溫故探新數(shù)形提能：指向啟發(fā)式教學(xué)的思考

摘要：本文以“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象”教學(xué)為例，采用回顧舊知—?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境—數(shù)形結(jié)合—鞏固應(yīng)用的模式，闡述如何以指向啟發(fā)式教學(xué)為導(dǎo)向，揭示知識(shí)間的內(nèi)在關(guān)系，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;圖象變化;啟發(fā)式教學(xué)

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2025）06-0036-03

收稿日期：2024-11-25

作者簡(jiǎn)介：鄧飛，碩士，一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出：高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，提倡獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式[1].在“新課程、新教程”背景下，教師應(yīng)啟發(fā)學(xué)生圍繞知識(shí)間的聯(lián)系，通過(guò)合適的數(shù)學(xué)問(wèn)題，積極主動(dòng)地思考，使得知識(shí)“落地生根”.

1教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)課選自人教版必修第一冊(cè)5.6.2“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象”，它以具體的勻速圓周運(yùn)動(dòng)

模型筒車為例，抽象出一般的函數(shù)H=rsin（ωt+φ）+h，并在此基礎(chǔ)上研究一般的函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0， ω＞0）的圖象特征.

2學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析

從以往經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，學(xué)生在預(yù)習(xí)或者學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容后，容易把知識(shí)當(dāng)成“口訣”背誦來(lái)對(duì)待，只是停留在單純地背一些結(jié)論上.新高考改革以來(lái)，數(shù)學(xué)題目出發(fā)點(diǎn)都很基礎(chǔ)，但深度不淺.這也要求學(xué)生必須夯實(shí)數(shù)學(xué)“四基”“四能”“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”，弄清知識(shí)的本質(zhì)，以不變應(yīng)對(duì)千變?nèi)f化的數(shù)學(xué)試題.

3設(shè)計(jì)理念

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程是“建?！瘹w—遷移—探索”.首先通過(guò)生活中具體的周期變化的函數(shù)模型，突出數(shù)學(xué)的生活性和趣味性；接著通過(guò)一連串的目標(biāo)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生觀察思考；再通過(guò)從特殊到一般的例題循序漸進(jìn)不斷對(duì)知識(shí)進(jìn)行提煉，讓學(xué)生體會(huì)y=Asin（ωx+φ）的生成過(guò)程；最后師生一起探索一般情況下的結(jié)論并加以總結(jié)升華.整節(jié)課中，教師通過(guò)信息技術(shù)的輔助用大量圖形和影像進(jìn)行直觀動(dòng)態(tài)關(guān)聯(lián)地呈現(xiàn)，既降低了教學(xué)難點(diǎn)，也提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.

4教學(xué)目標(biāo)

從生活實(shí)例入手，通過(guò)對(duì)勻速圓周運(yùn)動(dòng)函數(shù)模型y=Asin（ωx+φ）的圖象性質(zhì)的研究，學(xué)生能夠體會(huì)建模過(guò)程，鍛煉思維能力.借助信息軟件工具，數(shù)形結(jié)合，三個(gè)參數(shù)逐一擊破，提高學(xué)生分析問(wèn)題的能力.同時(shí)也能讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，對(duì)生活又具有指導(dǎo)性，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀.

5教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：參數(shù)A，ω，φ對(duì)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖象的影響.

教學(xué)難點(diǎn)：ω對(duì)y=Asin（ωx+φ）的圖象的影響規(guī)律的概括.

6教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

6.1創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題

6.1.1合情引入，激發(fā)興趣

通過(guò)計(jì)算機(jī)工具播放筒車的來(lái)源增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，接著利用幾何畫(huà)板輔助把筒車上盛水筒的運(yùn)動(dòng)抽象成質(zhì)點(diǎn)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)（如圖1），教師通過(guò)直觀的動(dòng)圖展示引導(dǎo)學(xué)生抽象出一般函數(shù)模型H=rsin（ωt+φ）+h.

6.1.2問(wèn)題導(dǎo)向，目標(biāo)引領(lǐng)

通過(guò)筒車的探索我們得到了形如y=Asin（ωx+φ）的函數(shù)，那么不由得思考函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與參數(shù)A，ω，φ的關(guān)系是怎樣的？

創(chuàng)設(shè)合理問(wèn)題情景，能夠使學(xué)生感受大眾數(shù)學(xué)的意義，明白數(shù)學(xué)其實(shí)就發(fā)生在我們的身邊，在學(xué)習(xí)過(guò)程中感受數(shù)學(xué)的和諧美，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，更好地促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展，體現(xiàn)了新課標(biāo)的要求.同時(shí)，“問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)習(xí)”也是落實(shí)素養(yǎng)教學(xué)的一種有效途徑，是教師教學(xué)的一個(gè)重要教學(xué)原則[2].

6.2探究新知，突破難點(diǎn)

6.2.1探究φ對(duì)函數(shù)y=sinx的影響：

例1畫(huà)出函數(shù)y=sin（x+π3），x∈R和y=sin（x-π4），x∈R的簡(jiǎn)圖（圖象如圖2）.

探究與歸納：與y=sinx的圖象作比較，啟發(fā)學(xué)生得出結(jié)論.

一般地，函數(shù)y=sin（x+φ），x∈R （其中φ≠0）的圖象，可以用口訣“左加右減”簡(jiǎn)單記憶圖象變化.即若φ＞0時(shí)，圖象由y=sinx往左移動(dòng)φ個(gè)單位得到；若φ＜0時(shí)，圖象由y=sinx往右移動(dòng)-φ個(gè)單位得到.因兩圖象間可由左右平移變換得到，也稱之為相位變換.

6.2.2探究ω對(duì)函數(shù)y=sinx的影響：

例2畫(huà)出函數(shù)y=sin2x，x∈R與y=sin12x，x∈R的簡(jiǎn)圖（圖象如圖3）.

探究與歸納：與y=sinx的圖象作比較，啟發(fā)學(xué)生得出結(jié)論.

（1）函數(shù)y=sinωx，x∈R（ωgt;0且ω≠1）的圖象，可以用口訣“倒數(shù)伸縮”簡(jiǎn)單記憶圖象變化.即若ω＞1時(shí)，圖象由y=sinx橫坐標(biāo)縮短1ω倍得到；若0＜ω＜1 時(shí)，圖象由y=sinx橫坐標(biāo)伸展1ω倍得到.

（2）若ωlt;0，則由sin（ωx+φ）=-sin（-ωx-φ）將負(fù)號(hào)放到外面作圖，再關(guān)于x軸對(duì)稱即可.由公式T=2πω知圖象的周期發(fā)生了變化，故也稱之為周期變化.

6.2.3探究A對(duì)函數(shù)y=sinx的影響

例3畫(huà)出函數(shù)y=2sinx，x∈R和y=12sinx，

x∈R的簡(jiǎn)圖（圖象如圖4）.

探究與歸納：與y=sinx的圖象作比較，啟發(fā)學(xué)生得出結(jié)論.

（1）y=Asinx，x∈R （Agt;0且A≠1）圖象，可以用口訣“原數(shù)伸縮”簡(jiǎn)單記憶圖象變化.若A＞1時(shí)，圖象由y=sinx縱坐標(biāo)擴(kuò)大A倍得到；若0＜ω＜1時(shí)，圖象由y=sinx縱坐標(biāo)縮小A倍得到.

（2）若A＜0 ，可先作y=-Asinx的圖象，再以x軸為對(duì)稱軸翻折.因?yàn)锳決定最值，也稱為振幅，故也稱之為振幅變換.

6.2.4鞏固練習(xí)

例4如何由y=sinx變換得到y(tǒng)=3sin（2x+π3）？

給學(xué)生時(shí)間自行作圖，教師點(diǎn)評(píng)并用幾何畫(huà)板演示兩種方法的變化過(guò)程，總結(jié)（1）（2）兩種方法.

（1）y=sinx相位變換y=sin（x+φ） 周期變換y=sin（ωx+φ）振幅變換 y=Asin（ωx+φ） .

（2）y=sinx 周期變換 y=sin（ωx） 相位變換

y=sin（ωx+φ）振幅變換 y=Asin（ωx+φ）.

6.2.5遷移升華

例5如何由y=sinx變換得到y(tǒng)=Asin（ωx+φ）？

學(xué)生通過(guò)例4的練習(xí)講評(píng)，對(duì)于具體的函數(shù)變換有了清晰的認(rèn)識(shí)，此時(shí)再拓展到一般情況，使知識(shí)升華（變換如圖5）.

7結(jié)束語(yǔ)

本節(jié)課從現(xiàn)實(shí)生活中的筒車運(yùn)動(dòng)開(kāi)始，經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)建模得到y(tǒng)=Asin（ωx+φ），再通過(guò)計(jì)算機(jī)軟件的作圖輔助，引導(dǎo)學(xué)生觀察、歸納、抽象、概括、綜合、分析、聯(lián)想、總結(jié).從已有的知識(shí)點(diǎn)中生成新的內(nèi)容，從特殊情境中了解到通用性質(zhì)，啟發(fā)學(xué)生解決問(wèn)題的一般過(guò)程，并為研究數(shù)學(xué)問(wèn)題打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2] 李宏銘.數(shù)學(xué)現(xiàn)象教學(xué)的實(shí)施及評(píng)價(jià)概述[J].教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2018（03）：15-19.

［責(zé)任編輯：李慧嬌］