S 型柔性結(jié)構(gòu)的柔度建模與驗(yàn)證分析

摘要：【目的】現(xiàn)有文獻(xiàn)對柔性鉸鏈的分析大多基于Euler-Bernoulli 梁模型，忽略了剪切撓度的影響。為進(jìn)行更精確的柔度計(jì)算，基于Timshenko 梁模型和旋量變換理論，針對由直梁柔性單元組成的一般柔性機(jī)構(gòu)建立了其柔度分析模型。【方法】以S 型柔性結(jié)構(gòu)為例進(jìn)行柔度分析，研究了柔性結(jié)構(gòu)的尺寸參數(shù)對柔度的影響；然后，利用有限元分析和實(shí)驗(yàn)測試平臺對樣件的平動柔度進(jìn)行了測量?！窘Y(jié)果】結(jié)果表明，解析值、仿真值和實(shí)驗(yàn)測量數(shù)據(jù)的符合性較好，最大相對誤差為7. 16%。以Timshenko 梁模型和旋量變換理論為設(shè)計(jì)依據(jù)，設(shè)計(jì)者可根據(jù)柔性結(jié)構(gòu)的柔度等要求確定幾何參數(shù)。該柔性結(jié)構(gòu)的研究對其他鉸鏈的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供了新思路。

關(guān)鍵詞：柔性機(jī)構(gòu)；Timshenko 梁；旋量變換；柔度矩陣

中圖分類號：TH703 DOI：10. 16578/j. issn. 1004. 2539. 2025. 02. 017

0 引言

與剛性機(jī)構(gòu)不同，柔性機(jī)構(gòu)是指利用材料的彈性變形傳遞或轉(zhuǎn)換運(yùn)動、力或能量的機(jī)構(gòu)[1-2]。和傳統(tǒng)剛性機(jī)構(gòu)相比，柔性機(jī)構(gòu)具有可整體設(shè)計(jì)加工、結(jié)構(gòu)緊湊、免裝配、無需潤滑、零摩擦、運(yùn)動平穩(wěn)等優(yōu)點(diǎn)[3]。隨著機(jī)械裝置向著更精密的方向發(fā)展，柔性鉸鏈和柔性機(jī)構(gòu)正被越來越多地應(yīng)用于機(jī)器人、精密光學(xué)儀器、航空航天器等領(lǐng)域[4-5]。

梁是最基本的柔性單元。以梁為基礎(chǔ)，衍生出的柔性單元包括缺口型柔性單元、簧片型柔性單元、細(xì)桿型柔性單元等，這些單元又組合形成各種柔性機(jī)構(gòu)[6-7]。國內(nèi)外學(xué)者對柔性單元和柔性機(jī)構(gòu)作了大量研究工作，并取得了一系列成果。LOBONTIU等[8]建立了圓形、橢圓形、拋物線和雙曲線4種類型柔性鉸鏈的柔度方程。董飛等[9]以Euler-Bernoulli梁模型為基礎(chǔ)，對變厚度柔性鉸鏈進(jìn)行了深入研究，分析了鉸鏈結(jié)構(gòu)參數(shù)和柔鉸轉(zhuǎn)動性能之間的關(guān)系。吳昊等[10]設(shè)計(jì)了交叉簧片柔性鉸鏈并推導(dǎo)出柔度計(jì)算公式。楊淼等[11]基于Euler-Bernoulli梁模型建立變截面交叉簧片柔性鉸鏈的力學(xué)模型，分析了截面系數(shù)與鉸鏈轉(zhuǎn)動性能之間的關(guān)系。來自血紅細(xì)胞的靈感，LING等[12]設(shè)計(jì)了具有可調(diào)節(jié)曲率的新型仿生凹口彎曲鉸鏈；基于Castigliano第二定理和Euler-Bernoulli梁模型，推導(dǎo)了仿生柔性鉸鏈的柔度和最大應(yīng)力方程。王曉迪等[13]針對大口徑透鏡提出了一種新型混合柔性支撐結(jié)構(gòu)，利用卡氏第二定理對各柔性鉸鏈進(jìn)行分析，建立了支撐組件柔度模型 。劉小涵等[14]根據(jù)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)了圓弧懸臂梁式柔性鉸鏈結(jié)構(gòu)，分析了重力工況下和溫度載荷工況下柔性支撐各參數(shù)對空間反射鏡面形精度的影響。LIN等[15]提出了一種新型的三角形雙軸柔性鉸鏈，基于Euler-Bernoulli梁模型建立力學(xué)模型，分析了鉸鏈尺寸參數(shù)和旋轉(zhuǎn)剛度間的關(guān)系。

綜上可知，目前對柔性鉸鏈的分析大多基于Euler-Bernoulli梁模型，該模型忽略剪切撓度影響，建模計(jì)算較簡便；但當(dāng)柔性鉸鏈的長度l 和厚度t 比值較小，即l/tlt;5時(shí)，誤差顯著增大。為進(jìn)行更精確的柔度分析，本文以考慮剪切變形的Timoshenko梁模型為基礎(chǔ)，結(jié)合旋量變換理論[16]，建立了一般柔性機(jī)構(gòu)的柔度模型，并以實(shí)例分析了柔性結(jié)構(gòu)關(guān)鍵尺寸參數(shù)對柔度的影響。通過有限元仿真與實(shí)物實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了該柔度建模方法的準(zhǔn)確性。

1 柔度建模理論

柔性結(jié)構(gòu)一般由多個(gè)柔性單元串、并聯(lián)組成，其柔度由組成單元的柔度和連接關(guān)系決定。為求其柔度矩陣，通常需先求柔性單元在各自局部坐標(biāo)系下的柔度矩陣，再將局部柔度矩陣轉(zhuǎn)化至全局坐標(biāo)系下，而后根據(jù)單元的連接關(guān)系，即可求解出柔性結(jié)構(gòu)的柔度 [17]。

1. 1 柔性單元的柔度

1. 1. 1 局部坐標(biāo)系下的柔度

2. 2 柔性結(jié)構(gòu)的柔度

為推導(dǎo)柔性結(jié)構(gòu)的柔度CO，需先求S1、S2、S3在各自局部坐標(biāo)系x1 y1 z1、xS2 yS2 zS2、xS3 yS3 zS3 下的柔度矩陣CSj（1≤j≤3）。而后根據(jù)S型柔鉸的連接關(guān)系和旋量變換理論，求得CO。柔性結(jié)構(gòu)和S型柔鉸的坐標(biāo)系選取如圖7所示。

表2所示為S1、S2、S3的局部坐標(biāo)系相對于全局坐標(biāo)系xyz 的位置關(guān)系。

柔性結(jié)構(gòu)由3 個(gè)S 型柔鉸S1、S2、S3 并聯(lián)而成，故由式（4）可得其柔度矩陣CO表達(dá)式為

式中，Tj、Adj 分別為S 型柔鉸Sj （1≤j≤3）的平移矩陣和坐標(biāo)變換伴隨矩陣；CSj 為柔鉸Sj在各自坐標(biāo)系下的柔度矩陣。

3 實(shí)例結(jié)構(gòu)的性能分析

為更好地設(shè)計(jì)出滿足要求的柔性結(jié)構(gòu)，需明確柔性結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)和柔度間的關(guān)系。實(shí)例柔性結(jié)構(gòu)的柔度主要源于S型柔鉸，其形狀由7個(gè)尺寸參數(shù)控制，即l1、l2、l3、l4、l5、b、t。固定其中6個(gè)參數(shù)，在一定范圍內(nèi)改變另一個(gè)參數(shù)，利用理論模型求出不同參數(shù)下柔度的大小，就可以得到某一參數(shù)對柔度的影響。

圖8～圖14 展示了柔度CZ-Fz 隨l1、l2、l3、l4、l5、b、t 的變化關(guān)系。當(dāng)一個(gè)參數(shù)變化時(shí)，其他參數(shù)保持不變并等于：l1=7 mm、l2=3 mm、l3=7 mm、l4=7 mm、l5=7 mm、b=50 mm、t=3 mm。CZ-Fz隨l1、l2、l3、l4、l5的增大而增大，隨b、t 增大而減小。柔度值CX-Fx、CY-Fy也顯示了類似的變化趨勢。

4 實(shí)物驗(yàn)證與分析

4. 1 有限元分析

為驗(yàn)證以Timshenko 梁模型和旋量變換理論進(jìn)行柔度建模的準(zhǔn)確性更高，本文進(jìn)行了有限元仿真驗(yàn)證。計(jì)算與分析均選用LY12材料，材料參數(shù)E=68 GPa，μ=0. 33。如表3所示，柔性結(jié)構(gòu)取3組不同尺寸參數(shù)。

將表3中各組結(jié)構(gòu)參數(shù)分別代入柔度理論模型，可得計(jì)算結(jié)果。通過有限元軟件進(jìn)行力學(xué)分析，其中，F(xiàn)x=Fy=Fz=1 N。圖15 所示為第一組尺寸參數(shù)的有限元模型。

表4所示為3組不同尺寸參數(shù)柔性結(jié)構(gòu)的柔度解析解與有限元分析結(jié)果對比。以Timshenko梁模型和旋量變換理論為基礎(chǔ)計(jì)算的柔度值與仿真結(jié)果相對誤差最大為6. 31%；以 Euler-Bernoulli梁模型為基礎(chǔ)求解的相對誤差最大為14. 45%。由此驗(yàn)證了以Tim?shenko梁模型和旋量變換理論為基礎(chǔ)進(jìn)行柔度分析具有更高的準(zhǔn)確性。

4. 2 試驗(yàn)驗(yàn)證

為了進(jìn)一步驗(yàn)證以Timshenko梁模型和旋量變換理論為基礎(chǔ)進(jìn)行柔度分析的準(zhǔn)確性，搭建如圖16所示測試平臺。

具體實(shí)施方案：加工l1=7 mm、l2=3 mm、l3=7 mm、l4=7 mm、l5=7 mm、b=50 mm、t=3 mm的柔性結(jié)構(gòu)樣件，所用材料為LY12。在柔性結(jié)構(gòu)中心處施加豎直向下載荷Fz，載荷Fz 從500 N 至5 500 N 逐漸增加，每次增加500 N，測量柔性結(jié)構(gòu)Z 向位移并計(jì)算其柔度值CZ-Fz。載荷施加和位移測量均采用萬能材料試驗(yàn)機(jī)，位移值測量精度為1 μm。測試結(jié)果如圖17所示。

從試驗(yàn)結(jié)果可知，柔性結(jié)構(gòu)Z 向位移的理論值與實(shí)測值最大偏差為7. 16%，是一個(gè)可以接受的水平。該結(jié)果驗(yàn)證了柔性結(jié)構(gòu)理論建模和仿真分析的正確性。

5 結(jié)論

基于Timshenko梁模型和旋量變換理論，針對由直梁柔性單元組成的一般柔性結(jié)構(gòu)，建立了其柔度分析模型；以S型柔性結(jié)構(gòu)為例，研究了結(jié)構(gòu)的尺寸參數(shù)對柔度的影響；而后進(jìn)行有限元仿真分析，構(gòu)建測試系統(tǒng)對柔性結(jié)構(gòu)的Z 向平動柔度進(jìn)行了測試。得到的理論值為4. 309×10-8 N-1·m，仿真值為4. 101×10-8 N-1·m，試驗(yàn)測試柔度值為4. 567×10-8 N-1·m；理論值和仿真值最大相對誤差為6. 31%，理論值和試驗(yàn)值最大相對誤差為7. 16%。上述結(jié)果說明， 以Timshenko梁模型和旋量變換理論為基礎(chǔ)，能快速、方便、準(zhǔn)確地對由直梁單元組成的柔性結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析設(shè)計(jì)；同時(shí)，S型柔性結(jié)構(gòu)也為其他柔鉸的設(shè)計(jì)形式提供了新的思路。

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