指向關(guān)鍵能力的小學數(shù)學“綜合與實踐”主題的開發(fā)與實施

【教學內(nèi)容】

結(jié)合數(shù)學讀物《數(shù)學山海經(jīng)》，自主創(chuàng)編教學內(nèi)容。

【適用年級】

小學六年級。

【教學目標】

1.讓學生了解“六十甲子”的紀年規(guī)律，經(jīng)歷“干支紀年與公元紀年”的轉(zhuǎn)換過程，提高解決實際問題的能力。

2.通過綜合性的數(shù)學活動，增強學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題的意識，讓學生感受中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的獨特魅力。

【教學過程】

一、提出問題

1.出示香筒圖片（如圖1）。

這是老師老家的一只圓柱形香筒。用數(shù)學的眼光去看它，你們能提出哪些問題？

常規(guī)的問題：香筒的底面積、側(cè)面積是多少？容積是多少？非常規(guī)的或綜合性問題：距今有多少年？

2.目測一下：香筒的底面直徑約1分米，那么香筒的高大約是多少？（取整數(shù)4分米）請自主寫出計算香筒側(cè)面積、底面積、容積的相應(yīng)算式。

3.如果要知道這只香筒距今已有多少年了，我們可以從哪里獲得一些相關(guān)信息呢？（引導學生聚焦香筒的“落款”——時在丙辰夏月書于……）

【設(shè)計意圖】引導學生從日常生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題，意在培養(yǎng)學生用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，增強學生在與生活的對接過程中靈活運用數(shù)學知識的能力。

二、感知規(guī)律

1.香筒上“丙辰”二字，確實能反映題畫的時間。只是與我們熟悉的公元紀年不同的是，它采用的是干支紀年的方法。那究竟什么是干支紀年，我們通過一段文字來了解一下。

2.出示文字材料：所謂干支紀年，是由10個天干和12個地支依照順序組合而成的。10個天干，就是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，每個天干符號都與五行（金、木、水、火、土）的陰陽屬性相對應(yīng)，代表著不同的自然現(xiàn)象和生命過程。例如，甲代表草木破土而出，乙代表草木生長發(fā)芽，丙代表炎熱太陽照耀萬物，丁代表草木繼續(xù)生長，戊代表草木枝繁葉茂，己代表萬物仰屈而起，庚代表萬物更新，辛代表萬物一新，壬代表萬物被養(yǎng)育，癸代表萬物萌芽。

12個地支是子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥，十二地支與十二個月相配，通過對月相的變化與氣候及大地萬物興衰消長相對應(yīng)的關(guān)系，來揭示事物的發(fā)展變化規(guī)律；十二地支也與十二生肖有關(guān)。天干和地支相互搭配而成的結(jié)果就是甲子、乙丑、丙寅、丁卯……直到壬戌、癸亥，通稱“六十甲子”。

3.關(guān)于這段文字，你們還有什么疑問嗎？

補充說明：搭配時，奇數(shù)天干只能和奇數(shù)地支相結(jié)合，偶數(shù)天干只能和偶數(shù)地支相結(jié)合。

【設(shè)計意圖】教師引導學生對相關(guān)文字介紹提出疑問，培養(yǎng)學生的審辯式思維。學生經(jīng)過冷靜思考，發(fā)現(xiàn)其中的問題：10個天干和12個地支搭配，共有120種不同的情況，從而產(chǎn)生進一步了解相關(guān)搭配規(guī)則的需求。

4.追問：為什么是“六十甲子”呢？

學生結(jié)合自己的理解，嘗試用不同的方法來說明。如天干每10個一循環(huán)，地支每12個一循環(huán)。10和12的最小公倍數(shù)是60，所以每過60年就要重復循環(huán)一次；1個天干可以和6個地支搭配，10個天干就有60種不同的搭配；1個地支可以和5個天干搭配，12個地支就有60種不同的搭配；5個奇數(shù)天干和6個奇數(shù)地支有30種不同的搭配，5個偶數(shù)天干和6個偶數(shù)地支也有30種不同的搭配，合起來就是60種搭配……

5.同桌合作列舉。剛才有一些同學用比較抽象的方法（乘法原理）解釋了為什么是“六十甲子”，其實列舉是一種最基本的方法，非常直觀，又蘊含著規(guī)律。下面請同桌合作，在練習紙上列舉出天干地支搭配的情況。

6.展示“六十甲子”列表。如果給它們編上順序號，甲子為1，乙丑為2……壬戌為59，癸亥為60。

【設(shè)計意圖】“干支紀年”是中國古代的一種紀年歷法，雖然時代距今比較遠，但其背后蘊含的天象規(guī)律及編排特點等，卻是學生能夠意會并理解的?！敖Y(jié)合自己已有的知識和經(jīng)驗，來說明為什么是‘六十甲子’”“嘗試用列舉的策略獨立‘創(chuàng)造’出‘六十甲子’表”……這些開放性問題的成功解決，是學生數(shù)學素養(yǎng)的最好體現(xiàn)。

三、學會轉(zhuǎn)化

1.從這張“六十甲子”順序表中（見表1）不難發(fā)現(xiàn)，一些我們比較熟悉的干支紀年，如“甲午”（聯(lián)想到“甲午戰(zhàn)爭”）、“戊戌”（想到“戊戌變法”）、“己亥”（想到龔自珍的《己亥雜詩》）、“庚子”（想到“庚子賠款”）、“辛丑”（想到“辛丑條約”）、“辛亥”（想到“辛亥革命”）……當然還有那只香筒的題畫年份“丙辰”。

2.猜想：如果“庚子賠款”與“辛丑條約”簽訂的年份相差1年，那么《己亥雜詩》創(chuàng)作的年份是不是就一定比“戊戌變法”晚1年呢？看來，要知道具體的答案，還得知道干支紀年與公元紀年究竟如何轉(zhuǎn)化。

3.嘗試：如果知道“甲子”對應(yīng)的公元年份是1年，那么“乙丑”對應(yīng)的公元年份是哪一年？（公元2年）還可能是哪一年？（公元62年、公元122年等）。能只用一個式子來表示嗎？（60n+2）“甲午”對應(yīng)的公元年份就可以怎樣表示？

而實際情況是怎樣的呢？據(jù)查，公元后第一個“甲子”年是公元4年，與我們剛才的假設(shè)恰好相差了幾年？（相差3年）因而與“乙丑”對應(yīng)的公元年份是哪一年？（60n+2+3）與“甲午”對應(yīng)的公元年份是哪一年？（60n+31+3）“辛亥”對應(yīng)的公元年份是哪一年？（60n+48+3）那么，誰能用一句話概括一下？（任何一個干支紀年，它對應(yīng)的公元年份都可以用“60n+順序號+3”來表示。）

現(xiàn)在，我們一起來試一下，“甲午戰(zhàn)爭”發(fā)生于公元哪一年？由于“甲午戰(zhàn)爭”發(fā)生于19世紀末，因此，“甲午戰(zhàn)爭”應(yīng)發(fā)生于1894年。再來推算一下，“辛亥革命”發(fā)生于哪一年？（1911年）

【設(shè)計意圖】在研究干支紀年轉(zhuǎn)化為公元年份時，如果讓學生直接根據(jù)“公元后的第一個‘甲子’年是公元4年”這一線索來進行推算，學生可能會覺得比較困難。針對這一學情，在教學時，教師可以先為學生搭建一個腳手架，即假設(shè)公元后第一個“甲子”年正好是公元1年，那么學生在此前提下順勢推理，就能很快發(fā)現(xiàn)：任何一個干支紀年對應(yīng)的公元年份就是“60n+順序號”。學生由于有了經(jīng)驗，也就更易于應(yīng)對，并快速做出調(diào)整了。

4.通過剛才的學習，大家能推算出老師老家的這只香筒距今已有多少年了嗎？請各自算算看。誰來匯報一下？（如果是19世紀的，有1種可能：1856年。如果是20世紀的，有2種可能：1916年和1976年。）據(jù)我了解，這只香筒是從我曾祖父那里傳下來的，因此最有可能的年份是哪一年？（1916年）那這只香筒距今差不多有“2024-1916＝108”年。

5.我們知道了怎樣把干支紀年轉(zhuǎn)化成公元年份，那么又怎樣把一個公元年份轉(zhuǎn)換成干支紀年呢？以“2024年”為例，它對應(yīng)的干支紀年是什么呢？你們有自己的想法了嗎？（其實，只要用公元年份減去3，就能得出干支的順序數(shù)了。）

6.組織交流。用2024減去3等于2021，再用2021除以60得出余數(shù)是41。對照“六十甲子”順序表，應(yīng)該是“甲辰”年，是農(nóng)歷龍年。或者用2021除以10，余1，得出天干是“甲”；再用2021除以12，余5，得出地支是“辰”，合起來就是“甲辰”年。到下一個龍年“丙辰”年，是2036年，那時候同學們差不多都大學畢業(yè)了；再到下一個“甲辰”年，就是60年后，也就是2084年了。

【設(shè)計意圖】在研究干支紀年轉(zhuǎn)化成公元紀年時，采用“先扶后放”的方式；而在研究公元年份轉(zhuǎn)化為干支紀年時，則遵循扶放有度的原則，放手讓學生自主探索。這恰是教師在單元整合視角下需要提前思考的，也是確保核心素養(yǎng)落地的教學設(shè)計需要特別關(guān)注的。

四、總結(jié)拓展

1.通過今天的學習，同學們有些什么樣的收獲？課后，請大家再找一些以“干支紀年”來命名的歷史事件，算一算它們對應(yīng)的公元年份是什么，了解一下這些事件發(fā)生的背景是怎樣的，對我們國家又產(chǎn)生了哪些影響。

2.“干支紀年”是中國傳統(tǒng)紀年歷法，是中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化之一，其中蘊含的古人智慧非常豐富，感興趣的同學課后可以進一步了解它，研究它。

【設(shè)計意圖】教師引導學生關(guān)注用“干支紀年”命名的歷史事件，了解其發(fā)生的背景以及所產(chǎn)生的影響，這樣的跨學科學習，有助于課程協(xié)同育人功能的實現(xiàn)。

【教學思考】

一、這是一節(jié)自主開發(fā)的數(shù)學綜合與實踐課

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出，不同學段的主題活動和項目學習內(nèi)容，可以依據(jù)本學段數(shù)學知識的內(nèi)涵、在生活中的應(yīng)用，以及與其他學科知識的關(guān)聯(lián)，自主設(shè)計形式多樣、富有趣味的活動。這也提醒教師應(yīng)把自己作為課程資源的主動開發(fā)者，針對學生的認知規(guī)律和生活經(jīng)驗，結(jié)合中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，以及與學生相關(guān)的生活內(nèi)容，設(shè)計出具有綜合性和實踐性的主題活動或項目化學習內(nèi)容。“這只香筒距今多少年？”這個與生活相關(guān)的問題，不僅能激發(fā)學生的探究熱情，促使學生深入了解古代歷法，感受古人的智慧，還能溝通古代與現(xiàn)代，讓學生體會學以致用的價值。

二、這是一節(jié)以史鑒今的數(shù)學思政課

盡管相較于社會科學，自然科學學科進行德育的途徑較少，但它依然可以作為德育的載體。張奠宙先生就曾以數(shù)學學科為例，嘗試構(gòu)建涵蓋一個基點（熱愛數(shù)學）、三個維度（人文精神、科學素養(yǎng)、道德品質(zhì)）和六個層次的數(shù)學學科德育的框架。“走進干支紀年”這一課例正是基于第一層次（數(shù)學本身的文化內(nèi)涵，以優(yōu)秀的數(shù)學文化感染學生）設(shè)計而成的，學生通過學習不僅進一步了解了干支紀年與萬物生長、天象變化的規(guī)律有內(nèi)在關(guān)聯(lián)，還感受到蘊含其中的數(shù)學特有的循環(huán)排列規(guī)律；通過探秘以干支紀年命名的歷史事件（如辛丑條約、甲午戰(zhàn)爭等）所發(fā)生的年代，不僅提高了學生解決實際問題的能力，還增強了學生不忘國恥、立志報國的自覺意識。在這節(jié)課中，數(shù)學與德育的內(nèi)在整合不是教師告知或明示的，而是學生自行體會或發(fā)現(xiàn)的。

三、這是一節(jié)指向關(guān)鍵能力的數(shù)學實踐課

在“走進干支紀年”這節(jié)課中，有這樣幾個環(huán)節(jié)：一是用數(shù)學眼光觀察“老師家中的香筒”，學生自主提出香筒的底面積、側(cè)面積、容積分別是多少，以及香筒距今多少年等數(shù)學問題，學生的好奇心、探究欲得以有效激發(fā)。二是用數(shù)學思維闡釋為什么是“六十甲子”，學生通過質(zhì)疑、推理、分析、演算、列舉等思維活動，揭示出干支紀年的排列規(guī)律。在活動中，學生求真索理的科學態(tài)度和理性精神得到了培養(yǎng)。三是用數(shù)學語言表述干支紀年與公元年份的轉(zhuǎn)化方法，通過舉例、假設(shè)、調(diào)整、建模等方式，學生自主發(fā)現(xiàn)了兩種紀年相互轉(zhuǎn)化的方法，強化了學生用數(shù)學語言表達與交流的意識。而這些也正好是數(shù)學核心素養(yǎng)的“三會”維度，需要教師通過整體性設(shè)計、自主性開發(fā)以及創(chuàng)造性實施得以更好落地。

（作者單位：江蘇省南通市通州區(qū)教師發(fā)展中心）