應(yīng)對(duì)一元二次方程試題的四種方法

摘要：一元二次方程是初中數(shù)學(xué)教學(xué)和中考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一.文章結(jié)合例題分析了配方法、公式法、因式分解法、換元法四種方法的適用情形，對(duì)相關(guān)試題進(jìn)行評(píng)析，并得出了解題思路.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；一元二次方程；試題解法

1 配方法

例1 （2024·山東東營(yíng)·中考真題）用配方法解一元二次方程x2－2x－2 023=0時(shí)，將它轉(zhuǎn)化為（x+a）2=b的形式，則ab的值為（" ）.

A.－2 024

B.2 024

C.－1

D.1

分析：本題主要考查用配方法解一元二次方程.熟練掌握配方法的步驟，是解決本題的關(guān)鍵.用配方法把x2－2x－2 023=0移項(xiàng)、配方，化為（x－1）2=2 024，即可.

解：因?yàn)閤2－2x－2 023=0，移項(xiàng)得x2－2x=2 023，配方得x2－2x+1=2 023+1，即（x－1）2=2 024，所以a=－1，b=2 024，所以ab=（－1）2 024=1.

故選：D.

評(píng)析：該題考查解一元二次方程的配方法，要求將方程x2－2x－2 023=0轉(zhuǎn)化為（x+a）2=b的形式.配方法的優(yōu)勢(shì)在于通過(guò)構(gòu)造完全平方形式，將復(fù)雜的二次方程簡(jiǎn)化為相對(duì)簡(jiǎn)單的平方形式，便于求解.這種方法對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力和代數(shù)技巧要求較高.具體到本題，首先將常數(shù)項(xiàng)移到方程右側(cè)，再通過(guò)配方補(bǔ)全平方，得出（x－1）2=2 024，因此a=－1，b=2 024.最終，求出ab=（－1）2 024=1.本題旨在考查學(xué)生對(duì)配方法的掌握，以及對(duì)運(yùn)算細(xì)節(jié)的關(guān)注，體現(xiàn)了代數(shù)中的推理與計(jì)算能力.

適用情形：配方法用于解一元二次方程時(shí)，方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1，或可以通過(guò)簡(jiǎn)單變換化為1，此時(shí)使用配方法尤為高效.尤其在某些情況下，方程的根不是整數(shù)或無(wú)法直接因式分解，配方法可以將方程轉(zhuǎn)化為完全平方形式，使解題過(guò)程簡(jiǎn)潔明了.配方法適用于系數(shù)較簡(jiǎn)單的方程，或當(dāng)因式分解無(wú)法直接實(shí)施時(shí)，是一種靈活且實(shí)用的工具.此外，配方法廣泛用于推導(dǎo)二次方程求根公式，能幫助學(xué)生理解方程結(jié)構(gòu)和變形過(guò)程，進(jìn)一步提升解題技巧和代數(shù)思維.

解題思路：使用配方法解一元二次方程時(shí)，首先確保二次項(xiàng)系數(shù)為1.如果不是，需先將方程各項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1.接下來(lái)將常數(shù)項(xiàng)移到方程右側(cè)，并對(duì)二次項(xiàng)與一次項(xiàng)進(jìn)行配方，即找到補(bǔ)全平方的數(shù)，使左側(cè)表達(dá)式變?yōu)橐粋€(gè)完全平方式.具體步驟是，將一次項(xiàng)的系數(shù)除以2并平方，然后將所得值加到方程的兩邊，確保方程保持平衡.這樣，方程左側(cè)成為一個(gè)平方形式，右側(cè)為調(diào)整后的常數(shù).最后，通過(guò)開(kāi)平方法求解未知數(shù).配方法將復(fù)雜的二次方程簡(jiǎn)化為容易處理的平方形式，幫助學(xué)生快速求解.

2 公式法

例2 （2024·河北石家莊·一模）若x=2±4－4×3×（－1）2×3是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，則a+b+c=（" ）.

A.－2

B.4

C.2

D.0

分析：本題主要考查解一元二次方程——公式法，利用求根公式判斷即可.

解：因?yàn)閤=2±4－4×3×（－1）2×3是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，所以a=3，b=－2，c=－1，所以a+c+c=3－2－1=0.

故選：D.

評(píng)析：公式法的優(yōu)勢(shì)在于普適性，無(wú)論二次方程的系數(shù)是整式還是分式，均可通過(guò)該方法精確求解.本題中由根式可以推導(dǎo)出方程各項(xiàng)的系數(shù)分別為3，-2和-1，即可得到結(jié)果.這類試題不僅要求學(xué)生掌握公式法的基礎(chǔ)運(yùn)用，還要靈活運(yùn)用逆向思維進(jìn)行推理和判斷.

適用情形：公式法是解一元二次方程的常用方法，適用于各種情況下的二次方程求解，尤其是在無(wú)法通過(guò)因式分解或配方法解題時(shí)，公式法提供了通用的解題思路.無(wú)論方程有無(wú)實(shí)根、重根還是虛根，公式法都能通過(guò)判別式分析并得出精確結(jié)果.該方法適用于任何系數(shù)形式，包括小數(shù)、分?jǐn)?shù)等復(fù)雜情況.因此，當(dāng)方程的結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，無(wú)法通過(guò)常規(guī)方法迅速求解時(shí)，公式法成為最可靠和簡(jiǎn)便的途徑.此外，公式法不僅適用于求解方程，也適合用來(lái)分析根的性質(zhì)，幫助學(xué)生全面理解方程.

解題思路：在運(yùn)用公式法解一元二次方程時(shí)，首先要識(shí)別出方程的三個(gè)重要系數(shù)，接著計(jì)算出判別式Δ=b2－4ac，再通過(guò)求根公式求出x=－b±Δ2a.判別式能夠幫助判斷方程是否有解及解的性質(zhì).解題過(guò)程中，通過(guò)合理運(yùn)用根式中的信息，可以直接得到方程的解，并從根式中推導(dǎo)出方程的系數(shù).最后，依據(jù)問(wèn)題的要求進(jìn)行后續(xù)推理，例如，本題中通過(guò)系數(shù)相加得到結(jié)果，幫助學(xué)生形成系統(tǒng)的解題思路.

3 因式分解法

例3 （2024河南洛陽(yáng)一模）方程2x（x－3）+5（3－x）=3－x的根是（" ）.

A.x=2

B.x=3

C.x1=2，x2=3

D.x1=－2，x2=3

分析：本題考查解一元二次方程，熟練掌握利用因式分解法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵.本題根據(jù)因式分解法解方程即可.

解：由2x（x－3）－5（x－3）+（x－3）=0，整理得（x－3）（2x－4）=0，則x1=2，x2=3.

故選：C.

評(píng)析：本題要求解方程2x（x－3）+5（3－x）=3－x，可以通過(guò)因式分解法來(lái)解決.首先整理方程的結(jié)構(gòu)，化簡(jiǎn)各項(xiàng)，通常先轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的一元二次方程形式，再通過(guò)因式分解法求解.因式分解法的優(yōu)勢(shì)在于可以將二次項(xiàng)分解為兩個(gè)簡(jiǎn)單的因式，從而快速找到方程的解.特別是在因式分解較為簡(jiǎn)單的情況下，該方法效率高、思路清晰.本題通過(guò)因式分解法得出x1=2，x2=3，因此正確答案為選項(xiàng)C.利用因式分解法可以幫助學(xué)生訓(xùn)練方程的結(jié)構(gòu)識(shí)別和解的直觀尋找能力.

適用情形：因式分解法適用于那些可以化簡(jiǎn)為標(biāo)準(zhǔn)二次方程并具備簡(jiǎn)單因式結(jié)構(gòu)的方程.當(dāng)方程中的二次項(xiàng)和一次項(xiàng)之間存在明顯的共同因子，或者二次項(xiàng)的系數(shù)較為簡(jiǎn)單時(shí)，因式分解法特別有效.此外，在可以直接觀察到因式分解規(guī)律的方程中，利用該方法不僅可以快速解出根，還能幫助學(xué)生更好地理解方程的內(nèi)部結(jié)構(gòu).例如，完全平方形式的方程和簡(jiǎn)單可拆解的多項(xiàng)式形式，都非常適合利用因式分解法.這種方法的另一優(yōu)點(diǎn)在于其過(guò)程較為直觀，學(xué)生能夠通過(guò)逐步分解的形式找到方程的解.

解題思路：解題的第一步是將方程展開(kāi)并化簡(jiǎn)所有項(xiàng)，使方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式.例如，本題中的方程首先通過(guò)化簡(jiǎn)括號(hào)和同類項(xiàng)整理成2x2-（6+5-1）x+（15－3）=0，接下來(lái)整理成標(biāo)準(zhǔn)的二次方程形式.然后，通過(guò)因式分解法，將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積.找到這些因式后，分別令每個(gè)因式為0，從而得到方程的兩個(gè)解.因式分解法的關(guān)鍵在于熟練識(shí)別常見(jiàn)的分解模式，如提取公因式、平方差和完全平方公式等，利用這些技巧能有效簡(jiǎn)化復(fù)雜方程，有利于快速求解.

4 換元法

例4 （2024江蘇聯(lián)考試題）關(guān)于x的方程（x2+x）2+2x2+2x－3=0，則x2+x的值是（" ）.

A.－3

B.1

C.－3或1

D.3或－1

分析：本題考查解一元二次方程，熟練掌握用換元法解方程是解題的關(guān)鍵.設(shè)x2+x=t，則此方程可化為t2+2t－3=0，然后用因式分解法求解即可.

解：設(shè)x2+x=t，則此方程可化為t2+2t－3=0，所以（t－1）（t+3）=0，所以t－1=0或t+3=0，解得t1=1，t2=－3，所以x2+x的值是1或－3.當(dāng)x2+x=－3時(shí)，x2+x+3=0，因?yàn)棣?1－12=－11lt;0，所以此方程無(wú)解，所以x2+x的值是1.

故選：B.

評(píng)析：本題用換元法處理方程（x2+x）2+2x2+2x－3=0，是一個(gè)非常典型的應(yīng)用實(shí)例.換元法的主要優(yōu)勢(shì)在于簡(jiǎn)化復(fù)雜方程的求解過(guò)程.通過(guò)引入一個(gè)新的變量，將方程的復(fù)雜度降低，使其轉(zhuǎn)化為更易處理的形式.在這個(gè)過(guò)程中，換元法不僅能幫助考生分解問(wèn)題，厘清方程的結(jié)構(gòu)，還可以有效降低計(jì)算難度，提升解題效率.在實(shí)際考試中，換元法能夠幫助考生更快速地找到解決方案，特別是在處理形式復(fù)雜的方程時(shí)，顯著提高了問(wèn)題的可操作性和解題的準(zhǔn)確性.

適用情形：在教學(xué)中，換元法適用于處理那些結(jié)構(gòu)復(fù)雜的方程，特別是當(dāng)方程中出現(xiàn)了多次冪的變量或具有復(fù)雜的代數(shù)表達(dá)時(shí).它能夠?qū)⒎匠剔D(zhuǎn)化為更簡(jiǎn)單、更標(biāo)準(zhǔn)的形式，從而使解題過(guò)程更加清晰和直接.換元法也適用于方程中變量之間存在復(fù)雜關(guān)系的情況，通過(guò)合理選擇替代變量，能夠顯著簡(jiǎn)化分析和計(jì)算.在教學(xué)中，應(yīng)用換元法能夠幫助學(xué)生掌握如何將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)化，并增強(qiáng)他們的思維能力和解題技巧.

解題思路：解決這類問(wèn)題的基本思路是先將復(fù)雜的方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)形式更簡(jiǎn)單的方程.首先，選擇一個(gè)合適的變量來(lái)替代原方程中復(fù)雜的部分，這樣可以將原本復(fù)雜的表達(dá)式簡(jiǎn)化為一個(gè)單一的變量.其次，將替代變量代入原方程中，得到一個(gè)新的方程，這個(gè)方程通常比原方程簡(jiǎn)單易解.最后，通過(guò)求解這個(gè)簡(jiǎn)化后的方程，得到替代變量的值，再代回原方程中，求出原變量的解.換元法的核心在于通過(guò)換元來(lái)降低問(wèn)題的復(fù)雜性，使得解決過(guò)程更加直接和高效.