指向數(shù)學理解的教學設計研究

［摘 要］數(shù)學教學應高度關注學生對知識的理解。文章從“數(shù)學理解”的內涵出發(fā)，闡述其在教學設計中的具體體現(xiàn)，并以“平行四邊形的面積”教學設計為例，展示其在教學中的運用：通過系列教學活動，幫助學生經歷“經驗理解”“表象理解”“聯(lián)系理解”“應用理解”及“思想理解”，使學生對知識的理解不斷深化，最終實現(xiàn)對數(shù)學思想的認同。

［關鍵詞］數(shù)學理解；平行四邊形的面積；教學設計

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2025）02-0077-04

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）高度重視學生對知識的理解。在數(shù)學課堂中，若教師僅傳授冰冷的知識，而不關注學生對知識的理解，教學效果必將不佳，教學目標也難以達成。學生只有深度理解知識、完善知識網(wǎng)絡，才能靈活運用所學知識解決數(shù)學問題。因此，有效的教學需學生真正理解知識：既明白知識的生成過程，又領悟其背后蘊含的思想。

一、數(shù)學理解的內涵

20世紀70年代，英國數(shù)學教育家斯根普開始研究數(shù)學理解，明確指出理解并非虛無縹緲，而是一種積極進取的狀態(tài)。此后，數(shù)學理解的相關研究層出不窮。

數(shù)學理解具有雙重屬性，既體現(xiàn)為學習目標，又貫穿學習過程；既是連接數(shù)學世界與現(xiàn)實生活的橋梁，又是衡量教學效果的重要指標?！墩n程標準》中多次提及“理解”，足見其對學生數(shù)學學習的重要性。數(shù)學學習中，學生要對知識的來龍去脈了如指掌，準確把握隱藏在知識背后的數(shù)學思想和方法，方能稱得上是真正理解數(shù)學知識。為實現(xiàn)這一目標，教師需關注學生的理解層次，引導學生逐步深入理解知識，并領悟其中的思想與方法。

數(shù)學理解是一個由淺入深、逐步發(fā)展的過程。學生對數(shù)學知識的理解可大致劃分為五個層次：經驗理解、表象理解、聯(lián)系理解、應用理解和思想理解（如圖1）。其中，經驗理解指學生在學習新知識前已有的經驗和認識，多停留在表面。表象理解則是在教師創(chuàng)設的數(shù)學情境中，學生對新知產生的初步理解。聯(lián)系理解是在經驗理解和表象理解的基礎上，學生找到新舊知識的聯(lián)系，完善知識網(wǎng)絡，確定新知識的立足點。學習的最終目的是應用知識解決問題，應用理解指學生能靈活運用新知解決問題。最高層次的思想理解，指學生在學習和應用新知的過程中，發(fā)現(xiàn)并理解其中蘊含的數(shù)學思想，形成良好的數(shù)學素養(yǎng)。思想理解貫穿數(shù)學理解的各個層次，各層級理解相輔相成，共同促進學生發(fā)展。

總之，數(shù)學理解是一種內在的心理過程，學生從已有經驗出發(fā)，在教師引導下尋找新舊知識的聯(lián)系，初步形成知識表象，從而更深刻地認識知識本質，靈活運用知識，體會內在的數(shù)學思想。

二、數(shù)學理解在教學設計中的體現(xiàn)

作為數(shù)學教師，要在教學中切實展現(xiàn)數(shù)學理解的內涵，推動學生深入理解，需巧妙設計教學方案并關注學生理解情況（如圖2）。一是經驗理解，學生已有一定的生活與學習經驗，教學應充分利用這些經驗，通過情境引導學生有效應用。二是表象理解，教師需引導學生捕捉信息、提取概念，并歸納總結知識以形成表象。三是聯(lián)系理解，在學生掌握經驗與表象理解后，教師應引導其將新舊知識聯(lián)系起來，使新知在原知識網(wǎng)絡中有意義。四是應用理解，知識理解不能僅停留于知曉，而應會應用。五是思想理解，此為數(shù)學教學的終極目標。學生在學習中會領悟多樣數(shù)學思想，教師需引導其總結并創(chuàng)造性解決問題。

在數(shù)學教學中，教師需創(chuàng)設情境，激活學生已有經驗，引導其對知識進行提取概括以獲得知識表象，并從原有認知結構中尋找新舊知識的聯(lián)結點，從而將新舊知識聯(lián)系起來，豐富知識網(wǎng)絡，助力知識應用以解決數(shù)學問題，并從中感悟數(shù)學思想與邏輯思維。這樣，學生才算真正理解新知識，實現(xiàn)數(shù)學理解。

三、指向數(shù)學理解的教學設計示例

理解是知識運用的基礎，因此教師在數(shù)學課堂應特別關注學生理解的層次。下面以“平行四邊形面積”的教學設計為例，從經驗理解、表象理解、聯(lián)系理解、應用理解及思想理解五個層次逐步推進教學活動。在這五個層次中，首先是基于學生經驗引導其進行意義建構，形成表象；然后啟發(fā)學生以舊知理解新知，建立聯(lián)系；最后給予學生鞏固提升的機會，促進學生應用理解與思想理解。

（一）創(chuàng)設情境：激活經驗理解

師（出示圖3）：請看大屏幕，這兩個圖形的面積相等嗎？你想怎樣比較呢？

生1：數(shù)格子，兩個圖形都占12個格子，所以面積相等。

師：還有其他方法嗎？

生2：平移圖形①中的2個格子，就可以將它拼成和圖形②完全一樣的長方形。

師：為什么要拼成一個長方形呢？

生2：這樣就能用長方形的面積公式求面積了。

【分析：教師引導學生采用不同思路、選擇不同方法解決問題，能啟發(fā)學生多維度思考，培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維。此外，持續(xù)的追問能逐步激活學生的經驗理解，為新知識的教學做好鋪墊?！?/p>

師（出示圖4）：繼續(xù)比較，這兩個圖形的面積相等嗎？

生3：平移圖形③中的三角形，將圖形③拼成與圖形④相同的正方形。

師：為什么不數(shù)格子了？

生3：因為平移更方便，且圖形③所占的格子并不全是整格，不好數(shù)。

師：厲害！通過平移，將不熟悉的未知圖形轉化成熟悉的已知圖形，這種方法叫作轉化。

【分析：教師借助兩個簡單問題，引導學生獨立分析并深刻感受到轉化的魅力與作用。通過啟發(fā)學生思考“轉化前后什么變了，什么不變”，引導學生發(fā)現(xiàn)“轉化前后形狀變，面積不變”，然后讓學生帶著這一發(fā)現(xiàn)繼續(xù)感悟轉化的妙處，這就是從學生已有認知出發(fā)，既能鞏固知識，檢查學習情況，又能調動學生學好新知的信心。此處，教師激發(fā)了學生的經驗理解?！?/p>

（二）提取概括：生成表象理解

所謂知易行難，教師在教學中應多鼓勵學生動手操作、大膽嘗試和比較分析，這樣有助于培養(yǎng)學生的思維能力，并讓學生感受數(shù)學的魅力。

師（出示平行四邊形）：這是什么圖形？你會求它的面積嗎？有什么好方法？

生1：這是平行四邊形，可以將它轉化為長方形。

師：如何轉化？不妨動手試試，可畫一畫、剪一剪、拼一拼。

生2：我剪出一個三角形再拼。

生3：我剪出一個梯形再拼。

【分析：學生提出的解決方法極具價值，這是他們通過動手操作、交流討論、總結歸納得出的，體現(xiàn)了他們對知識的思考與分析。】

師：為什么沿高剪？如果不沿著高剪，會出現(xiàn)什么情況？試一試。

生4：得到的仍然是平行四邊形，無法求其面積。

師：將平行四邊形進行剪拼，轉化為熟悉的長方形，就可以用公式計算面積了。如果這個平行四邊形特別大，無法剪拼，又該怎么辦呢？

【分析：基于學生的經驗理解，教師通過提問啟發(fā)思考，幫助學生初步感知新知識。在分析比較中，師生共同確定后續(xù)教學方向。教學中不僅要傳授知識，更要注重培養(yǎng)學生的數(shù)學思想。教師啟發(fā)學生用數(shù)學眼光進行比較分析，不但能提高學生解決問題的能力，還能促進學生形成表象理解?！?/p>

（三）融合新舊：建立聯(lián)系理解

師：通過操作和討論，你有怎樣的發(fā)現(xiàn)？

生1：因為得到的長方形是由平行四邊形轉化而成的，所以兩者的面積相等。

生2：轉化之后，平行四邊形的底變?yōu)殚L方形的長，高變?yōu)殚L方形的寬。

【分析：教師鼓勵學生大膽表達，明確平行四邊形與長方形的關系，推導出平行四邊形的面積公式。在此過程中，教師幫助學生找到新知識的落腳點，讓學生感悟知識間的聯(lián)系，明確新舊知識環(huán)環(huán)相扣，搭建聯(lián)系理解?！?/p>

師：長方形的面積公式可以用字母表示，是否也可以用字母表示平行四邊形的面積公式？怎樣表示？

生（齊）：可以，[S=a×h]。

【分析：教師組織學生合作探究，鼓勵學生主動表述并概括想法，提升學生的總結能力。隨后，教師適時引導，讓學生利用已有經驗在新情境中建構新舊知識間的聯(lián)系，搭建聯(lián)系理解?！?/p>

（四）知識遷移：實現(xiàn)應用理解

師（出示題目）：一塊平行四邊形玻璃，底為50 cm，高為70 cm，面積是多少？

生1：利用平行四邊形的面積公式即可解決問題，[50×70=3500（cm2）]。

師（出示圖5）：下面兩個平行四邊形的面積之間有怎樣的關系？

生2：相等。

師：這兩個圖形看上去形狀、大小都不同，為什么面積相等呢？

生3：它們有著共同的底，高也相同，根據(jù)平行四邊形的面積公式可知兩者面積相等。

【分析：學生想要真正掌握新知，不僅要將新知“掛靠”在舊知上，還要在遷移應用的過程中不斷鞏固、逐步強化。這里，教師為學生提供應用知識的機會，幫助學生達成應用理解?！?/p>

（五）總結展望：培養(yǎng)思想理解

師：數(shù)學課進入尾聲了，請同學們分享收獲吧！

生1：想求平行四邊形的面積，可以將其轉化為長方形。

生2：我掌握了平行四邊形的面積公式，之后想要計算平行四邊形的面積，只需要代入公式即可。

生3：轉化思想至關重要，遇新問題可嘗試轉化，變陌生為熟悉，再求解。

【分析：教師課末歸納總結，引導學生領悟轉化思想精髓。通過強調轉化思想為解決問題常用之法，能化解陌生為熟悉，提升解題效率。這樣，將數(shù)學思想融入日常教學，就能促進學生實現(xiàn)思想領悟?！?/p>

學生的數(shù)學理解層次不僅僅關系到某個知識點的掌握，更會影響教學目標的達成和數(shù)學思想的培養(yǎng)。如果學生對知識的理解停留在表面，無法深入，找不到新舊知識的關聯(lián)，那么新知識就無處“?？俊薄＿@種學習是無效的，教學也是失敗的。因此，切實有效的教學設計需要深化學生的數(shù)學理解，豐富學生的數(shù)學思想，最終實現(xiàn)育人目標。

經驗理解是數(shù)學理解的起點，從學生的生活經驗和已有學習經驗出發(fā)，更容易激活學生學習數(shù)學知識的內驅力，降低其對知識的陌生感。對于學習主體來說，表象理解培養(yǎng)學生提取和概括知識的能力，促使其生成對新知識的基本認識。而聯(lián)系理解如同一條“紐帶”，將新舊知識串聯(lián)起來，擴充學生的知識網(wǎng)絡。最重要的是，這條“紐帶”是由師生共同編織的，匯聚了教師的教與學生的學，十分具有價值。應用理解是必要且不可或缺的，判斷學生是否掌握知識，最直觀的方式就是看其是否能應用知識解決問題，因為學習知識不是目的，更重要的是會遷移、會應用。思想理解是數(shù)學理解的最高層次，學生只有感受到數(shù)學的魅力，領悟數(shù)學思想的偉大，體會數(shù)學思維的巧妙，才能自發(fā)地以數(shù)學的眼光探究和解決問題。

因此，教師需要合理安排教學活動，層層遞進，逐步提升學生的數(shù)學理解，發(fā)展他們的數(shù)學思維，從而事半功倍地實現(xiàn)育人目標。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] SKEMP R. The Psychology of Learning Mathematics[M].Harmondsworth， Eng： Pnguin Books，1971.

[2] 中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[3] 張大均，教育心理學[M].北京：人民教育出版社，2015.

（責編 金" " 鈴）