度量視角下基于計(jì)數(shù)單位運(yùn)作，感悟運(yùn)算一致性

【教學(xué)內(nèi)容】

北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級下冊第五單元第57頁。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.在經(jīng)歷“包含除”的問題情境中，探索并掌握一個數(shù)除以分?jǐn)?shù)的算法，借助長度模型直觀理解一個數(shù)除以分?jǐn)?shù)的算理，溝通算法與算理之間的內(nèi)在聯(lián)系。

2.通過圖式互聯(lián)聚焦計(jì)數(shù)單位，感悟分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算的一致性，完善、發(fā)展認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)運(yùn)算能力。

3.在問題解決的過程中建立聯(lián)系的視角，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的態(tài)度、勇于嘗試的精神和持續(xù)思考的習(xí)慣，享受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，獲得成功的體驗(yàn)。

【教學(xué)重難點(diǎn)】

理解“一個數(shù)除以分?jǐn)?shù)”運(yùn)算方法背后的道理，探索并掌握算法；感悟分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算的一致性，建立分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算的整體結(jié)構(gòu)。

【課前慎思】

“分?jǐn)?shù)除法（二）”是北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級下冊第五單元“分?jǐn)?shù)除法”的第二課時，內(nèi)容聚焦“一個數(shù)除以分?jǐn)?shù)”。此前學(xué)生已經(jīng)系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)加減法、分?jǐn)?shù)乘法、倒數(shù)以及分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，掌握了分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的算法與算理，初步體會了除法運(yùn)算的一致性。筆者對學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)除法后的六年級學(xué)生做追蹤調(diào)研發(fā)現(xiàn)，對于“你是怎么理解2÷[23]=2×[32]=3的”問題，學(xué)生一致表示不能理解“分?jǐn)?shù)除法為什么要‘顛倒相乘’變成分?jǐn)?shù)乘法再計(jì)算”，理由是：“怎樣把2平均分成[23]份呢？又如何求1份是多少呢？[23]份還不到1份呀！”筆者啟示他們可以從“2里面有幾個[23]”這樣“包含除”的含義出發(fā)畫圖試試，但作用不大?？梢?，理解“除以一個不為零的數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”是本課的重點(diǎn)、難點(diǎn)。

首先，運(yùn)算教學(xué)要注重說理，即解釋計(jì)算方法背后的道理。而且要說清算理往往離不開對運(yùn)算意義的理解，本課內(nèi)容的學(xué)習(xí)應(yīng)建立在除法“包含除”意義的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)。因此，教師要創(chuàng)設(shè)“包含除”的問題情境幫助學(xué)生更好理解算理。其次，多元表征算法的背后體現(xiàn)的是算法與算理的一致性，這要通過圖式關(guān)聯(lián)、幾何直觀的方式幫助學(xué)生建立對算理的理解。再次，運(yùn)算一致性在“一個數(shù)除以分?jǐn)?shù)”中同樣有體現(xiàn)，在教學(xué)時，教師要創(chuàng)設(shè)類似的思維時空，啟發(fā)學(xué)生在度量的視角下基于計(jì)數(shù)單位的運(yùn)作來感悟分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算的一致性——無論是分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，還是整數(shù)除以分?jǐn)?shù)，其實(shí)在計(jì)算時都是計(jì)數(shù)單位細(xì)分、均分的過程，計(jì)算的道理是一致的，這樣就幫助學(xué)生建立了分?jǐn)?shù)除法乃至整個除法運(yùn)算的整體結(jié)構(gòu)，提升了學(xué)生對除法運(yùn)算的整體認(rèn)識。

【教學(xué)過程】

一、任務(wù)驅(qū)動，自主探索算法

1.抽象算式，感受除法意義的一致性

筆者出示題組：有一根2 m 長的繩子。

（1）截成每段長1 m，可以截成幾段？

（2）截成每段長[12] m，可以截成幾段？

（3）截成每段長[13] m，可以截成幾段？

（4）截成每段長[23] m，可以截成幾段？

師：這個題組有4個問題，該分別怎樣列算式解決呢？說說理由。

生：第一個問題，截成每段長1 m，求可以截成幾段，就是看2米里有幾個1米，是包含除問題，可以用除法解決，列式計(jì)算：2÷1=2（段）。

生：后面3個問題也都是包含除問題，分別看2米里有幾個[12]米、2米里有幾個[13]米、2米里有幾個[23]米，可以依次列式為：2÷[12]、2÷[13]、2÷[23]。

師：看來，包含除問題，我們都可以用除法解決。無論是整數(shù)、小數(shù)還是分?jǐn)?shù)，除法的意義是一致的。

【思考】運(yùn)算的意義是理解算理的關(guān)鍵。教師以長度模型引入，呈現(xiàn)題組，讓學(xué)生在經(jīng)歷抽象出除法算式的過程中再認(rèn)識理解除法“包含除”的運(yùn)算意義，感悟除法運(yùn)算意義在不同數(shù)系中的一致性，為后面探索算法、理解算理奠定基礎(chǔ)。

2.多元表征，探索算法

師（指2÷[12]、2÷[13]、2÷[23]）：整數(shù)除以分?jǐn)?shù)，會計(jì)算嗎？

生：上節(jié)課，我們學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，除以一個不為零的整數(shù)，相當(dāng)于乘這個整數(shù)的倒數(shù)。所以我猜想，除以一個不為零的分?jǐn)?shù)，是不是也相當(dāng)于乘這個分?jǐn)?shù)的倒數(shù)呢？

師：特別好！猜想是數(shù)學(xué)研究的第一步，是不是這樣的呢？

生：需要實(shí)際探索一下具體算法。

活動要求：獨(dú)立思考，先想一想、畫一畫、分一分，再用算式記錄分繩子的操作過程，自主探索計(jì)算方法和結(jié)果；小組交流，把自己的想法解釋清楚。

（學(xué)生獨(dú)立嘗試，再組內(nèi)分享想法，全班交流）lt;E：＼雜志＼江西教育B版＼2025年＼2期＼度量視角-3.tifgt;

圖1 lt;E：＼雜志＼江西教育B版＼2025年＼2期＼度量視角-1.tifgt;

圖2 lt;E：＼雜志＼江西教育B版＼2025年＼2期＼度量視角-2.tifgt;

圖3

生：我們是借助畫圖解決的（如圖1至圖3）。先畫一條線段表示2米，問題（2）是看2米里能截成出幾段[12]米，我的思路是先看1米里能截出幾段[12]米，2米可以分成2個1米，就能算出總段數(shù)了。從圖1中可以看出，1米里有2段[12]米，2米里有2個1米，也就是2個2段[12]米，也就是能截出（2×2）段。所以，2÷[12]=2×2=4（段）。

生：問題（3）是看2米里能截幾段[13]米，也是先看1米里能截出幾段[13]米，再算出總段數(shù)。從圖2中可以看出，1米里有3段[13]米，2米里有2個1米，也就是2個3段[13]米，也就是能截出（2×3）段。所以，2÷[13]=2×3=6（段）。

生：問題（4）是看2米里能截幾段[23]米，我的思路是，[23]米是2個[13]米，通過平均分割看看2米里有幾個[13]米，就能進(jìn)一步算出有幾段[23]米了。從圖3中可以看出，1米里有3個[13]米，2米里有6個[13]米，[23]米是1段，也就是2個[13]米是1段，數(shù)一數(shù)正好能截出3段[23]米。所以，2÷[23]=2×3÷2=3（段）。

生：我把除法轉(zhuǎn)化為乘法計(jì)算，2÷[12]=2÷（1÷2）=2÷1×2=2×2=4；2÷[13]=2÷（1÷3）=2÷1×3=2×3=6；2÷[23]=2÷（2÷3）=2÷2×3=2×[32]=3。

師：大家介紹的這些方法，無論畫圖還是算式轉(zhuǎn)換，其實(shí)都是把新問題轉(zhuǎn)化為舊知識來解決，非常棒！

【思考】猜想是培養(yǎng)創(chuàng)造力的基礎(chǔ)。探索算法之前先借助之前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)猜想，再探索算法，激發(fā)學(xué)生的求知欲。學(xué)生通過畫線段圖結(jié)合直觀長度模型解釋算法，初步理解算理，感悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法。

二、層層遞進(jìn)，抽絲剝繭，促法理融通

師［指著問題（4）的算法］：他是通過算式轉(zhuǎn)換，把除法轉(zhuǎn)化成了乘法進(jìn)行計(jì)算的。仔細(xì)觀察轉(zhuǎn)化過程，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：2÷[12]=2×2=4，2÷[13]=2×3=6，2÷[23]=2×[32]=3，他把除以一個分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成了乘一個整數(shù)或一個新的分?jǐn)?shù)，這個整數(shù)或新的分?jǐn)?shù)就是這個分?jǐn)?shù)的倒數(shù)。

生：除以一個分?jǐn)?shù)，相當(dāng)于乘這個分?jǐn)?shù)的倒數(shù)。

師（指著2÷[12]=2×2，2÷[13]=2×3，2÷[23]=2×[32]）：為什么除以一個分?jǐn)?shù)等于乘這個分?jǐn)?shù)的倒數(shù)？誰能結(jié)合圖形來解釋一下？

生：比如問題（2），2米可以截出2個1米，每個1米又可以截出2個[12]米，2米就相當(dāng)于（2×2）個[12]米，所以可以截出（2×2）段，也就是4段[12]米。

師：也就是說（2×2）在這里其實(shí)表示的是什么？

生：2米里面含有的[12]米的個數(shù)。

師：2÷[12]是不是可以寫成2÷[12]=（2×2）×[12]÷[12]？同意嗎？

生：同意，也就等于（2×2）了。

生：同樣，問題（3），（2×3）算的是2米里面包含的[13]米的個數(shù)。2米可以截出3個1米，每個1米又可以截出3個[13]米，2米就相當(dāng)于（2×3）個[13]米，所以可以截出（2×3）段，也就是6段[13]米。

生：2÷[13]也可以寫成2÷[13]=（2×3）×[13]÷[13]=2×3。

師：問題（4）怎么解釋呢？

生：1米可以截出3個[13]米，2米就是（2×3）個[13]米，[23]米是2個[13]米，2米里有幾個[23]米，就是算（2×3）個[13]米里有幾個2個[13]米，其實(shí)就相當(dāng)于算（2×3）里有幾個2，所以2÷[23]=2×3÷2=3。

師：剛才的這個解釋過程，如果用算式做記錄，可以怎么寫呢？

生：2÷[23]=（2×3）×[13]÷（2×[13]）=2×3÷2=3。

生：2×3÷2=2×[32]，所以2÷[23]就相當(dāng)于計(jì)算2×[32]。

生：我明白了！我們可以這樣理解，從圖3中可以看出，1米里有1.5個[23]米，也就是[32]個[23]米，2米里就有（2×[32]）個[23]米，也就是說2×[32]算的是2米里有幾個[23]米，和2÷[23]的意義相同，所以2÷[23]=2×[32]×[23]÷[23]=2×[32]。

師：仔細(xì)觀察圖形和算式的計(jì)算過程，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：它們計(jì)算的都是這個數(shù)與分?jǐn)?shù)單位之間個數(shù)的關(guān)系。

生：一個數(shù)除以分?jǐn)?shù)單位，就是看這個數(shù)里含有多少個分?jǐn)?shù)單位。一個數(shù)除以分?jǐn)?shù)，就看這個數(shù)和這個分?jǐn)?shù)里各有幾個分?jǐn)?shù)單位，再算個數(shù)的關(guān)系。

師：也就是說，一個數(shù)除以分?jǐn)?shù)，其實(shí)就是在計(jì)算這個數(shù)與分?jǐn)?shù)單位個數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系。

【思考】教師引導(dǎo)學(xué)生整體回顧解決三個問題的計(jì)算過程，啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)隱藏于其中的規(guī)律——都是把除法轉(zhuǎn)化為乘法，除以一個分?jǐn)?shù)相當(dāng)于乘這個分?jǐn)?shù)的倒數(shù)。啟發(fā)學(xué)生結(jié)合直觀圖理解“為什么除以一個分?jǐn)?shù)等于乘這個分?jǐn)?shù)的倒數(shù)”，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)，一個數(shù)除以分?jǐn)?shù)計(jì)算的就是這個數(shù)與這個分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位之間個數(shù)的關(guān)系，這既是本課算理的核心也是教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)，在深刻理解算理的基礎(chǔ)上通過圖式互聯(lián)感悟算法與算理的一致性。

三、度量視角，感悟運(yùn)算一致性

師：我們還可以這么看，比如2÷[12]，結(jié)合圖形觀察，如果以[12]為計(jì)數(shù)單位，要數(shù)幾次才能正好數(shù)到2？

生：4次，數(shù)2次到1，數(shù)到2要數(shù)（2×2）次，也就是4次。

生：所以2÷[12]=2×2=4。

師：2÷[13]、2÷[23]呢？

生：2÷[13]，如果以[13]為計(jì)數(shù)單位，要數(shù)6次才能正好數(shù)到2。數(shù)3次到1，數(shù)到2要數(shù)（2×3）次，也就是6次。2÷[13]=2×3=6。

生：2÷[23]，如果以[23]為計(jì)數(shù)單位，要數(shù)3次才能正好數(shù)到2。數(shù)1次是[23]，也就是2個[13]，數(shù)2次到[43]，也就是4個[13]，數(shù)3次是[63]，也就是6個[13]，也就是2。數(shù)到1時正好數(shù)了1.5次[23]，數(shù)到2時要數(shù)（2×1.5）次，也就是3次。所以2÷[23]=2×[32]=3。

生：一個數(shù)除以分?jǐn)?shù)，計(jì)算的還是這個數(shù)與分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位個數(shù)之間的關(guān)系。

師：一個數(shù)除以分?jǐn)?shù)，就相當(dāng)于以這個分?jǐn)?shù)為單位去計(jì)數(shù)；或者以這個分?jǐn)?shù)為單位，看這個數(shù)被平均分成了幾個分?jǐn)?shù)單位。無論是分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，還是整數(shù)除以分?jǐn)?shù)，其實(shí)計(jì)算時都是相同計(jì)數(shù)單位均分的過程，計(jì)算的道理是一致的。

【思考】對于整數(shù)除以分?jǐn)?shù)的問題，教師啟發(fā)學(xué)生在度量視角下以這個分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位作為計(jì)數(shù)單位去“數(shù)”這個整數(shù)，再次發(fā)現(xiàn)，一個數(shù)除以分?jǐn)?shù)計(jì)算的就是這個數(shù)與分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位個數(shù)之間的關(guān)系，體現(xiàn)了算法與算理的一致性。學(xué)生繼續(xù)體會“整數(shù)除以分?jǐn)?shù)”與“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”算法一致性——除以一個數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)，體會二者算理的一致性——計(jì)算時都是相同計(jì)數(shù)單位均分的過程，建立分?jǐn)?shù)除法的整體結(jié)構(gòu)，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這是本課的又一個教學(xué)難點(diǎn)。

四、總結(jié)算法，貫通認(rèn)識，鞏固應(yīng)用

師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，這節(jié)課我們又探究了除數(shù)是分?jǐn)?shù)的除法，請你總結(jié)一下分?jǐn)?shù)除法該怎樣計(jì)算？

生：不管除數(shù)、整數(shù)還是分?jǐn)?shù)，計(jì)算方法是一樣的，除以一個數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)，這個數(shù)不能是0。

（教師出示：5÷[16]，[34]÷[58]，[512]÷3）

師：算一算，并說一說進(jìn)行分?jǐn)?shù)除法計(jì)算時要注意什么。

（學(xué)生獨(dú)立計(jì)算，組內(nèi)交流具體是如何計(jì)算的，全班匯報(bào)）

（教師出示學(xué)生的計(jì)算結(jié)果，如圖4所示）

師：生1、生5是怎么計(jì)算的？

生：除以一個不為零的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。

師：生2的計(jì)算方法在提醒我們什么？

生：轉(zhuǎn)化成乘法后能約分的先約分，可以使計(jì)算簡便。

師：生3、生4的計(jì)算方法又在提醒我們注意什么？

生：生3是把被除數(shù)變成倒數(shù)了，除數(shù)卻沒變成倒數(shù)，不符合計(jì)算法則。

生：生4是把除數(shù)變成倒數(shù)的同時，把被除數(shù)也變成倒數(shù)了，計(jì)算方法不對。

生：分?jǐn)?shù)除法在轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘法時，要注意除數(shù)變成自己的倒數(shù)，計(jì)算過程中被除數(shù)是始終不變的。

師：看來，我們在明確了計(jì)算的道理之后，想要計(jì)算正確還是很不容易的，需要大家在計(jì)算過程中時刻注意正確運(yùn)用計(jì)算法則。

【思考】通過交流不同類型計(jì)算題的計(jì)算過程，辨別對錯，分析錯因，發(fā)展元認(rèn)知能力，總結(jié)算法，貫通對除法運(yùn)算算法的整體認(rèn)識——除以一個不為零的數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)，進(jìn)一步完善了認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)了運(yùn)算能力。

（作者單位：北京師范大學(xué)教育學(xué)部 北京市海淀區(qū)中關(guān)村第一小學(xué)教育集團(tuán)）

本文系教育部人文社會科學(xué)重點(diǎn)研究基地“十四五”重大項(xiàng)目“中國教育經(jīng)驗(yàn)的國際傳播研究”（項(xiàng)目編號：22JJD880007）的階段性研究成果。