探“圖形運動”本質(zhì) 促“整體建構(gòu)”關(guān)聯(lián)

［摘" 要］ 研究者通過分析學(xué)生學(xué)習(xí)“旋轉(zhuǎn)三要素”前后的測評數(shù)據(jù)，整合“線與面的旋轉(zhuǎn)”教學(xué)內(nèi)容，滲透“圖形旋轉(zhuǎn)即點旋轉(zhuǎn)”的本質(zhì)認(rèn)知，在溝通與對比中不斷提升學(xué)生的空間觀念。

［關(guān)鍵詞］ 整體建構(gòu)；圖形的旋轉(zhuǎn)；運動本質(zhì)；空間觀念

小學(xué)階段“圖形運動”包括三個教學(xué)內(nèi)容：軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn)，教材基于從易到難、螺旋上升的原則進(jìn)行編排。“旋轉(zhuǎn)”是“圖形的運動（三）”中的內(nèi)容，它是小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形的位置與運動”板塊最后一個學(xué)習(xí)內(nèi)容，“旋轉(zhuǎn)”與對稱、平移相比更抽象，涉及的要素更多。在教學(xué)“圖形的旋轉(zhuǎn)”時，大部分教師先教學(xué)“線段旋轉(zhuǎn)”，后教學(xué)“圖形旋轉(zhuǎn)”。因此，筆者產(chǎn)生了一些思考：基于整體建構(gòu)視角，能否將線段教學(xué)融入圖形旋轉(zhuǎn)教學(xué)中？是否按先轉(zhuǎn)三角尺再畫三角形的思路教學(xué)？基于以上思考，筆者通過對比多種教學(xué)路徑，基于真實學(xué)情從整體視角出發(fā)重組了教學(xué)內(nèi)容。

一、教學(xué)序列的分析

“圖形的運動”以軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn)等載體通過全等變換，讓學(xué)生進(jìn)一步把握圖形運動的特征，從而有效發(fā)展空間觀念。內(nèi)容要求、學(xué)業(yè)要求、教學(xué)提示都指向了讓學(xué)生用“旋轉(zhuǎn)三要素”描述圖形的位置，用方格紙畫簡單的圖案，感受旋轉(zhuǎn)的特征。

1. 教材對比

（1）教學(xué)序列的縱向分析

“圖形的運動”在各個學(xué)段的人教版教材中都有所涉及（如圖1所示）：二年級，能初步感知旋轉(zhuǎn)的現(xiàn)象，能定性判斷“是不是旋轉(zhuǎn)”；五年級，能用“旋轉(zhuǎn)三要素”從定量的角度精準(zhǔn)描述“怎樣旋轉(zhuǎn)”及嘗試畫簡單的旋轉(zhuǎn)圖形；九年級，直接借助圓規(guī)和量角器作圖。

（2）教學(xué)序列的橫向?qū)Ρ?/p>

筆者對比了人教版、北師大版、蘇教版三個版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材，對情境、素材、路徑等方面進(jìn)行了異同點對比分析（如圖2所示）。

①相同教學(xué)思路

相同點1：基于生活原型，明晰“旋轉(zhuǎn)三要素”。人教版教材借助指針旋轉(zhuǎn)，北師大版、蘇教版教材利用停車場轉(zhuǎn)桿等生活情境來認(rèn)識“旋轉(zhuǎn)三要素”。

相同點2：操作探究，深化旋轉(zhuǎn)本質(zhì)。三個版本教材都是借助擺一擺三角尺來滲透旋轉(zhuǎn)本質(zhì)。

相同點3：關(guān)聯(lián)點、線、面旋轉(zhuǎn)，凸顯結(jié)構(gòu)化思想。教材關(guān)注了點、線、面的旋轉(zhuǎn)，深化“圖形旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)即點的旋轉(zhuǎn)”。

②不同教學(xué)路徑

“圖形的旋轉(zhuǎn)”教學(xué)的路徑不同：人教版先教學(xué)旋轉(zhuǎn)三角尺再畫三角形，北師大版先教學(xué)畫旋轉(zhuǎn)線段再畫旋轉(zhuǎn)后的圖形，蘇教版直接教學(xué)畫旋轉(zhuǎn)后三角形。

2. 學(xué)情分析

筆者對147名學(xué)生進(jìn)行了兩次測試，具體情況見表1、表2。

分析測試結(jié)果發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對于“旋轉(zhuǎn)三要素”的認(rèn)知存在較大偏差，能感知線的旋轉(zhuǎn)，但對面的旋轉(zhuǎn)不夠明晰和完整。

針對這樣的數(shù)據(jù)，筆者產(chǎn)生了思考。

（1）教學(xué)“旋轉(zhuǎn)三要素”后，能否直接進(jìn)入“面的旋轉(zhuǎn)”教學(xué)？

學(xué)習(xí)“旋轉(zhuǎn)三要素”后，學(xué)生畫旋轉(zhuǎn)線段準(zhǔn)確率從64.63%提升至89.80%，表明學(xué)生對于畫線段并無太大難度。畫旋轉(zhuǎn)線段后的三角形實際上是讓學(xué)生經(jīng)歷找點、連線、成面的過程，發(fā)現(xiàn)點、線、面不是分離的，從而建構(gòu)整體性的認(rèn)知。因此，直接教學(xué)“面的旋轉(zhuǎn)”更有利于學(xué)生建構(gòu)整體的認(rèn)知。

（2）依托數(shù)據(jù)，把三角尺能否融入旋轉(zhuǎn)畫圖教學(xué)？

在學(xué)習(xí)“三要素”后，有59.86%的學(xué)生不借助三角尺的旋轉(zhuǎn)也能正確畫圖。能否不再單獨教學(xué)三角尺的旋轉(zhuǎn)，而是將三角尺作為學(xué)習(xí)支架整合到“圖形的旋轉(zhuǎn)”教學(xué)中？這樣的設(shè)計能夠帶來兩大便利：一是“放一放”，讓會畫的學(xué)生利用空間想象畫圖，使三角尺起驗證作用，充分發(fā)展學(xué)生空間觀念；二是“扶一扶”，作為一個有力的學(xué)習(xí)支架，讓有困難的學(xué)生先旋轉(zhuǎn)三角尺再畫圖。

二、單元序列的重組

基于這樣的思考，筆者在教學(xué)“三要素”后直接教學(xué)“圖形旋轉(zhuǎn)”，將三角尺、線段融入畫三角形的教學(xué)中；第二課時為“圖形的分析”，利用圖形運動知識分析圖形，根據(jù)情境需要靈活分解基本圖形，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的實踐能力；第三課時為拓展課“圖形的設(shè)計”，以設(shè)計“美麗的圖案”為主線，經(jīng)歷多個圖形拼組的運動變化，培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力。

三、關(guān)鍵課例的實踐

“圖形的旋轉(zhuǎn)”是本單元的關(guān)鍵課例，教學(xué)重點為“認(rèn)識旋轉(zhuǎn)三要素，正確畫出旋轉(zhuǎn)90°后的三角形”，教學(xué)難點為“理解圖形的旋轉(zhuǎn)本質(zhì)”。

1. 遵循教材：生活情境，認(rèn)識“旋轉(zhuǎn)三要素”

（1）尋求共同點，初識“旋轉(zhuǎn)三要素”

師：如圖3所示，這些運動都是旋轉(zhuǎn)嗎？有什么共同點？

生1：都繞著1個點旋轉(zhuǎn)。

師：誰能上來指一指？

師：我們稱它為旋轉(zhuǎn)中心。還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？

生2：向左或向右轉(zhuǎn)。

師：誰能來演示一下？

師：看來旋轉(zhuǎn)還要有方向，數(shù)學(xué)上有專門的名詞叫順（逆）時針旋轉(zhuǎn)。

師：觀察鐘擺跟轉(zhuǎn)桿，你們還有什么發(fā)現(xiàn)呢？

生3：它們都旋轉(zhuǎn)一定的角度。

小結(jié)：通過對比這幾幅圖，發(fā)現(xiàn)都有中心點、方向和角度，這就是“旋轉(zhuǎn)三要素”。

設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)源于生活，應(yīng)用于生活。本環(huán)節(jié)教師利用生活情境導(dǎo)入，讓學(xué)生在辨析中逐步認(rèn)識“旋轉(zhuǎn)三要素”。

（2）描述初嘗試，話說“旋轉(zhuǎn)三要素”

師：二年級時我們學(xué)會判斷旋轉(zhuǎn)，現(xiàn)在是五年級了，可以用“旋轉(zhuǎn)三要素”描述旋轉(zhuǎn)。

師：如圖4所示，你們能用“旋轉(zhuǎn)三要素”說一說轉(zhuǎn)桿是怎么旋轉(zhuǎn)的嗎？

生4：順時針旋轉(zhuǎn)90°。

生5：轉(zhuǎn)桿繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°。

師：現(xiàn)在呢？

生6：轉(zhuǎn)桿繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°。

師：大家都看得懂指針嗎？12到6，它怎么轉(zhuǎn)動？

生7：指針繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°。

師：現(xiàn)在同桌相互說一說，讓指針從幾到幾，它怎么轉(zhuǎn)動？

要求：從（" " ）到（" " ），指針繞點（" " ）按（" " ）方向旋轉(zhuǎn)（" " ）。

生8：從12到12，指針繞點O順時針旋轉(zhuǎn)360°。

生9：從6到8，指針繞點O順時針旋轉(zhuǎn)60°。

師：用“旋轉(zhuǎn)三要素”描述旋轉(zhuǎn)有什么好處嗎？

生10：描述更精確。

設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)教師引導(dǎo)學(xué)生用“旋轉(zhuǎn)三要素”描述生活中的旋轉(zhuǎn)，讓學(xué)生在描述的過程中感受用“旋轉(zhuǎn)三要素”描述的精確性。

2. 合理融合：簡單圖形，畫“旋轉(zhuǎn)三要素”

師：線段的旋轉(zhuǎn)對你們來說太簡單了！下面，我們直接學(xué)習(xí)“三角形的旋轉(zhuǎn)”。

師：線段OA繞著點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，你能畫出來嗎？

教師展示任務(wù)要求，如圖5所示。

（1）錯誤辨析，明晰正確畫法

作品1：中心點錯誤。（教師利用透明三角形演示，按著中心點旋轉(zhuǎn)）

師：旋轉(zhuǎn)的時候繞著中心點，這個點是始終不動的。

作品2：長度畫錯。（學(xué)生利用透明三角形演示）

師：看一看前后長度有變化嗎？

生11：沒有。

師：那另外兩條呢？

師：旋轉(zhuǎn)的時候形狀大小不變，邊的長度也不變。什么變了？

生12：方向、位置。

作品3：畫成軸對稱圖形。

師：猜猜看，他想成什么運動了？

生13：軸對稱。

師：（展示正確作品）畫對的同學(xué)請舉手，誰能說說怎樣才能又快又準(zhǔn)地畫旋轉(zhuǎn)圖呢？

生14：找點A′、點B′，再連線。

師：點A與點A′可以稱為是一組對應(yīng)點，怎么找到點A′的？

生15：數(shù)格子。

生16：先找到旋轉(zhuǎn)90度后的線，然后數(shù)格子。

師：真厲害！我們找到了點A和點B的對應(yīng)點A′及點B′，然后與中心點O連線就可以畫出旋轉(zhuǎn)后的三角形！現(xiàn)在給你們一點時間對自己的作品進(jìn)行調(diào)整。

設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)教師引導(dǎo)學(xué)生嘗試畫旋轉(zhuǎn)后的三角形，呈現(xiàn)學(xué)生的典型錯誤，讓學(xué)生在辨析中從關(guān)注面的旋轉(zhuǎn)到關(guān)注線的旋轉(zhuǎn)，并明晰畫法。

（2）由外到內(nèi)，感受圖形特征

師：剛才利用3個點畫了三角形，那三角形上只有這3個點嗎？

生18：我在三角形的邊上可以找到1個點。

生19：我在邊上可以找到3個點。

生20：線段是由無數(shù)個點組成的，3條邊上可以找到很多點！

師：只能在線段上找嗎？

生21：我在三角形內(nèi)部也找到1個點。

生22：三角形是由無數(shù)個點構(gòu)成的。

設(shè)計意圖：畫法明晰之后，本環(huán)節(jié)指向圖形運動的深度解讀。教師引導(dǎo)學(xué)生從關(guān)注3個特殊點到圖形的所有點，為后續(xù)理解圖形運動的本質(zhì)做好鋪墊。

（3）從面至點，滲透運動本質(zhì)

師：這個點怎么運動（在直角邊AO上標(biāo)出點C）？

生23：繞著點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到C′。

師：其他點也這樣運動嗎？能找出幾組對應(yīng)點來驗證一下嗎？

作品1：找到2條直角邊上的點。

生24：都是繞著點O順時針旋轉(zhuǎn)90°。

作品2：找到內(nèi)部的點。

生25：也都是繞著點O順時針旋轉(zhuǎn)90°。

師：可以怎么驗證？

生26：用三角尺的直角進(jìn)行驗證。

生27：還可以用量角器驗證。

作品3：斜邊上的一點。

生28：好像是繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°。

師：一下子分不清，我們用幾何畫板進(jìn)行演示。

生29：都是繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°。

小結(jié)：圖形繞著點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，就是圖形上所有的點也都繞著點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，所以旋轉(zhuǎn)后圖形的形狀、大小不變。

設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)教師引導(dǎo)學(xué)生從關(guān)注面到關(guān)注線再到關(guān)注點，借助幾何畫板從邊上的點到內(nèi)部的點延伸，感受圖形旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)是點的旋轉(zhuǎn)。

3. 鞏固提升：自由創(chuàng)作，用“旋轉(zhuǎn)三要素”

師：敢不敢挑戰(zhàn)下自己？剛才三角形AOB是繞著點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，你們還想它繞著哪個點轉(zhuǎn)？還想往哪個方向轉(zhuǎn)？準(zhǔn)備旋轉(zhuǎn)多少度？把這段話補充完整之后，開始畫一畫。

展示任務(wù)要求：三角形AOB繞（" "）按（" "）時針旋轉(zhuǎn)（" "）。

課件展示學(xué)生作品，如圖6所示，由學(xué)生逐一匯報。

生30：繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°。

生31：繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°。

生32：繞點A順時針旋轉(zhuǎn)180°。

生33：繞點B順時針旋轉(zhuǎn)270°。

設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)教師讓學(xué)生自行選擇“旋轉(zhuǎn)三要素”，感受“旋轉(zhuǎn)三要素”對于旋轉(zhuǎn)的重要性。在學(xué)生各種作品的介紹與展示中，將匯報變成展示過程，讓學(xué)生在潛移默化中學(xué)會學(xué)習(xí)。

4. 縱橫對比：前后銜接，理解“旋轉(zhuǎn)三要素”

（1）圖形運動橫向?qū)Ρ?/p>

師：關(guān)于圖形的運動，以前學(xué)習(xí)了軸對稱、平移，它們有什么不同之處？

生34：都是運動，但是運動方式不同，分別是翻動、移動、轉(zhuǎn)動。

師：正是因為這些運動才讓我們的世界變得更豐富、更美麗。如圖7所示，請欣賞平面上的圖形運動。

如圖8所示，請學(xué)生欣賞立體的圖形運動。

生35：立著旋轉(zhuǎn)就形成了體。

小結(jié)：圖形在平面上運動，就會形成各種各樣的美麗圖形，在立體空間上旋轉(zhuǎn)就會形成以后要認(rèn)識的體。

（2）圖形運動縱向?qū)Ρ?/p>

師：二年級和五年級都學(xué)習(xí)了旋轉(zhuǎn)，那以后還會學(xué)習(xí)嗎？

生（齊聲答）：會。

課件展示二年級、五年級、九年級關(guān)于旋轉(zhuǎn)的教材內(nèi)容。

小結(jié)：今后，在九年級還會進(jìn)一步學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)。相信你能用旋轉(zhuǎn)的知識解決更多問題。

設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)教師讓學(xué)生去對比感受運動的不同點，明晰正是由于這些運動才會產(chǎn)生各種美麗的圖案；同時，將旋轉(zhuǎn)從二維拓展到三維，讓學(xué)生感受面的旋轉(zhuǎn)會形成體，逐步深化對旋轉(zhuǎn)學(xué)習(xí)的認(rèn)知。

四、教學(xué)反思

1. 聚焦學(xué)情，內(nèi)容適度整合

單元整體教學(xué)要基于真實學(xué)情，筆者在教學(xué)前開展前測，聚焦學(xué)生學(xué)習(xí)“旋轉(zhuǎn)三要素”后對于畫旋轉(zhuǎn)后圖形的影響。通過兩次數(shù)據(jù)的對比，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)“旋轉(zhuǎn)三要素”后再去畫旋轉(zhuǎn)后的線段并無太大難度，因此，教師改變“先線段旋轉(zhuǎn)，后圖形旋轉(zhuǎn)”的教學(xué)路徑，直接將線段與圖形的旋轉(zhuǎn)教學(xué)進(jìn)行整合。

教師先從生活情境入手，引導(dǎo)學(xué)生不斷觀察與反思，得到“旋轉(zhuǎn)三要素”；然后，讓學(xué)生不斷嘗試與完善，用“旋轉(zhuǎn)三要素”精確描述圖形的旋轉(zhuǎn)；最后，將畫線段旋轉(zhuǎn)變成想象線段旋轉(zhuǎn)，讓學(xué)生較好地感受“線的旋轉(zhuǎn)”。實踐發(fā)現(xiàn)，教師直接教學(xué)圖形旋轉(zhuǎn)，大部分學(xué)生能準(zhǔn)確畫出圖形。因此，教師要根據(jù)學(xué)情，進(jìn)行教學(xué)內(nèi)容的適度整合，為旋轉(zhuǎn)教學(xué)拓寬新的思路。

2. 聚焦差異，支架靈活運用

教師要尊重學(xué)生差異，將三角尺適當(dāng)優(yōu)化，為學(xué)生提供透明三角形紙片作為學(xué)習(xí)支架。透明紙片的好處在于學(xué)生能直接畫出內(nèi)部及線上的點，通過旋轉(zhuǎn)操作清晰地認(rèn)識到點的旋轉(zhuǎn)軌跡。課堂中，教師將透明三角形紙片裝于信封中，告知學(xué)生有困難時使用。教師讓有困難的學(xué)生先旋轉(zhuǎn)三角形再畫圖，利用學(xué)習(xí)支架，提升課堂學(xué)習(xí)參與感；能力強的學(xué)生先畫圖再旋轉(zhuǎn)，利用三角形進(jìn)行驗證。實物旋轉(zhuǎn)與空間想象一并進(jìn)行，讓學(xué)生在旋轉(zhuǎn)三角形與畫法的對比中逐步感受圖形運動中的變與不變。教師對同一素材采用不同的使用方法，關(guān)注學(xué)生的差異性成長，讓每個學(xué)生得到充分發(fā)展。

3. 聚焦本質(zhì)，提升認(rèn)知層次

不管是軸對稱、平移，還是旋轉(zhuǎn)，本質(zhì)上都需要學(xué)生從面的認(rèn)識到點的突破。因此，教師通過設(shè)置問題“三角形只有這3個點嗎”來帶動學(xué)生思考，回顧點成線、線成面的過程，讓學(xué)生在找三角形點的過程中逐步感知圖形是由無數(shù)個點組成的。教師引導(dǎo)學(xué)生在合作討論中利用透明三角形紙片的旋轉(zhuǎn)，具象展示三角形中各個點的運動，讓學(xué)生在操作、交流、合作中感受旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)。課堂最后部分，教師通過展示平面上圖形的運動和立體變換，架構(gòu)點到線、線到面、面到體的認(rèn)知體系，深化學(xué)生理解旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)。