核心素養(yǎng)下中考的相似三角形考點(diǎn)類型分析及教學(xué)思考

【摘要】本文以近年安徽省中考中相似三角形的考點(diǎn)為例，從結(jié)構(gòu)分析，研究意義和教學(xué)思考三個方面進(jìn)行解讀，提出幾何教學(xué)要注重對學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)，要關(guān)注思維的合理性，注重解題的通性通法.

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng)；幾何直觀；解題技巧

“相似形”是滬科版數(shù)學(xué)教材九年級上冊第22章的教學(xué)內(nèi)容，涉及大量的知識點(diǎn)，是對三角形全等知識的延伸.相似在圖形變化中是最常見的類型之一，更是度量長度的常用方法之一，也是為以后銳角三角函數(shù)和投影的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).在中考中，除了對相似三角形基礎(chǔ)知識點(diǎn)的常規(guī)考查，還會衍生出動點(diǎn)問題，更有結(jié)合二次函數(shù)、三角函數(shù)等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用考查，是中考的重難點(diǎn).故而，要基于學(xué)生學(xué)情讓學(xué)生在教學(xué)過程中注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透，發(fā)展學(xué)生的思維能力，了解題目的通性和解題的通法，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1" 中考相似三角形結(jié)構(gòu)分析

通過對比近幾年中考中相似三角形的應(yīng)用，現(xiàn)列舉幾個具有代表性的題目進(jìn)行分析．

例1" （2024年中考第22題）如圖1，ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別在邊AD，BC上，且AM=CN，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BD與AN，CM的交點(diǎn).

圖1

圖2

（1）求證：OE=OF.

（2）連接BM交AC于點(diǎn)H，連接HE，HF.

①如圖2，若HE∥AB，求證：HF∥AD.

②如圖3，若ABCD為菱形，且MD=2AM，∠EHF=60°，求ACBD的值.

圖3

解析" 本題第（2）-①問可用圖4中的“平行A字型相似”模型，得到△OHF∽△OAD.

本題第（2）-②問可用圖5和圖6中的兩個“平行8字相似”模型，得到△AHM∽△CHB，△BEN∽△DEA，利用相似三角形的性質(zhì)求解.

圖4

圖5

圖6

圖7

例2" （2023年中考第22題）在 Rt△ABC中，點(diǎn)M是斜邊 AB 的中點(diǎn)，將線段 MA繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)至 MD 位置，點(diǎn)D在直線AB 外，連接AD，BD.

（1）如圖7，求∠ADB 的大小.

（2）如圖8，已知點(diǎn)D和邊AC上的點(diǎn)E滿足ME⊥AD，DE∥AB.

①如圖9，連接CD，求證：BD=CD.

②如圖10，連接BE，若AC=8，BC=6，求 tan∠ABE的值.

圖8

圖9

圖10

解析" 本題第（2）-②問應(yīng)用的是圖10中的“反A型相似”模型.過點(diǎn)E作EG⊥AB交AB于點(diǎn)G，將∠ABE放入直角三角形中，利用△AGE∽△ACB，得到相似比求出線段長度.

例3" （2021年中考第23題）如圖11，在四邊形 ABCD中，∠ABC=∠BCD，點(diǎn)E在邊BC上，且 AE∥CD，DE∥ AB，作 CF∥AD 交線段AE于點(diǎn)F，連接 BF.

圖12

圖13

（1）求證：△ABF≌△EAD；

（2）如圖12，若AB=9，CD=5，∠ECF=∠AED，求BE的長；

（3）如圖13，若 BF 的延長線經(jīng)過 AD 的中點(diǎn) M，求BEEC的值.

解析" 本題是底邊共線的雙等腰三角形模型.

第（2）問分析數(shù)據(jù)后，已知線段集中于△ABE，求其中某條線段長度，符合圖14“母子相似”模型.

第（3）問中，因?yàn)椤鰽BE∽△DEC，所以求BEEC即求ABDEABDC.

圖15

圖17

方法1" 構(gòu)造中位線得平行，由圖15中的“平行8字相似”模型求解.因?yàn)锳B∥DE∥MN，所以△ABF∽△NMF.

方法2" 中線倍長構(gòu)造全等三角形（△ABM≌△DGM），由圖16和圖17中的“平行8字相似”模型求解.因?yàn)锳B∥DE，所以△ABF∽△EGF.

方法3" 不轉(zhuǎn)換比例，亦可直接求解.延長CD、BM相交于點(diǎn)N （△AFM ≌△DNM），構(gòu)造圖18的“平行A字相似”模型.因?yàn)锳E∥DC，所以△BEF∽△BCN.

方法4" 取EC的中點(diǎn)N，連接MN，則AE∥DC∥MN，構(gòu)造圖19的“平行A字相似”模型.因?yàn)锳E∥MN，所以△BEF∽△BNM.

圖19

方法5" 本題構(gòu)圖中還隱藏了圖20的“母子相似”模型.由△ABF≌△EAD，知∠ABF=∠EAD，因?yàn)椤螦MB=∠FMA，所以△ABM∽△FAM.

圖20

2" 研究意義

中考作為地區(qū)評估初中階段學(xué)生學(xué)業(yè)成果的有效手段，其考核內(nèi)容反映了地區(qū)課程實(shí)施的成果，且對一線教師的日常教學(xué)工作具有極其重要的指導(dǎo)意義.通過以上中考題的分析，可得到相似形常規(guī)的解題思路：通過已知條件及圖形相對位置關(guān)系，由平行、構(gòu)造平行得出線段之間的比例關(guān)系以及找到相等角，得到相似.因解法難度較大，需要較高思維水平.在日常教學(xué)中，如何培養(yǎng)學(xué)生解決問題的策略是教師們需要考慮的重要內(nèi)容.

3" 教學(xué)思考

3.1" 關(guān)注基本圖形結(jié)構(gòu)，注重幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出了“幾何直觀”，一種通過圖形直觀解決問題的重要思想和有效方法.在教學(xué)中要重視培養(yǎng)“幾何直觀”素養(yǎng).（1）學(xué)會拆解圖形結(jié)構(gòu).從復(fù)雜的幾何圖形中拆解出基本圖形結(jié)構(gòu)，根據(jù)基本圖形結(jié)構(gòu)的概念和性質(zhì)去求解.因此，通過對基本圖形結(jié)構(gòu)的歸納總結(jié)，解題后的及時總結(jié)和反思，培養(yǎng)在復(fù)雜幾何圖形中一眼看出基本圖形結(jié)構(gòu)的能力，方可在解題時快速搭建思維橋梁.（2）掌握圖形變換.平移、旋轉(zhuǎn)、對稱以及相似是初中數(shù)學(xué)涉及的幾種主要的圖形變換.通過這些變換，讓圖形的性質(zhì)、特點(diǎn)更加直觀，揭示圖形的本質(zhì)，提升幾何直觀素養(yǎng).

3.2" 注重思維的合理性、邏輯性和解題的通性通法

習(xí)題課作為教學(xué)重點(diǎn)，教師往往缺少對數(shù)學(xué)原理的挖掘與對學(xué)生的反思指導(dǎo)，解題過程更應(yīng)關(guān)注解題思路的形成路徑.因此，如何引導(dǎo)學(xué)生從基本性質(zhì)和概念出發(fā)，通過基本研究路徑去思考和解決問題是習(xí)題課教學(xué)的重中之重.在課堂中應(yīng)注重“一題一課”“一課一題”，向?qū)W生慢慢滲透題型來源，以求達(dá)到“解一題、會一類、通一片”的解題目標(biāo)，獲得解題的通性通法.

3.3" 可視化技術(shù)輔助教學(xué)，促進(jìn)與數(shù)學(xué)課程融合

隨著信息技術(shù)的不斷發(fā)展和廣泛應(yīng)用，加強(qiáng)信息技術(shù)與學(xué)科的融合是信息時代教育工作的重要探究方向.可視化技術(shù)的使用可以為數(shù)學(xué)教學(xué)和實(shí)踐提供更多的可能性，讓數(shù)學(xué)課程更加生動，提升學(xué)生的探究熱情，激發(fā)學(xué)生的想象力.

3.4" 心懷課標(biāo)，尊重教材，關(guān)注學(xué)生

中考試題全面考查學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成情況，這就要求一線教師在教學(xué)中要時刻心懷課標(biāo)，悟透課標(biāo)精神，吃透教材內(nèi)容，多角度、多方位提升教學(xué)水平和研究能力.研究學(xué)生思維特點(diǎn)，做好學(xué)生學(xué)情分析，讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地生根.

4" 結(jié)語

通過對中考題的深入探究，做課程教學(xué)的開發(fā)者.我區(qū)數(shù)學(xué)教研氛圍濃厚，教研效果顯著，在區(qū)教研員瞿中平老師和馬鳳才老師的帶領(lǐng)下，我區(qū)教師踐行中考試題的深度研究，積極探究區(qū)域性數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，成長迅速、收獲豐富.

參考文獻(xiàn)：

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［3］章建躍.注重通性通法才是好數(shù)學(xué)教學(xué)［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2011（11）：50.