高中數(shù)學(xué)解題中化歸思想的應(yīng)用

摘 要：文章在明確了化歸思想應(yīng)用原則的基礎(chǔ)上，分析了化歸思想在解決向量、數(shù)列、函數(shù)、不等式及立體幾何等問題中的應(yīng)用.通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化、數(shù)形轉(zhuǎn)化、直接及坐標(biāo)轉(zhuǎn)化等多種方法，能夠提高學(xué)生的解題能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率.

關(guān)鍵詞：高中；數(shù)學(xué)；化歸思想

中圖分類號：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2025）04-0035-03

化歸思想作為一種貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)始終的核心理念，不僅能夠提升解題的效率，還能夠鍛煉學(xué)生的抽象思維能力和創(chuàng)造性解決問題的能力.尤其是在高中階段，隨著數(shù)學(xué)知識深度和廣度的增加，面對諸如數(shù)列、函數(shù)、不等式、立體幾何等復(fù)雜問題時，恰當(dāng)?shù)剡\用化歸思想，可以有效地降低問題的復(fù)雜度，使學(xué)生能夠更清晰地把握問題的本質(zhì)，從而達(dá)到事半功倍的學(xué)習(xí)效果.因此，深入探討化歸思想在高中數(shù)學(xué)學(xué)科各知識板塊中的應(yīng)用策略具有重要意義.

1 高中數(shù)學(xué)解題中化歸思想的應(yīng)用原則

1.1 簡單化原則

簡單化原則是指在解題過程中，盡量將復(fù)雜的問題簡化為更基礎(chǔ)、更易于處理的小問題[1].這一原則的目的是降低問題的難度，使之更加易于理解和解決.在實際應(yīng)用中，教師可以通過分解問題、提取問題的關(guān)鍵部分或是采用特殊值法來實現(xiàn)問題的簡化[2].例如，將一個復(fù)雜的代數(shù)問題拆分成幾個簡單的方程組，或是借助特定條件下的特例，分析抽象的幾何構(gòu)造問題，從而找到解決問題的突破口.

1.2 熟悉化原則

熟悉化原則是指將遇到的新問題或不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)掌握的、熟悉的問題類型.這一過程通常涉及將新問題與已知概念、定理或方法建立聯(lián)系，使其成為學(xué)生更加熟悉的形式，便于學(xué)生應(yīng)用已有的知識解決相關(guān)問題.例如，在解決一個陌生的函數(shù)問題時，教師可以嘗試將其轉(zhuǎn)化為已知的基本函數(shù)模型，通過類比或借用已解決的相似問題的解法，幫助學(xué)生解決當(dāng)前問題.

1.3 直觀化原則

直觀化原則強(qiáng)調(diào)通過圖形、圖表或者其他直觀的方式，幫助學(xué)生理解問題的本質(zhì)，從而找到解決問題的路徑.直觀法比較適用于幾何和函數(shù)問題，通過繪制圖形或函數(shù)圖象，抽象的關(guān)系變得具體可見，便于學(xué)生觀察和分析，即使是在代數(shù)或數(shù)論問題中，使用直觀的方法也能夠幫助學(xué)生更好地把握問題的關(guān)鍵所在.例如，在解決立體幾何問題時，教師可以通過繪制三維圖形，直觀地展現(xiàn)各個元素之間的關(guān)系，進(jìn)而使學(xué)生找到解決問題的方法.

2 高中數(shù)學(xué)解題中化歸思想的應(yīng)用

2.1 構(gòu)造轉(zhuǎn)化，解決數(shù)列問題

構(gòu)造法是化歸思想中的一個重要分支，指的是在解題過程中根據(jù)問題的特點，主動構(gòu)造出輔助量、輔助表達(dá)式，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為易于解決的形式.構(gòu)造新對象，能夠使復(fù)雜的條件得到簡化，或者將問題引向?qū)W生熟悉的已有結(jié)論.應(yīng)用構(gòu)造法時，首先要明確問題的關(guān)鍵結(jié)構(gòu)，尋找適合的構(gòu)造方法；其次要確保新構(gòu)造的表達(dá)式或數(shù)列能準(zhǔn)確反映原問題的本質(zhì)；最后在得出解答后還需要回到原問題進(jìn)行驗證，確保解答的正確性和完整性.

2.2 數(shù)形轉(zhuǎn)化，解決函數(shù)問題

數(shù)形轉(zhuǎn)化法是通過將數(shù)的抽象問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形的直觀問題，或?qū)缀螆D形的直觀問題轉(zhuǎn)化為數(shù)的表達(dá)，從而簡化解題過程.這一方法強(qiáng)調(diào)數(shù)與形之間的相互聯(lián)系，用圖形的直觀性揭示數(shù)的變化規(guī)律，或用代數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)性來刻畫圖形的精確性質(zhì).在實際運用數(shù)形轉(zhuǎn)化法時，首先要結(jié)合問題的特點確定函數(shù)或表達(dá)式的圖象特征，或者構(gòu)造適當(dāng)?shù)膸缀螆D形來描述數(shù)的性質(zhì)；其次，要通過分析圖形或數(shù)的特點找出問題的解答思路.

解析 根據(jù)題目可知，f（x）在（0，2]的圖象為一個上半圓，并且由于其奇偶性和周期性，f（x）在整個實數(shù)軸上關(guān)于原點對稱（如圖1）.要使得f（x）=g（x） 在 （0，9] 區(qū)間有8個交點，只需確保這兩個函數(shù)的圖象在該區(qū)間存在 8 個交點.

2.3 直接轉(zhuǎn)化，解決不等式問題

化歸思想中的直接轉(zhuǎn)化法是指通過一系列合乎邏輯的步驟，將原問題轉(zhuǎn)換為一個或多個更為簡單的問題，從而求解原問題.這種方法適用于那些看似復(fù)雜但實際上可以通過某種方式簡化或轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)形式的不等式問題.直接轉(zhuǎn)化法的核心在于找到合適的轉(zhuǎn)換方式，使問題變得易于理解和解決.在使用直接轉(zhuǎn)化法時，需要注意每一步轉(zhuǎn)化都應(yīng)該是等價的，即不能改變原本問題的真假性，同時每一步都要保持清晰的邏輯關(guān)系，確保轉(zhuǎn)化后的形式可以直接或間接地得出結(jié)論[3].

2.4 坐標(biāo)轉(zhuǎn)化，解決立體幾何問題

在高中數(shù)學(xué)解題過程中，化歸思想中的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化法是指通過引入坐標(biāo)系或?qū)⒁延械淖鴺?biāo)系進(jìn)行變換，將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系下的代數(shù)問題.這種方法適用于涉及空間位置關(guān)系、距離計算或角度測量的立體幾何問題.通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)化，可以將復(fù)雜的幾何描述轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)值計算，從而簡化問題的求解過程.使用坐標(biāo)轉(zhuǎn)化法時，需要準(zhǔn)確地確定幾何元素的位置，并且要確保坐標(biāo)系的選擇或變換能夠方便地表述問題中的幾何關(guān)系.

例4 已知三棱錐A—BCD中，平面ABC⊥平面BCD，△BAC與△BCD均為等腰直角三角形，其中∠BAC=∠BCD=90°，BC=2，點P為線段AB上的動點，若

線段CD上存在點Q，使得異面直線PQ和AC形成30°的角，求線段PA的取值范圍.

解析 如圖2，在三棱錐中作直角坐標(biāo)系.

結(jié)合題目信息，可得B（-1，0，0），C（1，0，0），設(shè)點P的坐標(biāo)為（s，0，t），點Q的坐標(biāo)為（1，m，0），

3 結(jié)束語

綜上所述，化歸思想不僅是一種有效的解題策略，更是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和問題解決能力的關(guān)鍵.通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化、數(shù)形轉(zhuǎn)化、直接轉(zhuǎn)化以及坐標(biāo)轉(zhuǎn)化等多種方法，學(xué)生能夠?qū)?fù)雜難解的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為簡單明了的形式，從而輕松找到解題的突破口.因此，在高中數(shù)學(xué)解題中，教師應(yīng)注重化歸思想的滲透和應(yīng)用，還應(yīng)不斷嘗試和探索新的解題方法，有效培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力.

參考文獻(xiàn)：

［1］李碩.“轉(zhuǎn)化與化歸”思想在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2023（23）：58-59.

［2］ 裴偉.新高考下化歸思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].數(shù)理天地，2023（05）：41-43.

［3］ 舒華瑛.轉(zhuǎn)化與化歸思想在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用研究[J].延邊教育學(xué)院學(xué)報，2021，35（06）：190-195.