音級(jí)集合理論的比較研究

［摘 要］ 音級(jí)集合理論在中國已有四十余年的發(fā)展歷程。從早期的譯介到近期國內(nèi)學(xué)者專家撰寫的論著，都對(duì)該理論在中國的傳播與發(fā)展起到了重要的推動(dòng)作用。本文以五部后調(diào)性理論著作中的音級(jí)集合理論為切入點(diǎn)，通過比較與述評(píng)的方式類比其共性與差異，并對(duì)不同著作中相同內(nèi)容的闡述深度、稱謂各異及部分內(nèi)容的缺失現(xiàn)象進(jìn)行梳理。

［關(guān)鍵詞］ 音級(jí)集合；后調(diào)性；比較；標(biāo)準(zhǔn)序；原型

［中圖分類號(hào)］ J613" " " " " "［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A " " " "［文章編號(hào)］ 1007-2233（２０２5）03-0110-03

本文討論的五部后調(diào)性理論著作分別為：［美］約瑟夫·內(nèi)森·施特勞斯著，齊研譯《后調(diào)性理論導(dǎo)論》；［美］羅伊格·弗朗科利著，杜曉十、檀革勝譯《理解后調(diào)性音樂》；高暢著《后調(diào)性理論基礎(chǔ)》；齊研著《后調(diào)性理論與應(yīng)用》；賈達(dá)群等著《后調(diào)性音樂中的音高組織體系、技法及分析》（王中余撰）。下文分別將這五部著作簡稱為：“施著”“弗著”“高著”“齊著”和“賈著”。這五部著作中存在多個(gè)同一內(nèi)容被賦予不同的名號(hào)，以及對(duì)集合理論的某些知識(shí)點(diǎn)存在疏漏的現(xiàn)象。本文將逐一對(duì)這些現(xiàn)象進(jìn)行梳理、總結(jié)與歸納，并提供一個(gè)相對(duì)宏觀的學(xué)習(xí)視角，同時(shí)在本文中，筆者將結(jié)合自身的研習(xí)經(jīng)驗(yàn)提出一些設(shè)想和思考。

一、理論概況

由于調(diào)性的瓦解，功能和聲體系已不再適應(yīng)對(duì)無調(diào)性音樂的分析。音級(jí)集合理論的形成“解決了無調(diào)性音樂分析無從下手的難題，將十二個(gè)音級(jí)編以0—11個(gè)數(shù)字，通過各種數(shù)理運(yùn)算挖掘音樂內(nèi)部的邏輯關(guān)系，是20世紀(jì)以來研究無調(diào)性作品的主要分析方法”［1］?！凹侠碚撟畛跬ㄟ^豪爾（J.M.Hauer）的‘特洛普’理論進(jìn)駐音樂創(chuàng)作理論，在巴比特（Milton Babbitt）等理論家的著作中得到確立，福特（Allen Forte）將集合理論引入音樂分析領(lǐng)域并發(fā)揚(yáng)光大?！保?］自20世紀(jì)80年代初起，我國音樂理論界開始陸續(xù)引入艾倫·福特的音級(jí)集合理論。經(jīng)過四十多年時(shí)間的積淀與發(fā)展，音級(jí)集合理論研究在中國已經(jīng)取得了斐然成果，并對(duì)我國音樂分析學(xué)科發(fā)展和當(dāng)代專業(yè)音樂創(chuàng)作產(chǎn)生了重要且有指導(dǎo)性的促進(jìn)作用。

二、異名同實(shí)

異名同實(shí)是指一個(gè)實(shí)質(zhì)相同的事物具有多個(gè)名稱，這一現(xiàn)象在音級(jí)集合理論中顯得尤為突出。如在表示兩個(gè)音級(jí)集合通過倒影能夠形成相互映射的關(guān)系時(shí)，“賈著”“高著”稱之為倒影，而“弗著”“施著”“齊著”則將其稱作反演；又如在表示同一個(gè)集合中的各元素按最為緊湊的方式排序時(shí)，“弗著”“施著”和“賈著”將其稱作標(biāo)準(zhǔn)序，而“高著”“齊著”稱之為標(biāo)準(zhǔn)型；此外，共同音與不變音也為同一意思，在“施著”“高著”“齊著”中被稱為共同音，而在“弗著”中則被稱為不變音。

此外，還有一個(gè)更為重要的概念需要厘清，即集合級(jí)與原型。集合級(jí)，即表示一個(gè)集合與它可以形成移位或倒影移位關(guān)系的所有集合類型的統(tǒng)稱。如果用數(shù)字表示，只需將這些類型中的任意一個(gè)集合標(biāo)準(zhǔn)序的第一個(gè)數(shù)從0開始記，即將其記為該集合的原型。集合級(jí)在“高著”中被稱作集合族，“施著”和“齊著”則稱之為集合級(jí)，而在“弗著”中又被稱為集合類型。原型在“高著”中被稱作原型，“弗著”“施著”“賈著”和“齊著”則稱之為基本型。無論是集合級(jí)還是原型，均表示一個(gè)集合（包括與其形成移位或倒影移位）的所有類型的最佳形式。

縱覽上述諸多稱謂，可將它們總結(jié)為：倒影=反演、標(biāo)準(zhǔn)型=標(biāo)準(zhǔn)序、共同音=不變音、集合族=集合級(jí)=集合類型=基本型=原型。由此可見，上述著作在述及同一理論中的同一知識(shí)點(diǎn)時(shí)，異名同實(shí)現(xiàn)象可真令人目不暇接。

三、內(nèi)容比較

“安·本特曾指出，‘音樂分析的本質(zhì)在于比較’。因?yàn)橛斜容^才有鑒別，有鑒別才有判斷，有判斷才有目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，才有問題的解決?！保?］為更好地掌握音級(jí)集合理論的操作方法與基本原理，并明晰其理、了解其源，對(duì)不同著作中的相同內(nèi)容進(jìn)行比較研究是很有必要的。

（一）集合原型的求找

在集合原型的求解方法方面，童忠良、羅忠镕、華萃康、敬悅吾、鄭剛、陳雷、周雨等專家學(xué)者都曾發(fā)表相關(guān)論文專門進(jìn)行過多番論述，在此本人僅對(duì)五部著作中的原型求找的方法進(jìn)行比較和概括。

求找集合原型，首先要確定好其標(biāo)準(zhǔn)序?！啊畼?biāo)準(zhǔn)’序是指在一個(gè)集合的‘循環(huán)排列’（Circular Permutation）中，首末兩數(shù)之差為最小值的最佳排列形式。”［4］對(duì)于基數(shù)較小的集合，如3音集合是可以直接通過心算求得其標(biāo)準(zhǔn)序的（前提是要將各音級(jí)的整數(shù)標(biāo)記熟記于心）。舉個(gè)簡單的例子，如：F-■-bA，首先將該集合按升序重新排列為：F-bA-■，它們之間的音級(jí)音程列是3-2，顯然右邊音程更為緊湊。此時(shí)就可以直接將從右向左排列的集合視為標(biāo)準(zhǔn)序，而后再將右邊第一個(gè)音級(jí)以0為開始進(jìn)行記寫，最終即可得出原型（014）。

對(duì)于基數(shù)較大的集合，例如4音集合、5音集合直至11音集合，則需要通過計(jì)算才能得出集合的標(biāo)準(zhǔn)序。第一種方法是對(duì)各音級(jí)依次進(jìn)行輪轉(zhuǎn)排列，找出所有排列中首末兩音差數(shù)最小的那組排列，即為標(biāo)準(zhǔn)序，這種方法在五部著作中都有述及。但這種方法過于煩瑣，不利于快速找出集合的標(biāo)準(zhǔn)序。第二種方法是“施著”“弗著”“齊著”和“高著”中的利用鐘面圖求找集合的標(biāo)準(zhǔn)序，這也是一種較為直觀且便捷的求找方法。第三種方法僅在“弗著”中有所論述，即通過相鄰音級(jí)間的音程關(guān)系來確定其標(biāo)準(zhǔn)序。該方法在介紹時(shí)可能顯得有些復(fù)雜，但一旦真正理解之后，依筆者愚見，這種方法最為簡便。具體步驟如下：

第一，將一組集合按照升序的方式進(jìn)行排列（排完后需將第一個(gè)音級(jí)再記寫在最后）；第二，將相鄰音級(jí)的音程以整數(shù)的方式進(jìn)行記寫；第三，找出其中最大的音程數(shù)；第四，從最大的音程數(shù)右邊的那個(gè)整數(shù)開始依次排列各音級(jí)，結(jié)果即為標(biāo)準(zhǔn)序。如果最大音程數(shù)有兩個(gè)（或以上），則要重復(fù)第四步的操作將另一組也排列出來，然后再對(duì)比兩種排列中倒數(shù)第二個(gè)與第一個(gè)元素的算數(shù)差，差數(shù)小的一組即為標(biāo)準(zhǔn)序。如果數(shù)值依然相同，需繼續(xù)對(duì)比倒數(shù)第三與第一個(gè)元素的算術(shù)差，直至找到最小的差數(shù)，該排列就是標(biāo)準(zhǔn)序。如果在所有的排列中，不論是首尾兩數(shù)，還是其他位置的元素與首位數(shù)之間的差都相同，那么就選擇從最小音級(jí)數(shù)開始的那組排列，將其作為該集合的標(biāo)準(zhǔn)序。求得集合的標(biāo)準(zhǔn)序后，只需將左起的第一個(gè)數(shù)以0開始順次記寫，即可得到原型。

（二）移位和倒影

移位和倒影是通過適當(dāng)操作實(shí)現(xiàn)集合間相互轉(zhuǎn)化的等量關(guān)系，也是集合理論中最常用的關(guān)系之一。關(guān)于移位關(guān)系的論述，在這五部著作中內(nèi)容基本一致。它們都是通過在集合的每個(gè)音級(jí)上加上相同數(shù)量的半音，從而得到移位后的另一個(gè)集合的（無論有序與否）。判斷兩個(gè)集合是否存在移位關(guān)系，只需計(jì)算對(duì)應(yīng)音級(jí)之間的差值。如果差值相同，則說明它們之間存在移位關(guān)系。例如，通過T2將［1，3，6，8］進(jìn)行移位操作，即在每個(gè)音高級(jí)別上加2，得到移位后的集合為［3，5，8，10］；反之亦然，此時(shí)差值為2。

倒影移位是一個(gè)復(fù)合操作過程，其中“高著”“施著”和“齊著”均描述了先進(jìn)行反演（倒影），然后再進(jìn)行移位的操作步驟。如“將1做T9I運(yùn)算，先反演1，得出11，然后移位，T9（11）=［11+9=20-12=8］”［5］。因此，倒影后對(duì)應(yīng)的音級(jí)為8（bA）。該方法略顯煩瑣，“高著”“施著”和“弗著”中都給出了另外一種更為簡便的操作方法：直接用指數(shù)（和）n依次減去被運(yùn)算集合中的每一個(gè)元素，便可得到倒影后對(duì)應(yīng)的集合。按照公式TnI（a）=n-a對(duì)上例進(jìn)行重新操作，可記為：T9I（1）=9-1=8。該方法在“賈著”和“齊著”中未提及。需要注意的是，為了方便集合間的比較，倒影移位后的結(jié)果應(yīng)按照逆行方式重新記寫，所得到的結(jié)果即為其標(biāo)準(zhǔn)形式（但也有例外情況）。

在判斷兩個(gè)集合是否存在倒影移位關(guān)系時(shí)，需要比較它們之間對(duì)應(yīng)音級(jí)的和數(shù)（指數(shù)）是否相同。五部著作中所描述的倒影移位操作方法大體一致，這里不再贅述?？偠灾?，集合間的移位問題與集合間的差數(shù)有關(guān)，而倒影移位問題則與集合間的和數(shù)有關(guān)。

（三）共同音與對(duì)稱集合

音級(jí)集合的共同音分為移位中的共同音和倒影中的共同音。在移位中，“弗著”“齊著”言簡意賅地指出了移位中的共同音可以直觀明了地通過音程級(jí)含量進(jìn)行鑒別；在倒影中，“施著”“弗著”“齊著”“高著”所述倒影的共同音可以采用兩種方法來查找：一是通過集合的求和矩陣計(jì)算；二是直接通過集合的指數(shù)向量求找。需要注意的是，在運(yùn)用指數(shù)向量求找共同音時(shí)，其原型的指數(shù)向量與移位或倒影后的指數(shù)向量有所不同，必須經(jīng)過輪轉(zhuǎn)［6］后才能得到正確結(jié)果。關(guān)于這一要點(diǎn)，“高著”和“齊著”中有詳細(xì)介紹，“弗著”則只是對(duì)此現(xiàn)象進(jìn)行提示，并未進(jìn)行詳細(xì)講解?！百Z著”（王中余撰）在論述該內(nèi)容時(shí)存在缺失，但在王中余教授的博士論文［7］中對(duì)不變量的內(nèi)容有詳細(xì)講解。

對(duì)稱集合是指當(dāng)一個(gè)集合在做移位或倒影移位操作時(shí)，其結(jié)果能夠完全映射自身的集合，也就是說操作后的集合中的所有音級(jí)均保持不變。移位可以通過音程向量求找，倒影移位可以通過指數(shù)向量求找。

（四）Z關(guān)系集合

對(duì)于該內(nèi)容的論述不需要具體的操作步驟，只需辨識(shí)出集合間的音程級(jí)含量相同，并且它們既不是移位也不是倒影關(guān)系即可。關(guān)于這一內(nèi)容，“弗著”與“賈著”僅進(jìn)行過簡短的介紹，而“高著”“齊著”和“施著”則通過具體實(shí)例充分闡述。盡管Z關(guān)系的集合之間不如同一集合族之間的關(guān)系密切，但由于其音響氣質(zhì)相似，同樣是作曲家們經(jīng)常使用的集合類型。在“施著”中，還曾戲謔地指出：“一個(gè)集合集的成員關(guān)系如同一個(gè)家庭中的兄弟姐妹，那么Z關(guān)系集合就像表兄弟?！保?］

（五）集合相似性

基數(shù)相同的集合之間可通過移位、倒影以及Z關(guān)系來判斷他們的親疏關(guān)系。除此之外，還有一些既不是移位、倒影也不是Z關(guān)系的集合，他們之間可能也會(huì)存在一些較為親密的關(guān)系。對(duì)于集合相似性問題的論述，“弗著”“施著”和“齊著”中均未涉及，現(xiàn)僅就“高著”和“賈著”中的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行比較。

在“高著”中，對(duì)于該問題的闡述較為詳細(xì)。該著介紹了其概念和依據(jù)艾倫·福特定義的強(qiáng)、弱表現(xiàn)，并通過實(shí)例清晰地說明了不同集合族之間具象和抽象的音級(jí)相似性關(guān)系；而音程級(jí)相似性則主要利用音程級(jí)向量來判斷集合之間的相似度，并根據(jù)6項(xiàng)參數(shù)之間的關(guān)系區(qū)分出R1和R2兩種關(guān)系，以及最小相似性關(guān)系。最后，“高著”還論述了音級(jí)相似性與音程級(jí)相似性之間的聯(lián)系以及它們?cè)谝魳贩治鲋兴鸬降淖饔谩?/p>

“賈著”對(duì)相似性進(jìn)行了精確而清晰地闡述。首先，通過具體集合實(shí)例詳細(xì)地說明了音級(jí)相似性的相關(guān)特點(diǎn)，并強(qiáng)調(diào)了其強(qiáng)弱表現(xiàn)；其次，以成對(duì)集合的音程向量舉例，介紹了音程級(jí)最小相似性R0、音程級(jí)最大相似性R1與R2兩種類型。通過類比，我們可以得知，“賈著”以極簡方式呈現(xiàn)音級(jí)相似性與音程級(jí)相似性內(nèi)容，在此過程中省去了煩瑣的理論闡釋。

（六）包含與互補(bǔ)

包含關(guān)系是指較小集合與較大集合之間的隸屬關(guān)系；而互補(bǔ)關(guān)系則表示一個(gè)集合與不包括在該集合中的所有其他音高級(jí)組成的集合所呈現(xiàn)的關(guān)系，它們的結(jié)合構(gòu)成了十二個(gè)音高級(jí)的全集。包含關(guān)系與互補(bǔ)關(guān)系都能反映作品音高間的關(guān)聯(lián)程度。五部著作都從具象和抽象兩個(gè)方面對(duì)包含關(guān)系與互補(bǔ)關(guān)系進(jìn)行了詳盡闡釋。其中，“高著”以點(diǎn)陣圖和推理的方式對(duì)具象包含、抽象包含、具象互補(bǔ)和抽象互補(bǔ)進(jìn)行了深入解析，以便讀者能更好地理解包含關(guān)系和互補(bǔ)關(guān)系。

此外，“施著”和“弗著”對(duì)于補(bǔ)集之間的音程特性都有類似的說明：“兩個(gè)互補(bǔ)集合之間每種音程出現(xiàn)的次數(shù)差，與這些集合之間的基數(shù)差是相同的（除了音程級(jí)6，此時(shí)基數(shù)差必須除以2）?！保?］“施著”中所表達(dá)的含義基本相同，只是將基數(shù)差命名為大小差。筆者認(rèn)為，在構(gòu)成集合的數(shù)量方面，其使用基數(shù)較為恰當(dāng)且更加明確，但大小這一概念可能會(huì)導(dǎo)致人們對(duì)數(shù)字大小或數(shù)量大小產(chǎn)生模糊感。在其他章節(jié)中，“施著”也存在以集合級(jí)數(shù)量來命名集合基數(shù)的現(xiàn)象。

除了對(duì)包含關(guān)系與互補(bǔ)關(guān)系進(jìn)行詳細(xì)論述外，“高著”還進(jìn)一步介紹了互補(bǔ)關(guān)系集合的基數(shù)和福特名、互補(bǔ)關(guān)系集合的對(duì)稱度和成員數(shù)量、互補(bǔ)關(guān)系集合的音程向量之差、互補(bǔ)關(guān)系的Z關(guān)系集合以及通過補(bǔ)集求找集合原型的方法，進(jìn)一步充實(shí)了互補(bǔ)集合的其他關(guān)系。

（七）集合復(fù)合型與集合類屬型

在揭示無調(diào)性音樂的深層結(jié)構(gòu)方面，集合復(fù)合型與集合類屬型突顯出獨(dú)特的效果。然而，除了“賈著”和“高著”（僅有集合復(fù)合型）中有提及該內(nèi)容外，其他幾部著作均未涉及這兩種集合類型。雖然集合復(fù)合型與集合類屬型在運(yùn)用和操作上相對(duì)復(fù)雜和繁瑣，“但從一定意義上講，有關(guān)集合復(fù)合型關(guān)系的分析，也還相當(dāng)于和聲分析中的‘調(diào)性關(guān)系’分析”［10］。在對(duì)大段落或整部無調(diào)性音樂作品進(jìn)行分析時(shí)，集合復(fù)合型與集合類屬型的統(tǒng)攝作用以及全局觀念是其他方法（至少在目前階段）所不能媲美的。

結(jié)" "語

綜上所述，五部后調(diào)性理論著作均對(duì)音級(jí)集合理論進(jìn)行了專門章節(jié)的闡述，充分說明了其在20世紀(jì)以來的音樂分析中具有重要的地位。文章述及的五部著作對(duì)音級(jí)集合理論的討論程度和深入程度各有差異，每部著作都具備其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。但其中不乏存在異名同實(shí)的現(xiàn)象，筆者以為這主要是由學(xué)者們?cè)诜g或參考外文文獻(xiàn)的過程中對(duì)詞意的理解存在差異所導(dǎo)致的?？偟膩碚f，這種差異并不會(huì)影響學(xué)習(xí)者對(duì)相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)的理解，但務(wù)必厘清，否則就會(huì)陷入知識(shí)點(diǎn)混亂的窘境。上述幾部著作無疑為我國音樂分析學(xué)科的發(fā)展作出了巨大貢獻(xiàn)。作為學(xué)習(xí)者，我們應(yīng)當(dāng)深入研習(xí)上述著作，汲取其精髓，將其運(yùn)用到音樂分析的實(shí)踐中，而不能寄望于通過一本教材完全掌握該理論的全部內(nèi)容。

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（責(zé)任編輯：韓瑩瑩）