關注小初銜接 把握數(shù)式通性 提升數(shù)學素養(yǎng)

摘 要：小初銜接是學生數(shù)學學習的重要轉折點，“數(shù)與式”的學習是該階段的核心內(nèi)容.教師應以“單位”為核心，幫助學生理解“數(shù)與式”的運算本質，通過類比與推理，引導學生實現(xiàn)從具象思維到抽象思維的過渡.同時，教師應采用“變教為學”的教學理念，借助數(shù)學“太極圖”類比“數(shù)與式”之間的辯證統(tǒng)一關系，構建完整的運算體系，讓學生理解“式”的引入是連貫且自然的，進而提升學生數(shù)學核心素養(yǎng).

關鍵詞：小初銜接；數(shù)式通性；數(shù)學核心素養(yǎng)；運算體系

小初銜接是學生身心發(fā)展的關鍵階段，學生面臨學習環(huán)境改變、學習方式差異以及學習內(nèi)容思維水平躍升等挑戰(zhàn).2022年，教育部頒布了《義務教育課程方案（2022年版）》與《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”），“注重學段銜接”是本次修訂的重點^［1］，特別強調小初銜接應著重把握學習目標的連續(xù)性與進階性.這就要求教師應以核心素養(yǎng)為導向，加強課程內(nèi)容組織的結構化整合，幫助學生在小初銜接中實現(xiàn)平穩(wěn)過渡并提升數(shù)學核心素養(yǎng).

“數(shù)與代數(shù)”作為義務教育階段數(shù)學知識體系的重要領域之一，在小學階段涵蓋“數(shù)與運算”和“數(shù)量關系”兩個主題，在初中階段則擴展為“數(shù)與式”“方程與不等式”和“函數(shù)”三個主題.其中，“數(shù)與式”不僅標志著從具象思維到抽象思維的過渡，也凸顯了其在小初運算體系中的關鍵地位.以人教版初中數(shù)學教材為例，“數(shù)與式”的知識內(nèi)容分散在七、八年級四冊教材的八個單元中，且七年級上冊教材的前四章（有理數(shù)、有理數(shù)的運算、代數(shù)式、整式的加減）均編排“數(shù)與式”內(nèi)容，充分體現(xiàn)該主題在小初數(shù)學教學銜接中尤為重要.^［2］本文以“數(shù)與式”為例，探討在小初數(shù)學教學銜接中把握數(shù)式通性，加強代數(shù)推理的重要性，總結教學策略，以期提升學生數(shù)學核心素養(yǎng).

1 以“單位”搭建小初銜接橋梁

1.1 洞悉“單位”本質，把握數(shù)式通性

王尚志、史寧中、章建躍等學者多次強調“單位”的作用，揭示“單位”不僅是數(shù)學教學中的關鍵環(huán)節(jié)，也是日常生活中不可或缺的思維方式.從結繩計數(shù)到位值制，計數(shù)單位成為計數(shù)的核心，計數(shù)由“一個一個”地數(shù)到“一組一組”地數(shù)，實際上是表達“有多少個計數(shù)單位”.在生活中，兩個蘋果與三把椅子顯然不能進行加法運算.從數(shù)學的角度來看，本質上在于蘋果和椅子的“單位”不同.

在新課標中，運算能力作為數(shù)學核心素養(yǎng)的重要組成部分，對學生提出了較高要求.理解算理與算法是數(shù)學學習的關鍵.從小數(shù)、分數(shù)到自然數(shù)，運算的一致性可以通過計數(shù)單位及其對應的數(shù)量來解釋.小學階段，學生主要關注計數(shù)單位，隨著數(shù)系擴展到實數(shù)系，引入字母表示數(shù)，運算對象擴展到代數(shù)式，運算單位的概念也隨之引入.^［3］因此，數(shù)與代數(shù)式在“單位”上具有一致性，有助于學生建立清晰的數(shù)學運算體系，為解決更復雜問題打下基礎.為了更容易理解數(shù)式通性，將計數(shù)單位與運算單位統(tǒng)稱為“單位”.

在小學階段，對于自然數(shù)、小數(shù)的運算比較容易處理，其單位具有明確的層級遞進性，每一個自然數(shù)單位表示的數(shù)量都不同.分數(shù)的運算則不同，區(qū)別在于分數(shù)具有“等價類”，如1/2、2/4、3/6、4/8，這些分數(shù)雖然形式不一樣，但其所代表的大小是一樣的.基于此，分數(shù)“單位”可通過“等價類”靈活轉換，在運算時先構建新的分數(shù)單位，即“通分”，再在相同“單位”上進行數(shù)量的運算.初中階段接觸負數(shù)后，有理數(shù)可以包括正有理數(shù)、負有理數(shù)與0，它們都可以表示為分數(shù)形式，因此其“單位”可以用±1/n表示.

從“數(shù)”到“式”的過渡是小初數(shù)學銜接的關鍵環(huán)節(jié)，對于學生形成抽象思維能力等高階思維具有重要意義.然而，當學生初次接觸到含有字母的題目時，往往會產(chǎn)生畏難情緒.這主要是因為字母在數(shù)學中的出現(xiàn)對于初一學生來說相對陌生.因此，教師應引導學生理解，字母只是用來代替數(shù)字的一種符號，而非僅局限于字母本身.例如，圖形“○”“△”或其他字符同樣可以代替.教師可以通過引導學生觀察、類比并尋找規(guī)律，幫助其實現(xiàn)從具象思維到抽象思維的過渡，并在此過程中把握“單位”的作用.通過這種方式，學生能夠將一類問題變成一個問題的同時，表示一般規(guī)律，從而提升數(shù)學思維能力和解決問題的能力.

1.2 類比運算形式，體會代數(shù)推理

數(shù)學推理，作為數(shù)學領域中的核心活動之一，主要圍繞數(shù)量關系和空間形式的數(shù)學符號展開.^［4］從數(shù)學推理的研究對象不難看出，幾何推理和代數(shù)推理是其兩大基本載體.然而，在小初數(shù)學教學銜接中，教師通常偏重幾何推理來培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，而對代數(shù)推理的重視程度不足^［5］，導致學生體驗推理的生成過程欠佳^［6］，不利于學生推理能力的全面發(fā)展.新課標首次將“了解代數(shù)推理”寫入課程內(nèi)容，揭示了運用代數(shù)推理論證結論對學生形成推理能力的重要價值.^［7］

1.2.1 四則運算

數(shù)的運算本質上是對計數(shù)單位的運算，這體現(xiàn)出加、減、乘、除四種運算蘊含的一致性.以關于自然數(shù)的皮亞諾公理為推理基礎，可以發(fā)現(xiàn)減法、乘法、除法最終都能用加法表示，因此加法可以被視為運算的基礎（如圖1）.

從“單位”的角度來看待問題時，小數(shù)加減運算中的“小數(shù)點對齊”、同分母分數(shù)加減運算中的“分母不變，分子相加減”，以及異分母分數(shù)加減運算中的“通分”等步驟就能夠從記憶口訣向理解數(shù)學本質過渡.然而，數(shù)的乘除運算涉及新“單位”的構造，乘法運算是要在單位化后完成“單位×單位”“數(shù)量×數(shù)量”，如a/b×c/d=（a×1/b）×（c×1/d）=（a×c）×（1/b×1/d）=ac/bd；除法運算則是在單位化后將單位統(tǒng)一，再進行自然數(shù)的除法.同時，教材在解釋分數(shù)除法時往往采用乘法是除法的逆運算，即通過找規(guī)律的方式解釋為什么除以一個數(shù)等于乘它的倒數(shù).然而，從“單位”角度來看，相同“單位”上的運算“單位”不起作用，則有a/b÷c/d=ad/bd÷cb/bd=ad/cb=a/b×d/c.可見，代數(shù)推理在數(shù)的四則運算中的運算形式上用處廣泛.教師在小初銜接教學時應注重對學生代數(shù)推理能力的培養(yǎng).

在理解“單位”作用的基礎上，代數(shù)式和數(shù)一樣也可以在一定條件下進行四則運算，即字母與數(shù)的積是單項式，單項式的代數(shù)和是多項式（整式），整式與整式的商是分式.對于代數(shù)式的加減運算，即合并同類項，本質上是對相同“單位”上數(shù)量的累計.例如，在講解“數(shù)”的運算387＋62=（3×10²＋8×10¹＋7×10⁰）＋（6×10¹＋2×10⁰）=3×10²＋（8＋6）×10¹＋（7＋2）×10⁰=300＋140＋9=449 后，類比學習（3a²＋8a＋7）＋（6a＋2），多數(shù)學生能夠通過代數(shù)推理與類比推理得出結果.同樣地，代數(shù)式的乘法也應遵循類似的規(guī)律和原則.這種思維方式對掌握平方差公式與完全平方公式起到奠基作用.對于代數(shù)式的除法而言，雖然中等教育并未要求學生掌握代數(shù)式的除法，但作為教師也應該學會類比數(shù)的除法運算，進而形成體系化的認識，并能夠運用數(shù)論中的余數(shù)定理站在上位高度看待中小學知識，以幫助學生更好地理解.

1.2.2 乘方與開方運算

小學中，提到乘方運算往往與面積和體積有關，初中接觸同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方和積的乘方，依據(jù)乘方的含義推理出相應公式.在代數(shù)式中，除了可以在完全平方公式中體現(xiàn)外，還可以拓展為n次方.

開方與乘方互為逆運算.提到數(shù)的開方運算之前，不得不提到無理數(shù).教師往往通過“已知正方形面積為2，求邊長”的情境導入，讓學生通過平方根與立方根先接觸無限不循環(huán)小數(shù)，并著重通過《勾股定理》等單元在直角三角形中加深學生對無理數(shù)的認識.教師在教學中常借助幾何方法幫助學生直觀地理解無理數(shù)的存在，但更應注重運用代數(shù)方法，引導學生理解任何無理數(shù)都可以通過有理數(shù)進行逼近.作為教師，應該在教學過程中讓學生體會到代數(shù)推理的一致性，將教學重點放在用有理數(shù)逼近√ˉ2的過程.同時，教師應讓學生自主嘗試求出√ˉ3、√ˉ5、3/7甚至29/367的任意給定精度的近似值.數(shù)的開方運算則是將最簡根式作為“單位”，對不同“單位”的數(shù)量進行計算.教師用“單位”搭建橋梁，那么諸如√ˉ2＋√ˉ3=√ˉ5的錯誤便會少之又少.在代數(shù)式中對整式或分式進行開方運算是根式.根式的乘法與除法運算與加減法的合并同類項不同，而是產(chǎn)生新“單位”.類比數(shù)的開方運算，如√ˉ√ˉa·√ˉb=√ˉab，√ˉa÷√ˉb=√ˉa/b，它們的結果√ˉab、√ˉa/b就是產(chǎn)生的新“單位”.代數(shù)式中的“同類項”是解決乘方與開方運算中的關鍵，“單位”與其對應的數(shù)量是小初高運算體系中的基本思路與通法，在高中階段擴展到復數(shù)域對于不同運算對象仍然適用.

1.3 實現(xiàn)變教為學，繪制數(shù)學“太極圖”

基于德國數(shù)學家菲利克斯·克萊因（F. C. Klein）在《高觀點下的初等數(shù)學》中提到的“一切初等運算都依賴于自然數(shù)的11條運算律”（見表1）.^［8］因此，可以類比“數(shù)”的運算法則來理解“代數(shù)式”的運算法則.

基于此，數(shù)與式之間存在辯證統(tǒng)一的關系，這種關系類似于太極圖中陰陽對立統(tǒng)一的哲學思想.^［9］在小學和初中階段，學生不僅可以對“整數(shù)與分數(shù)”“整式與分式”“單項式與多項式”進行類比學習，也可以對“數(shù)與式”的同構關系在運算對象、運算形式、運算規(guī)則、運算應用等方面進行類比.

新課標要求一線教師實現(xiàn)“變教為學”的課堂樣態(tài)轉換，從案例研究中分析并理解學生對知識的掌握程度.^［10］教師應充分信任學生、尊重學生，培養(yǎng)學生想學、愛學的自主學習模式，并以精準的驅動性問題為引導.回溯研究現(xiàn)狀與教學實例，已有學者以流程圖的形式繪制出小學及初中學段“數(shù)與式”的整體框架，清晰呈現(xiàn)了相關知識的結構與脈絡.^［11］同時，一線教師也進行了創(chuàng)新實踐，以思維導圖為媒介更改作業(yè)形式，引導學生對知識進行類比與鞏固.^［12］隨著中國傳統(tǒng)文化進課標、進教材、進課堂、進評價，教師可以鼓勵學生采用“太極圖”的陰陽對立統(tǒng)一關系用來描述數(shù)與式之間的關系，這樣不僅能夠幫助學生回顧所學知識，還能夠體會二者之間的聯(lián)系.其中，“數(shù)”可以看作是具體的、確定的“陰”，而“式”可以看作是抽象的、可變的“陽”.它們相互依存，共同構成了數(shù)學體系的基礎（如圖2）.

2 形成運算體系，提升數(shù)學素養(yǎng)

目前，部分九年一貫制學校已經(jīng)開始探索設計小初銜接課程，以助力學生在小學與初中階段平穩(wěn)過渡.^［13］然而，在構建運算體系方面，教師對基于“單位”搭建小初銜接橋梁的意識還較為薄弱.因此，為實現(xiàn)小學與初中的雙向靠攏，應當重視在小初不同階段設計系列課程，幫助學生深入理解運算的本質，擺脫對機械記憶的依賴，讓學生真正體會到運算體系一脈相通、螺旋上升的內(nèi)在邏輯與魅力，對于提升學生的抽象能力、推理能力、運算能力、模型觀念等數(shù)學核心素養(yǎng)具有重要意義.

從小學過渡到初中，學生會廣泛接觸“合并同類項”這一求解模型的基本步驟.然而，許多學生在進入初中后，往往已經(jīng)將小學階段所學的“單位”概念拋之腦后，教師也未能幫助學生有效建立“數(shù)”與“式”之間的聯(lián)系.因此，教師對學生在合并同類項中出現(xiàn)的錯誤表示不理解.^［14］究其原因，在于教師經(jīng)過多年的教學實踐，雖然已經(jīng)將“同類項”與“單位”相掛鉤，但在講授過程中卻未能精準把握學生理解的難點.因此，教師應幫助學生認識到代數(shù)式的引入是順理成章的，而非一套全新的運算體系.教師應正確看待課堂練習及作業(yè)中所出現(xiàn)的錯誤，精準預設并巧妙地利用錯誤，以學生錯誤引領教師成長、改善課堂教學.同時，教師需要引導學生循序漸進地掌握數(shù)學運算體系，把握好過程與結果的關系，從而幫助學生更好地理解數(shù)學知識，提升數(shù)學思維能力.^［15］

3 結語

教學實踐中，教師應重視小初銜接階段的教學設計，創(chuàng)新教學方法，以多樣化的教學模式和作業(yè)形式體現(xiàn)數(shù)學的育人價值.通過引導學生從“學會”邁向“會學”，教師能夠幫助學生感悟數(shù)學的嚴謹性，體會數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系與邏輯之美.本文以“數(shù)與式”為例，以“單位”為橋梁體會數(shù)式通性，深入探討了小初數(shù)學銜接中的關鍵問題，旨在為一線教師提供切實可行的教學思路.

參考文獻

［1］［7］中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］張思凡.課程內(nèi)容結構化視角下的“數(shù)與式”主題探究課教學——以“二次根式中的變形方法探究”為例［J］.上海中學數(shù)學，2024（6）：21－25＋31.

［3］章建躍.核心素養(yǎng)導向的初中數(shù)學教學變革——以“數(shù)與式”為例［J］.中學數(shù)學教學參考，2023（2）：2－5＋21.

［4］程靖，孫婷，鮑建生.我國八年級學生數(shù)學推理論證能力的調查研究［J］.課程·教材·教法，2016（4）：17－22.

［5］邢成云，王尚志.初中數(shù)學教學中加強代數(shù)推理的思考［J］.數(shù)學通報，2024（10）：17－21＋61.

［6］杜宵豐，趙家鋒，周達，等.初中數(shù)學教師推理教學信念的個案分析［J］.教學與管理，2020（21）：23－26.

［8］菲利克斯·克萊因.高觀點下的初等數(shù)學［M］.上海：復旦大學出版社，2008.

［9］邢成云，劉曉玫.數(shù)式同構 循脈生長——人教版“整式的加減”章起始課教學設計［J］.數(shù)學通報，2021（1）：18－23＋27.

［10］郜舒竹.“變教為學”需要“善待錯誤”［J］.教學月刊小學版（數(shù)學），2013（10）：4－7.

［11］劉志昂.數(shù)式通性：代數(shù)知識結構化的整體性教學［J］.中國數(shù)學教育，2024（11）：47－50.

［12］儲志英.巧用思維導圖，整體建構單元知識——思維導圖在初中數(shù)學復習中的教學策略探究［J］.中學數(shù)學，2022（2）：70－72.

［13］雷曉蘭，周恒.促進學生知識結構化構建的大單元教學策略——以數(shù)與代數(shù)知識板塊教學為例［J］.教育科學論壇，2021（10）：25－27.

［14］梁敏詩，趙繼源，覃秋玲.學生代數(shù)式學習困難的原因分析及應對策略［J］.現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè)，2021（15）：153－154.

［15］楊翠麗.理解性錯誤分析與教學策略研究——以初中生代數(shù)學習為例［J］.上海教育科研，2018（5）：77－80.