高中數(shù)學(xué)建模在探究活動(dòng)中的應(yīng)用與實(shí)踐研究

摘要：高中數(shù)學(xué)建模作為培養(yǎng)學(xué)生綜合素養(yǎng)的重要教學(xué)工具，近年來(lái)在探究式活動(dòng)中的應(yīng)用與實(shí)踐研究得到了廣泛關(guān)注.數(shù)學(xué)建模通過(guò)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)意義，提升其分析、推理和解決問(wèn)題的能力.

關(guān)鍵詞：高中；數(shù)學(xué)建模；探究活動(dòng)；應(yīng)用與實(shí)踐

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2025）09-0043-03

隨著教育理念的不斷改革，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)模式面臨轉(zhuǎn)型挑戰(zhàn)，高中數(shù)學(xué)建模逐漸成為培養(yǎng)學(xué)生綜合能力的重要手段.這是由于數(shù)學(xué)建模不僅有助于學(xué)生將課堂中學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題，還能夠激發(fā)其探究和創(chuàng)新精神，培養(yǎng)其批判性思維和自主學(xué)習(xí)能力.基于此，本文以探究活動(dòng)“茶水水溫問(wèn)題”為例，詳細(xì)闡述高中數(shù)學(xué)建模在探究活動(dòng)中的應(yīng)用與實(shí)踐措施.

1高中數(shù)學(xué)建模在探究活動(dòng)中的應(yīng)用意義

1.1提升學(xué)生的問(wèn)題解決能力

數(shù)學(xué)建模本質(zhì)上是將復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)建立模型進(jìn)行求解.在這一過(guò)程中，學(xué)生不僅要掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，還需要學(xué)會(huì)如何從紛繁復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中提煉出關(guān)鍵的數(shù)學(xué)因素，并進(jìn)行合理的簡(jiǎn)化和假設(shè)[1].例如，在經(jīng)濟(jì)學(xué)或物理學(xué)相關(guān)的建模中，學(xué)生需要將問(wèn)題抽象為函數(shù)、方程或幾何圖形，利用高中所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行推理與分析.數(shù)學(xué)建模探究活動(dòng)通過(guò)引入實(shí)際問(wèn)題，幫助學(xué)生在多變的情境中應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，鍛煉其適應(yīng)變化、分析復(fù)雜問(wèn)題的能力.

1.2培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維

創(chuàng)新能力是新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)的核心素養(yǎng)之一，與傳統(tǒng)的題海戰(zhàn)術(shù)不同，數(shù)學(xué)建模要求學(xué)生從無(wú)到有地創(chuàng)建模型，并基于不確定的現(xiàn)實(shí)情況進(jìn)行假設(shè)和驗(yàn)證.這個(gè)過(guò)程需要學(xué)生具備靈活的思維能力，在嘗試不同路徑時(shí)體現(xiàn)出創(chuàng)造力.同時(shí)，學(xué)生在建模過(guò)程中，需要不斷對(duì)模型進(jìn)行調(diào)整、修正，甚至需要舍棄原有的錯(cuò)誤假設(shè)，重新構(gòu)建新的解決路徑.

1.3促進(jìn)學(xué)科知識(shí)的綜合運(yùn)用

高中數(shù)學(xué)建模不僅局限于數(shù)學(xué)學(xué)科本身，它還具有顯著的跨學(xué)科性.通過(guò)建模活動(dòng)，學(xué)生可以把數(shù)學(xué)知識(shí)與其他學(xué)科知識(shí)結(jié)合起來(lái)，形成更廣闊的知識(shí)體系.比如，在自然科學(xué)、工程、經(jīng)濟(jì)學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域中，數(shù)學(xué)建模都起到橋梁作用，幫助學(xué)生將物理現(xiàn)象、經(jīng)濟(jì)波動(dòng)、生物進(jìn)程等現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)形式，從而加深對(duì)各學(xué)科間知識(shí)關(guān)聯(lián)的理解[2]，深化對(duì)數(shù)學(xué)本身的理解，增強(qiáng)綜合素養(yǎng).

1.4增強(qiáng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作與交流能力

數(shù)學(xué)建模探究活動(dòng)通常是團(tuán)隊(duì)合作完成的，強(qiáng)調(diào)學(xué)生之間的分工與合作.在此過(guò)程中，學(xué)生需要相互討論、交流想法，共同分析問(wèn)題并提出解決方案，這不僅能夠培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)，還提高了學(xué)生的溝通和表達(dá)能力.在團(tuán)隊(duì)建?；顒?dòng)中，學(xué)生會(huì)遇到不同的意見和見解，如何有效交流、彼此說(shuō)服并達(dá)成共識(shí)，是團(tuán)隊(duì)合作中的重要內(nèi)容.同時(shí)，在結(jié)果匯報(bào)階段，學(xué)生需要將復(fù)雜的建模思路通過(guò)清晰的語(yǔ)言和圖表呈現(xiàn)出來(lái)，以便讓他人理解其解決方案，這對(duì)于學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)、邏輯推理和數(shù)學(xué)素養(yǎng)都是一種全面的鍛煉.

2高中數(shù)學(xué)建模在探究活動(dòng)中的應(yīng)用措施——以探究活動(dòng)“茶水水溫問(wèn)題”為例

2.1構(gòu)建實(shí)際生活情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

構(gòu)建實(shí)際生活情境并引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，是數(shù)學(xué)建模教學(xué)中的關(guān)鍵步驟.這一措施的核心在于通過(guò)將數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題相結(jié)合，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，并激發(fā)學(xué)生的探究興趣.在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生往往局限于課堂內(nèi)的理論和習(xí)題，而缺少與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系.通過(guò)建模活動(dòng)，教師可以設(shè)置實(shí)際生活中的現(xiàn)象或問(wèn)題，如交通流量預(yù)測(cè)、人口增長(zhǎng)、環(huán)境保護(hù)等，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考問(wèn)題、分析情境，進(jìn)而建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解決.教師所設(shè)計(jì)的生活情境應(yīng)基于現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，確保其具有真實(shí)性，只有當(dāng)學(xué)生感受到問(wèn)題與實(shí)際生活的緊密關(guān)聯(lián)時(shí)，才會(huì)真正投入到問(wèn)題的探究中.以“茶水水溫問(wèn)題”探究活動(dòng)為例，教師可以這樣描述情境：我們?nèi)粘Ｅ莶钑r(shí)，通常會(huì)用熱水沖泡，但你有沒有注意到茶水的水溫會(huì)逐漸降低？當(dāng)我們放置一段時(shí)間后，茶水變得涼了，這讓你感到很不方便.那么，你是否想過(guò)，水溫是如何變化的？在什么情況下水溫下降得更慢或更快？學(xué)生能夠立刻產(chǎn)生共鳴，并感受到這一問(wèn)題對(duì)生活的實(shí)際影響，進(jìn)而激發(fā)探究水溫變化規(guī)律的欲望.然后教師可以通過(guò)提問(wèn)的方式引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：在不同的環(huán)境下，茶水的水溫下降速度是否相同？當(dāng)我們使用不同材料的杯子，比如玻璃杯、陶瓷杯，水溫的變化是否有所不同？能否預(yù)測(cè)茶水的溫度在某一時(shí)間點(diǎn)的數(shù)值？這些都是開放性問(wèn)題，可以促使學(xué)生深入思考并提出假設(shè).教師通過(guò)一系列引導(dǎo)性問(wèn)題，不僅能幫助學(xué)生明確要探究的對(duì)象，還能引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)更多值得思考的方向，從而激發(fā)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行多角度思考.

2.2借助信息技術(shù)，收集數(shù)據(jù)，建立模型

信息技術(shù)工具（如傳感器、數(shù)據(jù)采集軟件、在線數(shù)據(jù)平臺(tái)等）能夠快速、準(zhǔn)確地收集大量的實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)，使學(xué)生從多個(gè)角度和維度觀察問(wèn)題，提升數(shù)據(jù)的可靠性.借助技術(shù)手段，學(xué)生可以進(jìn)行精細(xì)化的數(shù)據(jù)采集，避免人工誤差.例如，在“茶水水溫問(wèn)題”的探究中，學(xué)生可以使用數(shù)字溫度計(jì)或溫度傳感器實(shí)時(shí)記錄水溫變化數(shù)據(jù)，并利用軟件進(jìn)行自動(dòng)記錄和分析.通過(guò)溫度傳感器進(jìn)行實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)采集，學(xué)生能夠自動(dòng)、連續(xù)地獲取茶水溫度隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)，避免傳統(tǒng)手工測(cè)量的誤差，這不僅提升了數(shù)據(jù)的精確性，還顯著提高了數(shù)據(jù)收集的效率[3].溫度傳感器與數(shù)據(jù)采集軟件的結(jié)合，還使得學(xué)生能夠清晰地觀察橫軸為時(shí)間、縱軸為溫度的圖象變化，直觀感受到茶水降溫的動(dòng)態(tài)過(guò)程.教師則有效引導(dǎo)學(xué)生思考數(shù)據(jù)走勢(shì)，通過(guò)提問(wèn)“呈現(xiàn)的是直線還是曲線？”幫助學(xué)生形成初步的數(shù)學(xué)觀察意識(shí).接著教師引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)據(jù)采集軟件繪制出溫度隨時(shí)間變化的散點(diǎn)圖，這一可視化工具極大地促進(jìn)了學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)的理解.在繪制散點(diǎn)圖的過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)描點(diǎn)、連線等操作，將數(shù)據(jù)從離散點(diǎn)轉(zhuǎn)化為連續(xù)的曲線，直觀展示了茶水溫度隨時(shí)間變化的趨勢(shì).散點(diǎn)圖作為數(shù)據(jù)分析的基本工具，能夠幫助學(xué)生將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)形象化、系統(tǒng)化，從而為后續(xù)建立模型打下基礎(chǔ).學(xué)生可初步構(gòu)建函數(shù)模型為y=kax+25（k∈R，0＜a＜1，x≥0），學(xué)生通過(guò)觀察散點(diǎn)圖曲線，意識(shí)到溫度下降的趨勢(shì)呈現(xiàn)非線性關(guān)系，這為后續(xù)的數(shù)學(xué)建模提供了啟示.然后學(xué)生選取間隔1分鐘的數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，通過(guò)簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)量，在有限的時(shí)間內(nèi)專注于數(shù)據(jù)的分析與模型構(gòu)建，能夠在保證精度的前提下，快速發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)，進(jìn)而構(gòu)建出合理的數(shù)學(xué)模型.

2.3利用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)思考，助推學(xué)生分析模型

問(wèn)題驅(qū)動(dòng)思考的關(guān)鍵在于通過(guò)精心設(shè)計(jì)的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生逐步分解和理解復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題.問(wèn)題的設(shè)置能夠幫助學(xué)生從不同角度審視問(wèn)題背景和模型假設(shè)，促使他們獨(dú)立思考模型中變量之間的關(guān)系，并推導(dǎo)出合理的結(jié)論.通過(guò)這種方式，學(xué)生的思維被激活，從被動(dòng)接受知識(shí)轉(zhuǎn)向主動(dòng)分析問(wèn)題，提升其邏輯推理和問(wèn)題解決能力.比如，教師可以提問(wèn)：為什么選擇線性模型，而不是非線性模型？如何解釋模型中某一參數(shù)的物理意義？這些問(wèn)題能夠引導(dǎo)學(xué)生深入思考模型的結(jié)構(gòu)和假設(shè)條件，促使學(xué)生在模型分析過(guò)程中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并做出優(yōu)化.針對(duì)上述模型，教師可以繼續(xù)設(shè)計(jì)問(wèn)題，如問(wèn)題1：模型中的k，a和常數(shù)25分別表示什么？這些參數(shù)在實(shí)際生活中有何意義？學(xué)生通過(guò)討論意識(shí)到，常數(shù)25可能代表環(huán)境溫度，參數(shù)a表示溫度下降的速率，而k是一個(gè)調(diào)整系數(shù)，反映了初始條件的不同.問(wèn)題2：如何根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定k和a的具體值？我們可以用什么方法來(lái)估計(jì)這些參數(shù)？教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用線性回歸、最小二乘法等方法來(lái)確定參數(shù)的值.問(wèn)題3：在什么條件下該模型成立？模型的適用范圍是無(wú)限的還是有限的？如果水溫低于環(huán)境溫度，模型是否仍然成立？學(xué)生可能意識(shí)到該模型在水溫接近環(huán)境溫度時(shí)逐漸失效，或者模型只適用于溫度高于環(huán)境溫度的情況.問(wèn)題4：如果實(shí)驗(yàn)條件或外界因素發(fā)生變化（如換成不同材質(zhì)的杯子或改變環(huán)境溫度），模型的形式是否需要改變？你認(rèn)為可以如何優(yōu)化模型以適應(yīng)更多的實(shí)際情況？學(xué)生會(huì)考慮如何在不同的實(shí)驗(yàn)條件下調(diào)整模型結(jié)構(gòu)，例如引入新的參數(shù)或構(gòu)建更復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系.通過(guò)對(duì)參數(shù)的估計(jì)、模型的調(diào)整，學(xué)生能夠體驗(yàn)到數(shù)據(jù)反饋對(duì)模型修正的重要性，在這一過(guò)程中，學(xué)生學(xué)會(huì)了通過(guò)不斷地試錯(cuò)和調(diào)整，使模型更符合實(shí)際數(shù)據(jù)，這種模型優(yōu)化能力也是數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的核心內(nèi)容.

2.4檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?，求解?wèn)題

在實(shí)際問(wèn)題中，所建的數(shù)學(xué)模型并非總是與現(xiàn)實(shí)完全吻合，可能存在偏差或不合理之處.通過(guò)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停瑢W(xué)生可以對(duì)照實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或?qū)嶋H情況，評(píng)估模型的有效性，并根據(jù)反饋調(diào)整模型參數(shù)或假設(shè)，這一過(guò)程有助于確保模型具有更高的準(zhǔn)確性和合理性，使其能夠反映問(wèn)題的本質(zhì).在檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜁r(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注模型對(duì)已有數(shù)據(jù)的擬合情況，并通過(guò)模型對(duì)未來(lái)或未知情境進(jìn)行預(yù)測(cè).同時(shí)，讓學(xué)生收集盡可能多的真實(shí)數(shù)據(jù)，并通過(guò)對(duì)比實(shí)際數(shù)據(jù)與模型輸出，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷倪m用性.本次探究活動(dòng)中，不同的小組可能分別選擇了指數(shù)函數(shù)和反比例函數(shù)作為模型形式.指數(shù)函數(shù)模型為：假設(shè)茶水溫度T隨時(shí)間t的變化為T（t）=kat+c，其中k，a，c為待定系數(shù)；反比例函數(shù)模型為：假設(shè)茶水溫度T隨時(shí)間t的變化為T（t）=k/（t+b）+c，其中k，b，c為待定系數(shù).教師通過(guò)待定系數(shù)法帶領(lǐng)學(xué)生從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中求解模型中的待定參數(shù)，學(xué)生可以得出模型的具體解析式，然后引導(dǎo)學(xué)生將求出的函數(shù)解析式代入新的時(shí)間數(shù)據(jù)點(diǎn)，計(jì)算模型預(yù)測(cè)的溫度值，并與實(shí)際實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比.例如，可以選擇尚未使用的數(shù)據(jù)點(diǎn)t4，T4進(jìn)行驗(yàn)證，計(jì)算預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之間的誤差.對(duì)于指數(shù)模型，若發(fā)現(xiàn)溫度下降速率隨時(shí)間變化過(guò)快，可以考慮引入新的參數(shù)a進(jìn)行調(diào)整；對(duì)于反比例模型，若預(yù)測(cè)值過(guò)低或過(guò)高，可以重新調(diào)整b的時(shí)間平移參數(shù).學(xué)生通過(guò)構(gòu)建實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和驗(yàn)證模型，深刻理解了數(shù)據(jù)在建模過(guò)程中的重要性，從而學(xué)會(huì)了如何在實(shí)際問(wèn)題中使用數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)決策.

3結(jié)束語(yǔ)

高中數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用與實(shí)踐為培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)、提升其數(shù)學(xué)應(yīng)用能力提供了重要途徑.通過(guò)在實(shí)際問(wèn)題中構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，學(xué)生能夠提高邏輯推理、數(shù)據(jù)分析和創(chuàng)新思維能力.未來(lái)的數(shù)學(xué)建模教學(xué)應(yīng)進(jìn)一步結(jié)合信息技術(shù)手段，加強(qiáng)教師培訓(xùn)，提升學(xué)生的主動(dòng)參與意識(shí)，并設(shè)計(jì)更具層次性和實(shí)踐性的探究任務(wù)，以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模在高中教學(xué)中的全面推廣和優(yōu)化.

參考文獻(xiàn)：

［1］徐茵華.基于項(xiàng)目式學(xué)習(xí)開展高中數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)和數(shù)學(xué)探究活動(dòng)[J].青海教育，2024（04）：40.

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［責(zé)任編輯：李慧嬌］

收稿日期：2024-12-25

作者簡(jiǎn)介：肖俊利，本科，一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項(xiàng)目：甘肅省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2023年度一般課題“基于數(shù)學(xué)建模的高中數(shù)學(xué)探究活動(dòng)主題例習(xí)題研究”（項(xiàng)目編號(hào)：GS[2023]GHB0916）.