圖形性質(zhì)助推理，思想方法提素養(yǎng)

摘要：初中代數(shù)幾何綜合題，要能注重不同主題條件之間的關(guān)聯(lián)，充分挖掘和利用圖形的幾何性質(zhì)，準確提取并應(yīng)用基本數(shù)學(xué)模型，演繹推理，結(jié)合多種數(shù)學(xué)思想方法不斷優(yōu)化解題過程，獲得解題經(jīng)驗，提高解題能力，發(fā)展核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：圖形性質(zhì)；數(shù)學(xué)模型；數(shù)學(xué)思想

近幾年中考題的最后一道壓軸題往往都以代數(shù)與幾何綜合題的形式出現(xiàn)，一般包括方程、函數(shù)、三角形、四邊形、相似形等核心知識點，并綜合利用數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化等基本數(shù)學(xué)思想，內(nèi)容豐富，難度較大.對學(xué)生的運算能力、幾何直觀、推理能力、模型觀念、應(yīng)用意識等核心素養(yǎng)都提出了很高的要求.良好的解決這類問題，需要學(xué)生平時的反思積累，也需要教師在日常解題教學(xué)中注重引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)一些基本數(shù)學(xué)模型、基本通性通法.下面，筆者以一道中考題為例，淺談這類題的教學(xué)感悟.

1 試題呈現(xiàn)

（2021＼5宿遷）如圖1所示，拋物線y=－12x2+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（4，0），與y軸交于點C，連接AC，BC，點P在拋物線上運動.

（1）求拋物線的表達式；

（2）如圖1，若點P在第四象限，點Q在PA的延長線上，當(dāng)∠CAQ=∠CBA+45°時，求點P的坐標；

（3）如圖2，若點P在第一象限，直線AP交BC于點F，過點P作x軸的垂線交BC于點H，當(dāng)△PFH為等腰三角形時，求線段PH的長.

2 試題解析

2.1 注重不同主題條件的關(guān)聯(lián)性，尋求一題多解

對于第（1）問，給出3種解法：

解法1：直接利用待定系數(shù)法，將A，B點坐標代入拋物線方程，聯(lián)立方程組可求得b，c的值.

解法2：注意到給出的兩點是拋物線與x軸交點，而拋物線三種解析式的系數(shù)a不變，直接得交點式y(tǒng)=－12（x+1）（x－4），再化為一般式y(tǒng)=－12x2+32x+2，即為所求.

解法3：關(guān)聯(lián)二次函數(shù)與一元二次方程，從方程的角度看函數(shù)，-1和4是函數(shù)值為0時一元二次方程的兩個根，由根與系數(shù)的關(guān)系，得-1+4=2b，-1×4=-2c，解得b和c的值.

解法3很巧妙，原因是它注意了二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)聯(lián)性，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》［1］指出，代數(shù)式、方程和不等式、函數(shù)可以用“函數(shù)”主線建立它們的聯(lián)系，方程是函數(shù)特殊狀態(tài)下的特性，注重它們之間的關(guān)聯(lián)才能把握中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的整體性，才能引導(dǎo)學(xué)生從掌握數(shù)學(xué)的知識點，走向核心素養(yǎng)和人的健康發(fā)展.

2.2 挖掘基本數(shù)學(xué)模型，利用圖形性質(zhì)一題多解

對于第（2）問，由（1）知拋物線與y軸交點坐標為C（0，2），再由A（-1，0），B（4，0）的坐標特征，可知∠ACB=90°，又CO為斜邊AB上的高線，則三個直角三角形兩兩相似（“母子相似”模型，如圖3），且每個三角形長度和角度確定，三邊之比均為1∶2∶5.

解法1：如圖4，由直角性質(zhì)知∠CBA=∠ACO，則∠CAQ=∠ACO+45°，再由外角性質(zhì)得∠CAQ=∠ACO+∠AKC，于是∠AKC=45°，得等腰直角三角形KAO，所以K（0，-1），則直線QP：y=-x-1.聯(lián)立y=－x－1，y=－12x2+32x+2，得交點P（6，-7）.

解法2：如圖5，關(guān)注45°的特殊性，利用等腰直角三角形性質(zhì)構(gòu)造45°角.在OB上取點D，使得OD=OC，連接CD，則∠OCD=45°.因為∠CBA=∠ACO，所以∠CAQ=∠ACO+∠OCD=∠ACD.由內(nèi)錯角相等，可知直線PQ∥CD，從而kPA=kCD=－1，則直線QP：y=-x-1，以下同解法1.

解法3：如圖6，由解法1易知∠BAP=45°，過點P作PN⊥AB于點N，得等腰直角三角形PAN，PN=AN，再由A（-1，0），得PN=ON+1.設(shè)ON=t（tgt;0），則PN=t+1，則P（t，-t-1）.由點P在拋物線上，代入函數(shù)解析式，得－t－1=－12t2+32t+2，解得t=6（負值舍去），故P（6，-7）.

以上3種解法利用“數(shù)形結(jié)合”思想，挖掘出一個隱含的直角三角形模型，再綜合運用“平行線”“外角”等性質(zhì)，由點的坐標定義或利用方程組求出交點P的坐標，實現(xiàn)一題多解.

2.3 運用圖形性質(zhì)推理，轉(zhuǎn)化思想助力一題多解

對于第（3）問，其常規(guī)思路是設(shè)Ht，－12t+2，

Pt，－12t2+32t+2，將直線BC：y=－12x+2，直線AP：y=－12（t－4）（x+1）聯(lián)立方程組，求得交點Ft5－t，5t－202t－10.再由兩點間距離公式表示PH，PF，F(xiàn)H的長，按照FP=FH，PF=PH，F(xiàn)H=PH三種情況進行分類討論，列方程求解.但這些方程均涉及含有參數(shù)t的分式運算和平方、四次方的運算，在有限的時間內(nèi)，學(xué)生根本無法得出最終結(jié)果.

解法1：考慮方程思想，利用等腰三角形的性質(zhì)“等邊對等角”，把邊的問題“轉(zhuǎn)化”為角的問題.設(shè)Pt，－12t2+32t+2（t＞0），Ht，－12t+2，則

PH=－12t2+2t.

①如圖7，若FP=FH，則∠P=∠α.由PH∥CO，可知∠α=∠OCB.因為∠OCB是定角，所以tan∠OCB=tan α=tan P=2，從而在Rt△PAD中，有ADPD=t+1－12t2+32t+2=2，解得t=3（負值舍去），故PH=32.

②如圖8，若HP=HF，則∠P=∠β，因為∠ACF=90°，∠PDA=90°，所以∠P和∠PAD互余，∠β與∠CAF互余，知AP為∠CAB的角平分線.由角平分線的性質(zhì)，過點E作EM⊥AC于點M，則OE=EM.設(shè)OE=EM=x，在Rt△CME中，由勾股定理可得ME2+CM2=CE2，即x2+（5－1）2=（2－x）2，解得x=5－12，則可得tan∠PAD=OEOA=5－12.于是在Rt△PAD中，tan∠PAD=PDAD=－12t2+32t+2t+1=5－12，解得t=5－5（負值舍去），故PH=35－5.

③如圖8，若PF=PH，則∠α=∠β.由∠ACF=90°，∠PDA=90°，∠α和∠B互余，∠β與∠CAF互余，可得∠CAF=∠B=∠ACO，所以AE=CE.設(shè)AE=CE=x，在Rt△AOE中，由勾股定理得OA2+OE2=AE2，所以12+（2－x）2=x2，解得x=54，則OE=34，tan∠PAD=OEOA=34.在Rt△PAD中，由tan∠PAD=PDAD=－12t2+32t+2t+1=34，解得t=52（負值舍去），故PH=158.

解法2：關(guān)注到PH∥CO，由平行線的性質(zhì)知△PFH∽△EFC，所以等腰三角形PFH可“轉(zhuǎn)化”為△EFC是等腰三角形，再利用等腰三角形性質(zhì)“等邊對等角”嘗試進一步轉(zhuǎn)化.

①如圖9，若FP=PH，則EF=EC，∠1=∠2，由于

∠ACF=90°，則∠2，∠1分別與∠CAE和∠ACE互余，得∠CAE=∠ACE，AE=CE=EF，即E為Rt△ACF斜邊AF的中點.根據(jù)中點公式得xF=1，代入直線BC：y=－12x+2，可得F1，32，此時直線AF：y=34x+34，聯(lián)立y=34x+34，y=－12x2+32x+2，求出P52，218，則H52，34，所以PH=158.

②如圖9，若FP=FH，則EF=FC，∠3=∠1.由∠ACF=90°，∠AOC=90°，知∠1，∠3分別與∠ACO和∠PAO互余，則∠ACO=∠PAO=∠B，F(xiàn)A=FB，此時巧妙運用等腰三角形的對稱性，易得xF=32，同①得F32，54，直線AF：y=12x+12，與拋物線聯(lián)立，得P（3，2），則H3，12，PH=32.

③如圖10，若FH=PH，則CF=EC，∠2=∠3.由∠ACF=90°，∠AOC=90°，知∠2，∠3分別與∠CAE和∠EAO互余，所以∠CAE=∠EAO，AF為∠CAB的角平分線.過點F作FN⊥AB于點N，易知△AFC≌△AFN，可知AN=AC=5，所以xF=5－1，同①得F5－1，5－52，直線AF：y=5－12x+5－12，聯(lián)立拋物線方程，求出P5－5，75－112，則H5－5，5－12，PH=35－5.

解法2利用平行線的性質(zhì)，把△PFH的問題轉(zhuǎn)化為△EFC的問題，但并不是最好的辦法，原因是△EFC也是一個隨著點P運動而動態(tài)變化的三角形，盡可能多地尋找到題目中的不變量才是解決動態(tài)問題的良好策略.

解法3：所以，如圖11，過點A作x軸的垂線與BC的延長線交于點D，利用PH∥AD來構(gòu)造△PFH∽△AFD.由于xD=－1，代入直線BC：y=－12x+2，得D－1，52，DA=52是定值，即△AFD對比△EFC的優(yōu)勢是線段DA的長度為定值.

①若FP=PH，則AF=AD，因為AC⊥DF，由等腰三角形三線合一性質(zhì)知C為DF的中點.因為D－1，52，C（0，2），運用中點坐標公式直接求得F1，32，以下同解法2，得PH=158.

②若FH=PH，則DA=DF=52，于是BF=BD-DF=55－52.如圖12，過點F作FN⊥OB于點N，由FNBF=15，解得FN=5－52，ON=5－1，由點的坐標定義得F5－1，5－52，以下同解法2，得PH=35－5.

③若FP=FH，則FD=FA.因為∠DAB=90°，易證F為BD的中點，D－1，52，B（4，0），運用中點坐標公式得F32，54，以下同解法2，得PH=32.

事實上，因為點P在拋物線上，如果直接設(shè)點P的坐標，不利用幾何圖形性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化，運算會特別繁瑣.本小題不僅需要充分利用幾何圖形性質(zhì)進行“轉(zhuǎn)化”，還需要把點P的坐標問題“轉(zhuǎn)化”為點F的坐標問題.充分運用幾何圖形的性質(zhì)和轉(zhuǎn)化思想，解法3最直接快捷.所以，這類幾何與代數(shù)綜合問題，一定要充分利用幾何圖形的性質(zhì)，再借助數(shù)學(xué)思想方法方可優(yōu)化解題過程.

3 解題分析

3.1 積累基本模型，提高幾何直觀

初中幾何內(nèi)容中，三角形、四邊形、全等三角形、相似三角形、軸對稱圖形、圓等知識中都存在一些基本圖形，當(dāng)坐標系、函數(shù)圖象與幾何圖形疊合在一起，容易引起視覺上的混亂.在中考復(fù)習(xí)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生注重淡化函數(shù)背景，準確提煉和歸納這些基本模型和它的變式，使得圖形性質(zhì)應(yīng)用一目了然，讓學(xué)生“眼中有圖，腦中有形，手中有法”.培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用模型觀念，提高幾何直觀素養(yǎng).例如第（2）問用到的數(shù)學(xué)模型就是直角三角形“母子相似”模型，第（3）問用到直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半模型、平行線中的“X”型相似模型等.

3.2 重視圖形性質(zhì)，培養(yǎng)推理能力

對于單一的幾何題，學(xué)生往往會結(jié)合幾何圖形性質(zhì)，深入推理，但在和函數(shù)結(jié)合的問題中，往往更關(guān)注函數(shù)，而忽略幾何圖形性質(zhì)的運用.中考復(fù)習(xí)時，教師可著重引導(dǎo)學(xué)生加強圖形性質(zhì)的邏輯推理，以優(yōu)化思維，減輕運算負擔(dān)，提高推理能力.比如第（3）問，3種解法綜合運用了等腰三角形、直角三角形、平行線的性質(zhì)，再推理應(yīng)用角平分線、勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、相似三角形的性質(zhì)等，越推理聯(lián)想，問題越簡單，解題步驟越優(yōu)化.

3.3 注重數(shù)學(xué)思想，助力一題多解

一題多解可以發(fā)散思維，開闊思路，促進深度學(xué)習(xí).在中考復(fù)習(xí)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從不同角度切入，再提煉歸納解題的思想和方法，達到“解一題、學(xué)一法，通一類”的目的.比如第（2）問利用“轉(zhuǎn)化”思想，將條件∠CAQ=∠CBA+45°中的∠CBA“轉(zhuǎn)化”為∠ACO后，思路一下豁然開朗，三種解法，水到渠成.第（3）問，利用常規(guī)思路根本無法算出最后結(jié)果.結(jié)合圖形性質(zhì)，將求解點P的問題“轉(zhuǎn)化”為點F的問題，再利用圖形性質(zhì)，不斷轉(zhuǎn)化條件，綜合利用數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程等數(shù)學(xué)思想，得到多種不同解法.

羅增儒教授指出，解題教學(xué)是解題活動的教學(xué)，我們要通過解一道題，去體會那種解無數(shù)道題的智慧.在解題研究過程中，作為教師，要多思多悟，提升自身的研究能力，還要引導(dǎo)學(xué)生反思總結(jié)解題的一般思路和基本方法，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，方能發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng).