摘 要:在解析幾何中,角平分線是一個非常重要的概念,歷年的???、高考以及競賽試題中常有考查,學(xué)生在解決此類問題時并不是太得心應(yīng)手.通過探究一道有關(guān)角平分線的模考試題,幫助學(xué)生發(fā)散思維,提升運(yùn)算能力,增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).
關(guān)鍵詞:角平分線;直線方程;橢圓
中圖分類號:G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A"" 文章編號:1008-0333(2025)04-0028-04
圓錐曲線問題一直是高考中的難題.新課標(biāo)卷對導(dǎo)數(shù)的考查有所減弱,那么圓錐曲線問題就顯得更加重要,特別值得研究.第19題又是創(chuàng)新題,很難突破,圓錐曲線問題基本上都處于第18題,我們必須充滿信心,并且此類問題還是有規(guī)律可循的,只要研究達(dá)到一定深度,我們就能有所突破.
1 試題呈現(xiàn)
2 總體分析
本題是2024年安徽蚌埠聯(lián)考的一道壓軸填空題,屬于直線與橢圓的綜合題,涉及求角平分線的方程.此題以橢圓為載體,知識背景簡單,但有研究價值.經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)解決這個題目的方法比較多,可以利用軌跡思想、二倍角公式、角平分線的定義、角平分線的性質(zhì)、向量等突破問題.
3 試題解答
探究該角平分線所在直線方程的求解方法.
視角1 利用軌跡思想求解.
解法1 設(shè)M(x,y)為內(nèi)角∠F1AF2平分線上的任意一點(diǎn),結(jié)合圖象易知角平分線AM(以下簡記為直線l)斜率為負(fù)值.
根據(jù)角平分線的定義(角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等),得
解得4x+2y+1=0(x-2y+4=0舍去).
所以角平分線方程為4x+2y+1=0.
評注 解法1實(shí)質(zhì)上是求點(diǎn)的軌跡方程,結(jié)合角平分線的定義(即角平分線上的任意一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等),通過設(shè)點(diǎn)、尋找?guī)缀侮P(guān)系、列式、化簡等步驟,完成曲線(直線)方程的求解,同時要結(jié)合內(nèi)角平分線位置作出取舍,學(xué)生可能會忽略這個切入點(diǎn).
直線l斜率為k=tanα=-2.
所以tanα=tan(π-∠ANF1)=-2.
評注 本解法利用正切的二倍角公式進(jìn)行計算,思路自然流暢,教學(xué)中注意引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖形理順位置關(guān)系以及角之間的聯(lián)系,利用誘導(dǎo)公式方可快速準(zhǔn)確達(dá)成求解目標(biāo).
視角3 利用角平分線的對稱性求解.
解法3 因?yàn)榻堑膬蛇呹P(guān)于角平分線對稱,所以點(diǎn)F2(1,0)關(guān)于角平分線l的對稱點(diǎn)F′2在直線x=-1上.
因?yàn)镕2F′2⊥l,
解得t=-1(t=4舍去).
故所求直線斜率為kl=-2.
所以角平分線方程為4x+2y+1=0.
解得t=-1(t=4舍去).
故所求直線斜率為-2.
所以角平分線方程為4x+2y+1=0.
所以|F1F′2|=1.
故點(diǎn)F′2(-1,-1).
所以角平分線方程為4x+2y+1=0.
視角4 角平分線的性質(zhì).
性質(zhì)1 若AN為△AF1F2的角平分線,則點(diǎn)N到角的兩邊的距離相等.
所以角平分線方程為4x+2y+1=0.
評注 解法6,7是角平分線兩個性質(zhì)的具體體現(xiàn),由于AF1⊥x軸,△AF1F2為橢圓的焦點(diǎn)三角形,所以角平分線上的點(diǎn)選擇了與x軸的交點(diǎn)N(x0,0),在很大程度上降低了運(yùn)算量,這樣才能提高解題的準(zhǔn)確率.長期堅持可以啟迪學(xué)生的思維,拓寬學(xué)生的視野.
視角5 利用等面積法求解.
評注 等面積法是一種靈活的思路,結(jié)合角平分線的性質(zhì)得|NH|=|F1N|,通過等量代換,求解瞬間變得簡單易行,值得學(xué)習(xí)借鑒.
視角6 利用向量法求解.
所以角平分線方程為4x+2y+1=0.
所以角平分線方程為4x+2y+1=0.
視角7 利用兩角差的正切公式轉(zhuǎn)化求解.
所以
tan∠NAF2=tan(∠AF2x-∠ANF2).
所以角平分線方程為4x+2y+1=0.
評注 此法利用兩角差的正切公式進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化求解,本質(zhì)上就是應(yīng)用到角公式解題,針對學(xué)有余力的學(xué)生,教師可以適當(dāng)介紹,拓寬學(xué)生的視野,提升學(xué)生的思維能力.
4 高考鏈接
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求∠F1AF2的角平分線l所在直線的方程.
評注 此題第(2)問和文中的題如出一轍,可以說文中呈現(xiàn)的試題就是根據(jù)這道高考真題改編而來,感興趣的同仁們自行求解.
5 拓展推廣
結(jié)合解題過程,探究本質(zhì),可以作以下推廣:
6 結(jié)束語
新教材注重學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng).在日常的教學(xué)中,我們引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合自己的思維習(xí)慣選擇適當(dāng)方法進(jìn)行解答,加強(qiáng)通性通法教學(xué)和基本數(shù)學(xué)思想方法的滲透.同時在解決問題時,應(yīng)將題目中的題設(shè)結(jié)論與已經(jīng)學(xué)過的相關(guān)知識進(jìn)行整合,讓知識形成網(wǎng)絡(luò),方法形成體系,解題教學(xué)的基本要求就是把一道道題目作為研究對象,而解題過程就是對其進(jìn)行全方位多角度的探究過程[1],長期堅持能力和素養(yǎng)就形成了.
“多思少算”是高中數(shù)學(xué)解題的一種非常重要的策略,能幫助學(xué)生拓寬思維,提高解題效率,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).因此,“多思少算”策略逐漸成為專家和一線教師的研究方向以及命題方向[2],這需要師生的自覺性和主動性.
參考文獻(xiàn):
[1]馬文杰,羅增儒.一道高考題的“深度解析”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(高中版),2010(21):25-27.
[2] 李昌成,賀鳳梅.2024年全國高考新課標(biāo)Ⅰ卷第16題的研究[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)(高中版),2024(08):20-23.