活動做好鋪墊。）

（二）自主探究，明確方法

師：（出示圖1）仔細觀察，你能根據(jù)題意求出黃彩帶的長是紅彩帶的幾分之幾嗎？請思考以下問題：（1）黃彩帶與紅彩帶的長度有怎樣的關系？（2）怎樣求黃彩帶的長是紅彩帶的幾分之幾？

生：把紅彩帶的長看作單位“1”，平均分成4份，黃彩帶的長相當于這樣的1份。根據(jù)分數(shù)的意義，我們可以說：黃彩帶的長是紅彩帶的1/4。

生：把黃彩帶的長看作1份，紅彩帶的長有這樣的4份，把這個問題看作“求1份是4份的幾分之幾”，可以根據(jù)分數(shù)與除法的關系，列出算式1÷4=1/4。

師：你是把題中的哪個數(shù)量看作單位“1”的？

生：把紅彩帶的長看作單位“1”。

（設計意圖：通過動手操作與直觀感知，幫助學生逐步構建對分數(shù)與倍數(shù)關系的理解。通過畫圖和列式，讓學生更為形象地理解彩帶長度之間的倍數(shù)關系，為抽象的數(shù)學概念提供具體的支撐，引導學生從倍數(shù)思維轉向分數(shù)思維。）

師：（出示圖2）仔細觀察，現(xiàn)在你能根據(jù)題意，求出藍彩帶的長是紅彩帶的幾分之幾嗎？請寫一寫，畫一畫。

生：（展示圖3）可以把紅彩帶的長度4米看作單位“1”，用虛線表示，平均分成4份，藍彩帶的長度相當于這樣的3份。根據(jù)份數(shù)的關系，從分數(shù)的意義的角度思考，可以說：藍彩帶的長是紅彩帶的3/4。

生：紅彩帶長4米，藍彩帶長3米，他們都是具體的長度，可以根據(jù)分數(shù)與除法的關系，用3÷4=3/4。

師：算式里的“3”表示什么？“4”表示什么？

生：算式里的“3”表示藍彩帶的長度是3米，“4”表示紅彩帶的長度是4米。

生：算式里的“3”還可以表示把藍彩帶的長度平均分成的3份，“4”表示紅彩帶的長度也可以平均分成這樣的4份。

師：你是把題中的哪個數(shù)量看作單位“1”的？

生：把紅彩帶的長看作單位“1”。

師：這個算式的得數(shù)后面有單位名稱嗎？

生：沒有。它表示藍彩帶的長與紅彩帶的長之間的關系，不是一個具體的數(shù)量，因此沒有單位名稱。

師：對于課前的問題，大家現(xiàn)在能回答了嗎？

生：3÷9=3/9。

師：對比課前問題和課上問題的解題過程，大家來說說，怎樣求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾？

生：解決這樣的問題要用除法，算式中的除數(shù)都是看作單位“1”的量。

生：不論從份數(shù)角度思考的1÷4=1/4，還是從數(shù)量角度思考的3÷4=3/4，都是要用一個數(shù)除以另一個數(shù)來計算。

（設計意圖：本環(huán)節(jié)通過類比遷移引導學生逐步認識幾分之幾都可以通過除法來解決。這一過程不僅幫助學生從數(shù)量理解除法計算的實際操作，還啟發(fā)他們從“份數(shù)關系”的角度進行思考。特別是通過“份數(shù)”角度的引導，學生能夠更深入地理解像這樣的分數(shù)在表示兩個數(shù)量之間關系時的基本意義。這種認識能夠幫助學生超越表面的數(shù)值運算，理解分數(shù)在表示相對關系時的深刻內涵，有助于他們將“幾分之幾”這一概念應用到更廣泛的數(shù)學問題情境中。）

（三）深入思考，明確本質

師：（出示圖4）小紅做了一些手工材料，有3個三角形，9個圓。動腦筋想一想：三角形的個數(shù)與圓的個數(shù)有怎樣的關系？

生：（展示圖5）把圓的個數(shù)看作單位“1”，平均分成了9份，三角形的個數(shù)相當于這樣的3份。列式為3÷9=3/9，就可以說，三角形的個數(shù)是圓的3/9。

生：（展示圖6）把圓的個數(shù)看作單位1，平均分成了3份，三角形的個數(shù)相當于這樣的1份。列式為1÷3=1/3，就可以說，三角形的個數(shù)是圓的1/3。

師：這兩種方法有哪些相同點和不同點？

生：相同點是都把圓的個數(shù)看作單位“1”，進行了平均分，看三角形的個數(shù)相當于這樣的幾份。

生：不同點是單位“1”平均分成的份數(shù)不同，因此，三角形的個數(shù)相當于這樣的份數(shù)也不同。

（設計意圖：本環(huán)節(jié)通過引導學生深入探究“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”這一問題的多種計算方式，幫助學生從不同角度理解這一數(shù)學問題的本質。教師通過提問和探討，讓學生意識到無論采用哪種計算方式，核心思路都是將參考量視作單位“1”，并將其平均分成若干份，再與比較量進行對比。）

師：你能根據(jù)今天所學編寫一道可以用兩種方法解決的問題，并列式解答嗎？

生：小芳每天睡8小時，她一天的睡眠時間占全天的幾分之幾？

方法一：8÷24＝8/24

方法二：（展示圖7）可以把全天的24小時看作單位“1”，用虛線表示，平均分成3份，睡眠時間的8小時相當于這樣的1份。根據(jù)份數(shù)的關系，用1÷3=1/3，可以說：睡眠時間是全天時間的1/3。

師：通過這節(jié)課的學習，說說你學到了什么。

生：我明白了“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”和“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”計算方法相同，都可以用除法計算。

（設計意圖：通過引導學生自主設計練習，鼓勵他們在實際操作中進一步理解并掌握“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”的核心意義和解題方法。同時，通過這種自我生成問題的方式，學生能夠自主建構相應的除法運算模型，將問題抽象為數(shù)學語言。）

三、課后反思

（一）類比遷移，提升學生推理能力

數(shù)學知識的學習是一個螺旋式上升的過程。教師在教授這類知識時，需要厘清數(shù)學知識的發(fā)展脈絡，找準不同知識點之間的聯(lián)系。在教學中，合理設計主問題，能夠有效引導學生基于已有經(jīng)驗進行類比和遷移，從而發(fā)展他們的合情推理能力。

在本節(jié)課中，教師立足知識的整體性，將“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”的學習放置在表示兩種數(shù)量之間倍比關系的知識框架中，促進學生的聯(lián)想和類比遷移，進一步拓展對分數(shù)的意義的認識。

教學過程中，學生不僅在已有知識的基礎上進行類比和遷移，還通過推理活動逐步建構對數(shù)量關系的深刻理解，發(fā)展了數(shù)學推理能力。

（二）數(shù)形結合，提升學生抽象思維能力

數(shù)學學習離不開直觀工具的支持，而畫圖是將抽象數(shù)學概念轉化為直觀理解的重要手段。在學習“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”這一問題的解決方法時，學生通常能夠建立知識的發(fā)展脈絡和解題思路。然而，對“一個數(shù)為何可以是另一個數(shù)的幾分之幾”這一問題，學生的理解往往較為淺顯。

教學中，教師特別設計了課前作業(yè)，使數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出倍數(shù)關系。在沒有圖示輔助的情況下，教師發(fā)現(xiàn)學生對3/9的不同寫法理解不足。教師通過追問“對于算式3÷9=3/9，你有什么想法”來引導學生深入思考。通過作圖和列式的方式，教師幫助學生發(fā)現(xiàn)單位“1”可以用不同的方法進行平均分配，從而得到不同的結果。這個過程中，學生不僅僅在具體的算式上進行操作，更在理解這些操作背后的數(shù)學原理和邏輯。

通過這種引導，學生的理解從“數(shù)量”角度逐漸轉向“份數(shù)”角度，進而認識到不同形式的分數(shù)在本質上表達的是相同的數(shù)學關系。這個過程促使學生從具體的例子抽象出分數(shù)表示“幾分之幾”的本質特征，從而提升他們的抽象思維能力，進而理解和處理更復雜的問題。

這種教學方式不僅增強了學生對數(shù)學概念的直觀感知，還顯著提高了學生在處理類似問題時的抽象思維能力，從而在解決問題時展現(xiàn)出更強的靈活性和更高的準確性。

（三）自主設計，提升學生應用能力

學生依據(jù)所學知識并結合生活經(jīng)驗自主設計問題，可以直接體現(xiàn)對所學內容的掌握程度。在教學中，讓學生自主設計可以用不同分數(shù)解決“一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”的問題，有助于學生鞏固所學知識，并加深對實際情境中復雜問題的理解。學生設計出的問題主要分為兩類：離散量和連續(xù)量。離散量問題通常涉及“個數(shù)”，學生會采用圈一圈的方式進行平均分配；連續(xù)量問題則涉及“長度”，學生會采用分段的方式進行平均分配。這些設計任務不僅讓學生實踐所學知識，還促使他們將理論應用到實際情境中。

通過自主設計活動，學生能夠積累大量的實踐經(jīng)驗，進一步豐富對生活中“幾分之幾”問題的理解。這一過程不僅幫助學生將所學知識應用到實際問題中，還提升了他們在真實情境中解決問題的能力。例如，在設計離散量問題時，學生學會了如何將分數(shù)與實際個數(shù)相聯(lián)系；在處理連續(xù)量問題時，他們掌握了如何在長度的實際問題中應用分數(shù)。這些能力的提升促使學生更靈活地運用數(shù)學知識來解決實際問題，從而增強了他們的應用能力和數(shù)學思維。

四、總結

學生理解力的提升是一個漸進而持續(xù)的過程。在日常教學中，教師需深入剖析看似簡單的數(shù)學現(xiàn)象，引導學生進行更為深刻的思考。本課的教學實踐證明：

1.知識架構的厘清：在教學過程中，教師通過系統(tǒng)梳理倍比關系的基本知識，幫助學生建立清晰的知識框架。通過深入剖析“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”的本質，學生能夠更全面地理解分數(shù)的意義。

2.本質問題的挖掘：通過對倍比關系的深入挖掘，教師引導學生從多個角度探討分數(shù)的含義。這樣的探究不僅加深了學生對分數(shù)概念的理解，還幫助他們掌握了將這一概念應用于不同數(shù)學問題的方法。

3.延伸理解的拓展：教師通過類比遷移、數(shù)形結合和自主設計等教學方法，有效地拓展了學生對倍比關系的理解。這些方法幫助學生將抽象的數(shù)學概念轉化為具體的操作步驟，提升了他們的推理能力、抽象思維能力和應用能力。

編輯：常超波

作者簡介：劉祥（1997—），男，漢族，江蘇南京人，本科，小學二級教師，研究方向：小學數(shù)學。