指向高中數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計(jì)

摘要：本文以“直線(xiàn)與平面垂直”的教學(xué)過(guò)程為例，通過(guò)生活實(shí)例引出課題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情；通過(guò)動(dòng)手操作探究，用“問(wèn)題串”的形式循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生積極思考，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維更深入，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

關(guān)鍵詞：優(yōu)化課堂；數(shù)學(xué)教學(xué)；核心素養(yǎng)

中圖分類(lèi)號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2025）06-0068-04

收稿日期：2024-11-25

作者簡(jiǎn)介：

梁甜甜，碩士研究生，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究；

張昕麗，副教授，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

本案例以“直線(xiàn)與平面垂直”為主題.中國(guó)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)需要通過(guò)課程改革、教學(xué)實(shí)踐、教育評(píng)價(jià)三個(gè)渠道加以落實(shí)，而課程、課堂、評(píng)價(jià)是學(xué)生發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主渠道[1].因此，“直線(xiàn)與平面垂直”的整個(gè)教學(xué)過(guò)程需要充分發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).基于這一認(rèn)識(shí)，設(shè)計(jì)如下教學(xué).

1前期分析

1.1課標(biāo)理念解讀

課標(biāo)要求：在直觀(guān)認(rèn)識(shí)和理解空間中點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，概括直線(xiàn)與平面垂直的定義；通過(guò)動(dòng)手操作和初步感知，歸納直線(xiàn)與平面垂直的判定定理；能運(yùn)用線(xiàn)面垂直的定義和判定定理證明一些空間幾何的簡(jiǎn)單命題[2].

課標(biāo)中明確了這部分教學(xué)重點(diǎn)是學(xué)生對(duì)于空間概念的理解，遵循循序漸進(jìn)的原則，利用多媒體或者教具展示，學(xué)生能夠更好地理解空間中圖形表示的方法.

1.2教學(xué)內(nèi)容解析

研讀教材，有助于教師準(zhǔn)確把握教學(xué)內(nèi)容、厘清教學(xué)脈絡(luò)，同時(shí)也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的重要途徑之一[3].本節(jié)課選自高中數(shù)學(xué)人教A版必修二第八章《立體幾何初步》第六節(jié)第二課時(shí)，線(xiàn)面垂直是空間中線(xiàn)線(xiàn)垂直關(guān)系的延續(xù)，也是探究面面垂直的基礎(chǔ).所以，本節(jié)內(nèi)容在數(shù)學(xué)教材中對(duì)于知識(shí)的連接性起著橋梁的作用，通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠增強(qiáng)“降維”的轉(zhuǎn)化思想，從而發(fā)展空間想象力.

基于此，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是理解線(xiàn)面垂直的定義，除此之外，還要掌握其判定定理，并能用線(xiàn)面垂直的判定定理進(jìn)行證明.

1.3教學(xué)目標(biāo)

結(jié)合生活實(shí)際，概括線(xiàn)面垂直的定義；在動(dòng)手操作過(guò)程中，總結(jié)歸納出線(xiàn)面垂直的判定定理，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀(guān)察現(xiàn)實(shí)世界；能夠在探究過(guò)程中，感悟線(xiàn)面垂直與線(xiàn)線(xiàn)垂直的互相轉(zhuǎn)化，以此落實(shí)數(shù)學(xué)抽象、直觀(guān)想象等核心素養(yǎng).

1.4學(xué)生學(xué)情分析

在前幾節(jié)已經(jīng)學(xué)習(xí)了線(xiàn)線(xiàn)垂直和線(xiàn)面平行的相關(guān)知識(shí)，學(xué)生有了一定的觀(guān)察和推理能力，但他們把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的意識(shí)不強(qiáng)，

難以聯(lián)想到借助線(xiàn)線(xiàn)垂直來(lái)刻畫(huà)線(xiàn)面垂直.因此，

發(fā)現(xiàn)及驗(yàn)證直線(xiàn)與平面垂直的判定定理是本課的教學(xué)難點(diǎn).

1.5教學(xué)策略分析

在立體幾何中，我們真正做的是把某種真實(shí)存在的立體幾何事物，在理念中逐步分解成平面上某些特定平面圖形的組合來(lái)加以明確刻畫(huà)[4]．在教學(xué)過(guò)程中，教師給學(xué)生提供一個(gè)包含某個(gè)概念的情境，或者給學(xué)生提供關(guān)于這個(gè)概念的一組特例，學(xué)生共同討論，補(bǔ)充意見(jiàn)，在情境或特例中抽象出概念[5].

本節(jié)課主要采用啟發(fā)式教學(xué)法，從實(shí)際生活中線(xiàn)面垂直的形象，抽象出線(xiàn)面垂直的定義.教師通過(guò)“問(wèn)題串”，引導(dǎo)學(xué)生在動(dòng)手操作中探究判定定理，并吸引學(xué)生注意力，以期達(dá)到發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀(guān)想象等核心素養(yǎng)的要求.2教學(xué)過(guò)程

2.1創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活.教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生把事物抽象成數(shù)學(xué)圖形，用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)觀(guān)察.

問(wèn)題1將升國(guó)旗的旗桿與橋柱抽象成一條直線(xiàn)，直線(xiàn)與平面之間有什么樣的位置關(guān)系？

問(wèn)題2兩個(gè)實(shí)例都以直線(xiàn)與平面垂直的形象呈現(xiàn)，你還能再舉出生活中類(lèi)似這樣的例子嗎？

學(xué)生舉出一些生活中的例子，引出本節(jié)所要探究的直線(xiàn)與平面垂直.

設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)情境，吸引學(xué)生注意力.學(xué)生在生活中可能會(huì)發(fā)現(xiàn)很多直線(xiàn)與平面垂直的形象，以此引出課題，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀(guān)察生活情境.

2.2觀(guān)察發(fā)現(xiàn)，歸納定義

問(wèn)題3如何定義一條直線(xiàn)與一個(gè)平面垂直？

引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)復(fù)習(xí)線(xiàn)面平行的研究思路，將空間問(wèn)題平面化，即線(xiàn)面垂直也可以轉(zhuǎn)化為考查一條直線(xiàn)和平面內(nèi)直線(xiàn)的位置關(guān)系.

以旗桿與地面垂直的形象為例進(jìn)行探究，在陽(yáng)光的照耀下，旗桿AB會(huì)在地面上投射出影子BC.

問(wèn)題4AB與BC所在的直線(xiàn)有怎樣的位置關(guān)系？

問(wèn)題5通過(guò)動(dòng)畫(huà)演示觀(guān)察，隨著時(shí)間不斷改變，BC的位置關(guān)系是否發(fā)生變化？

問(wèn)題6這些影子所在的直線(xiàn)有什么樣的共同特征？

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察旗桿隨時(shí)間改變，探究AB與BC垂直的位置關(guān)系，通過(guò)BC所在直線(xiàn)的共同特征，即都過(guò)點(diǎn)B，總結(jié)出直線(xiàn)AB與水平面上任意一條過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)都能垂直.既然在地面上有過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生思考還存在一類(lèi)不過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn).

問(wèn)題7不妨在地面內(nèi)任意畫(huà)不過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)CD，直線(xiàn)AB與直線(xiàn)CD有怎樣的位置關(guān)系？

師生活動(dòng)通過(guò)討論交流，學(xué)生探究出直線(xiàn)CD與直線(xiàn)AB是異面直線(xiàn)，由異面直線(xiàn)垂直的概念，得到直線(xiàn)AB與直線(xiàn)CD相互垂直.由此，總結(jié)直線(xiàn)與平面垂直的定義，即如果直線(xiàn)l與平面α內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都垂直，那么直線(xiàn)l與平面α垂直.

2.3啟發(fā)思考，理解定義

問(wèn)題8線(xiàn)面垂直指的是直線(xiàn)l要與平面α內(nèi)的所有直線(xiàn)都垂直，如果把“所有直線(xiàn)”改成“無(wú)數(shù)條直線(xiàn)”，是否還滿(mǎn)足垂直關(guān)系？

為了使學(xué)生更深刻地理解定義，教師應(yīng)從概念進(jìn)行剖析.如果無(wú)數(shù)條直線(xiàn)是平面內(nèi)的一組平行直線(xiàn)，與這組平行直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)可以與這個(gè)平面平行，也可以在這個(gè)平面內(nèi)，甚至與平面相交，但不一定垂直.

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)交流，探究結(jié)論，學(xué)生能夠更深刻地理解定義，以此培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度.

為了研究與表述的方便，教師可補(bǔ)充一些輔助性知識(shí).對(duì)于直線(xiàn)與平面垂直的圖形表示，數(shù)學(xué)研究中通常畫(huà)一個(gè)平行四邊形來(lái)表示平面，再畫(huà)出直線(xiàn)與平行四邊形的其中一邊垂直.如圖1，直線(xiàn)l叫作平面α的垂線(xiàn)，平面α記為直線(xiàn)l的垂面，點(diǎn)P是它們唯一的公共點(diǎn)，記為垂足.

問(wèn)題9在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)與已知直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)有幾條？

問(wèn)題10在空間內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)與已知直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)有幾條？過(guò)一點(diǎn)與已知平面垂直的直線(xiàn)有幾條？師生活動(dòng)在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)與已知直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)有且僅有一條，在空間中，過(guò)一點(diǎn)與已知直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)能得到無(wú)數(shù)條.教師引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作，學(xué)生發(fā)現(xiàn)過(guò)一點(diǎn)作某個(gè)平面的垂線(xiàn)，只能作出一條.通過(guò)反證法來(lái)證明，假設(shè)過(guò)點(diǎn)A有兩條直線(xiàn)垂直于平面α，垂足分別為點(diǎn)C，D.那么A，B，C三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，如果垂直，這兩個(gè)角各為90°.此時(shí)，三角形的內(nèi)角和大于180°（如圖2），故假設(shè)不成立，于是驗(yàn)證得到過(guò)一點(diǎn)與已知平面垂直的直線(xiàn)只有一條.過(guò)一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線(xiàn)，該點(diǎn)與垂足間的線(xiàn)段叫作點(diǎn)到平面的垂線(xiàn)段.垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度叫作點(diǎn)到平面的距離（比如棱錐的高）.

設(shè)計(jì)意圖教師通過(guò)反證法證明命題成立，引導(dǎo)學(xué)生驗(yàn)證猜想，吸引學(xué)生的注意力；通過(guò)回憶引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)棱錐的高就是點(diǎn)到平面的距離，而這個(gè)距離就是點(diǎn)到平面的垂線(xiàn)段，進(jìn)一步讓學(xué)生理解垂線(xiàn)段的意義，促進(jìn)知識(shí)遷移.

2.4操作交流，探究定理

問(wèn)題11如何判斷一條直線(xiàn)是否與平面垂直？若以探究旗桿與地面為例，利用手里有限的工具，如何驗(yàn)證旗桿是否與地面垂直？

預(yù)設(shè)學(xué)生可能回答利用定義來(lái)證明，通過(guò)思考，發(fā)現(xiàn)利用定義不能驗(yàn)證旗桿與地面內(nèi)的每一條直線(xiàn)都垂直.教師可以類(lèi)比線(xiàn)面平行判定的探究，引導(dǎo)學(xué)生將無(wú)限驗(yàn)證轉(zhuǎn)化為有限驗(yàn)證.

師生活動(dòng)拿出課前準(zhǔn)備的三角形，將三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別記作A，B，C，過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，所折的痕跡記為AD，將翻折后的三角形豎起放在桌面上（BD，DC與桌面接觸）.

問(wèn)題12沿點(diǎn)A翻折三角形，如何翻折才能使AD⊥α？

師生活動(dòng)學(xué)生沿點(diǎn)A進(jìn)行各種翻折，充分觀(guān)察、思考與討論，發(fā)現(xiàn)只有當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD⊥α.當(dāng)AD與BC不垂直時(shí)，AD無(wú)論怎樣翻折，始終與桌面所在平面α不垂直.

問(wèn)題13當(dāng)AD⊥BC時(shí)，繞AD無(wú)論如何折，AD與桌面所在平面α始終垂直嗎？

學(xué)生動(dòng)手操作，發(fā)現(xiàn)翻折之后AD始終與桌面所在的平面α垂直.

問(wèn)題14在翻折之后，AD⊥BD，AD⊥CD的關(guān)系改變了嗎？

師生活動(dòng)如圖3，當(dāng)AD⊥BC時(shí)，保持BD不動(dòng)，DC緊貼平面α，讓△ACD部分繞AD旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)時(shí)發(fā)現(xiàn)AD⊥α的關(guān)系未發(fā)生改變，除此之外，發(fā)現(xiàn)AD與平面α內(nèi)任意一條過(guò)點(diǎn)D的直線(xiàn)都有垂直的關(guān)系．

通過(guò)操作觀(guān)察，BD，DC交于點(diǎn)D，所以BD與DC是兩條相交直線(xiàn).

問(wèn)題15為什么一條直線(xiàn)與平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)垂直，就說(shuō)直線(xiàn)與平面垂直？

師生活動(dòng)教師引導(dǎo)學(xué)生思考基本事實(shí)的推論2，兩條相交直線(xiàn)就可以確定一個(gè)平面，并且這兩條相交直線(xiàn)能夠表示這個(gè)平面內(nèi)的所有直線(xiàn)，即當(dāng)AD垂直于平面α內(nèi)過(guò)點(diǎn)D的任意兩條相交直線(xiàn)時(shí)，AD就垂直于平面α．

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)學(xué)生不斷探究，發(fā)現(xiàn)三角形紙片中的垂直關(guān)系，滲透“無(wú)限”轉(zhuǎn)化為“有限”的思想，有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)判定的本質(zhì)．

思考根據(jù)以上探究，判定直線(xiàn)與平面垂直，需要幾個(gè)條件？

教師引導(dǎo)學(xué)生指出判定直線(xiàn)與平面垂直需要三個(gè)條件，分別是平面內(nèi)有兩條直線(xiàn)、兩條直線(xiàn)相交、平面外的直線(xiàn)與兩條相交直線(xiàn)都垂直.

根據(jù)這三個(gè)條件，可引導(dǎo)學(xué)生嘗試總結(jié)線(xiàn)面垂直判定定理.即如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)垂直，那這條直線(xiàn)與這個(gè)平面垂直.

根據(jù)圖形表示，讓學(xué)生把定理的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成符號(hào)語(yǔ)言.

mα，nαm∩n=Pl⊥m，l⊥nl⊥α.

利用定理，能夠檢驗(yàn)旗桿AB與平面垂直的情況，找到地面上兩條相交直線(xiàn)，驗(yàn)證這兩條相交直線(xiàn)都與AB垂直即可.

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理，回歸生活實(shí)例解決問(wèn)題，提高其解決問(wèn)題的能力.

預(yù)留課后思考直線(xiàn)與平面垂直的判定定理中兩條相交直線(xiàn)能否改為兩條平行直線(xiàn)？請(qǐng)從向量的角度解釋原因.

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生深刻理解線(xiàn)面垂直的判定定理，為什么一定是兩條相交直線(xiàn)，而不是兩條平行直線(xiàn)，提高學(xué)生思考問(wèn)題的能力.

2.5鞏固練習(xí)，學(xué)以致用

例題已知：如圖4，a∥b，a⊥α，求證：b⊥α.

根據(jù)所畫(huà)的圖形（圖4），讓學(xué)生獨(dú)立思考，找到證明此問(wèn)題的思路，要證明結(jié)論成立，關(guān)鍵是證明出b也垂直于這個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn).學(xué)生試著寫(xiě)證明過(guò)程，教師在多媒體展示完整步驟，讓學(xué)生校正.

證明在平面α內(nèi)任取兩條相交直線(xiàn)m，n，

因?yàn)閍⊥α，所以a⊥m，a⊥n.

因?yàn)閍∥b，又mα，nα，且m，n是兩條相交直線(xiàn)，

所以b⊥α.

設(shè)計(jì)意圖分析題目，畫(huà)出圖形，嘗試書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程，以此促進(jìn)學(xué)生思考，檢測(cè)學(xué)生運(yùn)用新知的能力.

2.6課堂小結(jié)，凝練升華

詢(xún)問(wèn)學(xué)生學(xué)習(xí)的收獲，教師補(bǔ)充通過(guò)線(xiàn)面垂直與線(xiàn)線(xiàn)垂直之間的互相轉(zhuǎn)化，體會(huì)了“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想方法.

設(shè)計(jì)意圖回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容，建立知識(shí)框架，對(duì)記憶進(jìn)行強(qiáng)化，使學(xué)生在輕松愉悅的狀態(tài)下結(jié)束課程.

2.7布置作業(yè)，課后拓展

必做題：課本練習(xí)題1，2，3.

選做題：課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè).

設(shè)計(jì)意圖根據(jù)作業(yè)難度系數(shù)由易到難布置，使學(xué)生適應(yīng)本課教學(xué).設(shè)置分層作業(yè)，使學(xué)生在掌握基本知識(shí)之后，作進(jìn)一步拓展，落實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).

3結(jié)束語(yǔ)

本節(jié)課主要以“問(wèn)題串”的形式啟發(fā)學(xué)生，將“無(wú)限”轉(zhuǎn)化為“有限”，深入體會(huì)轉(zhuǎn)化和類(lèi)比的思想方法，整個(gè)過(guò)程啟發(fā)學(xué)生結(jié)合具體實(shí)例歸納出線(xiàn)面垂直的定義，并使其在實(shí)踐中探索出線(xiàn)面垂直的判定定理.本節(jié)課以提升學(xué)生能力為中心設(shè)計(jì)教學(xué)，通過(guò)追問(wèn)形式不斷引導(dǎo)學(xué)生思考，逐層深入；通過(guò)例題鞏固應(yīng)用，達(dá)到揭示問(wèn)題本質(zhì)的效果.整個(gè)過(guò)程保證了學(xué)生思維的順暢，為每一步探究作準(zhǔn)備.

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［責(zé)任編輯：李慧嬌］