三角形角平分線定理拓展及其應(yīng)用

【摘要】在近年中高考試題中，對(duì)三角形角平分線定理相關(guān)知識(shí)的考查頻繁出現(xiàn).它既可以作為單獨(dú)的題目加以考查，也可以結(jié)合其他的幾何知識(shí)進(jìn)行命題.本文詳細(xì)介紹三角形內(nèi)外角的角平分線定理及其逆定理，并對(duì)其進(jìn)行拓展，最后介紹三角形角平分線定理在一些經(jīng)典問(wèn)題中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】三角形；角平分線定理；解題方法

線段與角是構(gòu)成幾何圖形的最基本的元素，線段的長(zhǎng)度與角的大小是線段與角所具有的最基本的性質(zhì)，也是歐式幾何中最基礎(chǔ)的研究對(duì)象.凡是在線段長(zhǎng)度與角度之間建立的數(shù)學(xué)關(guān)系都有著特別的意義，例如勾股定理，而角平分線定理是另一個(gè)較為重要的能在線段長(zhǎng)度與角的大小之間建立聯(lián)系的數(shù)學(xué)定理.三角形角平分線問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)重要內(nèi)容，初、高中考查角平分線知識(shí)及性質(zhì)的命題有相當(dāng)多是放在三角形中的，其中對(duì)三角形中角平分線性質(zhì)的考查是重中之重.本文介紹三角形內(nèi)外角的角平分線定理及其逆定理，并對(duì)其拓展到任意分角，最后介紹三角形角平分線定理在一些經(jīng)典問(wèn)題中的有趣應(yīng)用，以幫助學(xué)生明晰思路，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)思維能力.

1" 三角形角平分線的一組性質(zhì)

定理1（角平分線定理）" 在△ABC中，角平分線AD交對(duì)邊BC于點(diǎn)D，那ABAC=BDCD.

這個(gè)定理反映了三角形中角平分線所分線段之間的比例與另兩條邊長(zhǎng)度之比之間的關(guān)系，這個(gè)定理證明方法很多，其中比較直觀的是利用角平分線所分的兩個(gè)三角形面積之比來(lái)進(jìn)行證明.

圖1

圖2

證明" 如圖1所示，作△ABC的高AG，所以角平分線所分的兩個(gè)三角形△ABD與△ACD面積之比為：S△ABDS△ACD=12·BD·AG12·CD·AG=BDCD.

過(guò)點(diǎn)D作邊AB與AC的垂線，分別交AB與AC于點(diǎn)E、F，根據(jù)角平分線性質(zhì)，DE=DF，故△ABD與△ACD面積之比又可以表示為：S△ABDS△ACD=12·AB·DE12·AC·DF=ABAC.

綜上，可知ABAC=BDCD.

反之，若已知對(duì)應(yīng)線段長(zhǎng)度之比相等，可以得到三角形的角平分線，同樣可以利用兩個(gè)三角形面積之比來(lái)證明.

定理1（角平分線定理逆定理）" 在△ABC中，線AD交對(duì)邊BC于點(diǎn)D，如果ABAC=BDCD，那么AD為∠A的角平分線.

三角形的外角平分線具有同樣的性質(zhì)，并且其逆定理也成立.

定理2（外角平分線定理）" 在△ABC中，外角平分線AD交對(duì)邊BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，那么ABAC=BDCD.

定理2（外角平分線定理逆定理）" 如圖2，在△ABC中，線AD交對(duì)邊BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，如果ABAC=BDCD，那么AD為∠A外角的角平分線.

2" 應(yīng)用舉例

綜上所述，三角形內(nèi)外角平分線具有分對(duì)邊所得的兩條線段和另兩邊對(duì)應(yīng)成比例的性質(zhì)，反之，其逆定理可以作為通過(guò)線段比例關(guān)系來(lái)證明角相等的依據(jù).所以，三角形內(nèi)外角的角平分線定理在平面幾何中有著廣泛且重要的作用，它可以幫助我們解決很多有意思的問(wèn)題，這里我們舉三個(gè)有代表性的例子.

例1" 證明：三角形三條角平分線共點(diǎn).

證明" 如圖3所示，不妨設(shè)角平分線AD與BE交于點(diǎn)O，連接CO并延長(zhǎng)，交AB邊與點(diǎn)F.

因?yàn)锽E是△ABC的角平分線，所以由定理1可知ABAE=CBCE.

又因?yàn)锳O是△ABE的角平分線，所以由定理1可知ABAE=BOEO.

綜上，可得CBCE=BOEO.

由定理1，可得CO為△CBE的角平分線，故結(jié)論成立.

圖3

例2" （角平分線長(zhǎng)定理）在△ABC中，角平分線AD交對(duì)邊BC于點(diǎn)D，證明：AD2=AB·AC－BD·CD.

圖5

證明" 如圖4所示，不妨設(shè)∠ADB=θ，在△ABD中利用余弦定理，有AB2=AD2+BD2－2AD·BD·cosθ①.

在△ACD中利用余弦定理，并且∠ADC=180°－θ，

有AC2=AD2+CD2+2AD·CD·cosθ②.

①式兩邊乘CD再加上②式兩邊乘BD，

可得AB2·CD+AC2·BD=AD2·BD+AD2·CD+BD2·CD+CD2·BD③.

由定理1，可知AB·CD=AC·BD，

③式整理可得AB·AC·（BD+CD）=（AD2+BD·CD）·（BD+CD）.

兩邊同除以BD+CD，再整理，可得到結(jié)論：AD2=AB·AC－BD·CD.

例3" （阿波羅尼斯圓）設(shè)A，B是平面上兩個(gè)不同的點(diǎn)，點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離之比為常數(shù)q，即PAPB=q，qgt;0，且q≠1，證明點(diǎn)P的軌跡為一個(gè)圓.

阿波羅尼斯（Apollonius，約公元前262—公元前190年）是古希臘偉大的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷時(shí)期三大數(shù)學(xué)家.阿波羅尼斯圓是關(guān)于如何利用兩點(diǎn)構(gòu)造曲線問(wèn)題，這里的曲線是圓.在中學(xué)階段，學(xué)生還會(huì)學(xué)習(xí)利用兩點(diǎn)構(gòu)造橢圓、雙曲線等曲線.與一般的構(gòu)造圓的方法（到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)）不同，阿波羅尼斯的方法是到兩點(diǎn)的距離之比等于定值.

下面嘗試找到這個(gè)圓，以及它的圓心和半徑，并證明它.

假設(shè)這個(gè)圓存在，先嘗試找到這個(gè)圓.首先可以判斷這個(gè)圖形是關(guān)于直線AB對(duì)稱的.其次，可以在線段AB上可以找到兩個(gè)點(diǎn)，一個(gè)在線段AB中，一個(gè)在線段AB延長(zhǎng)線上，不妨設(shè)為C，D，這兩點(diǎn)到A、B的距離比值等于q，即CACB=q，DADB=q.以CD為直徑作圓O，因?yàn)檫@個(gè)曲線過(guò)C，D兩點(diǎn)，并且關(guān)于直線AB對(duì)稱，所以可以猜測(cè)圓O就是滿足條件的曲線.

證明" 如圖5所示，取直線AB上兩點(diǎn)C，D，點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)D在線段AB延長(zhǎng)線上，使得這兩點(diǎn)到A，B的距離比值等于q，qgt;0且q≠1，即CACB=DADB=q，假設(shè)P點(diǎn)是除C，D點(diǎn)外的，滿足條件的點(diǎn)，所以有PAPB=q=CACB=DADB.

由定理1′和定理2′，可得PC為△PAB的角平分線，PD為△PAB的外角平分線，所以∠CPD=90°.

所以對(duì)任意的滿足條件的點(diǎn)P，都有△PCD為直角三角形，所以點(diǎn)P的軌跡為一個(gè)圓，且圓心為CD的中點(diǎn)，半徑為12CD.

參考文獻(xiàn)：

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