“一元一次方程的應(yīng)用”專題復(fù)習(xí)教學(xué)

摘要：一元一次方程，作為初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，既標(biāo)志著基礎(chǔ)代數(shù)學(xué)習(xí)的開端，也是應(yīng)對實(shí)際問題的重要工具.為了深化學(xué)生對這一概念的理解，掌握其性質(zhì)、解法及應(yīng)用技巧至關(guān)重要.本文中通過專題復(fù)習(xí)的方式，探討一元一次方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用，以期對初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作提供實(shí)質(zhì)性的幫助和指導(dǎo).

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；一元一次方程；專題復(fù)習(xí)

一元一次方程是初中數(shù)學(xué)中的核心概念之一，它不僅代表著基礎(chǔ)代數(shù)知識的入門，更是解決實(shí)際問題的重要工具［1］.對初中生來說，一元一次方程的學(xué)習(xí)不僅僅是理解、記憶的過程，更是一個(gè)實(shí)踐、探索的過程.方程背后所蘊(yùn)含的代數(shù)思想，以及它在實(shí)際問題中的應(yīng)用，無一不顯示出它的重要性.為了更有效地幫助學(xué)生在一元一次方程的學(xué)習(xí)上取得顯著的進(jìn)步，教師需要明確一元一次方程應(yīng)用的各個(gè)類別，并著重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，進(jìn)而不斷提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力［2］.

1 厘清問題種類，快速建模

一元一次方程，作為初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識點(diǎn)，在實(shí)際生活中的應(yīng)用較為廣泛.然而，對初中生來說，他們尚未完全融入社會，對生活中實(shí)際問題的了解相對較少.因此，在教學(xué)時(shí)，除了傳授知識本身，更需要幫助學(xué)生理解、掌握應(yīng)用題的各種類型.每種類型的應(yīng)用題都有其獨(dú)特的特點(diǎn)和解題方法.通過區(qū)分不同的類型，學(xué)生可以更深入地理解這些特點(diǎn)，從而更好地掌握解題技巧［3］.

一元一次方程應(yīng)用題常見分類見圖1.

1.1 和、差、倍、分問題

和、差、倍、分問題，其核心在于探討不同數(shù)量之間的和、差、倍數(shù)及比例關(guān)系.為了深入理解這些問題，學(xué)生必須準(zhǔn)確理解并把握相關(guān)關(guān)鍵詞語.例如，“是幾倍、增加幾倍、增加到幾倍、增加百分之幾……”常常用來描述倍數(shù)關(guān)系；而“多、少、和、差……”則常被用來描述數(shù)量之間的關(guān)系.一旦學(xué)生理解了這些數(shù)量關(guān)系，就可以根據(jù)題目描述設(shè)定未知數(shù)，并利用關(guān)鍵詞來構(gòu)建含有未知數(shù)的表達(dá)式.最后，利用題目中給出的各種數(shù)量關(guān)系，學(xué)生就可以建立數(shù)學(xué)方程，從而解決問題.這種理解和應(yīng)用能力是解決和、差、倍分問題的關(guān)鍵.

1.2 行程問題

行程問題主要探討的是物體在移動過程中的距離、速度及時(shí)間三者間的相互關(guān)聯(lián).這類問題既可以是單一物體的單向移動，也可以是多個(gè)物體間的交互動作，如碰面、追趕、遠(yuǎn)離等場景.學(xué)生在處理這些問題時(shí)，應(yīng)熟練掌握并應(yīng)用一個(gè)核心的數(shù)學(xué)公式：距離=速度×?xí)r間.這個(gè)公式是行程問題的基石，無論問題涉及的是一個(gè)還是多個(gè)物體的移動，都可以通過這個(gè)公式來求解.

1.3 工程問題

在工程問題中，要關(guān)注的核心是工作量、工作效率與工作時(shí)間之間的相互關(guān)系及其影響.這類問題中，通常將整體的工作量標(biāo)準(zhǔn)化為單位“1”，并通過“工作量=工作效率×工作時(shí)間”這一公式來求解.工程問題廣泛存在于人們的日常生活和各類生產(chǎn)活動中，如道路建設(shè)、橋梁施工、河道疏浚、貨物運(yùn)輸、產(chǎn)品制造等.解決這些問題的關(guān)鍵在于，學(xué)生能夠深入理解并靈活運(yùn)用上述基本概念和公式.

1.4 調(diào)配問題

調(diào)配問題涉及將甲地的人或物調(diào)整至乙地，以滿足特定的數(shù)量關(guān)系.另一種情況是從第三方引入資源，以平衡甲、乙兩地的數(shù)量關(guān)系.這類問題常見于日常生活中，如勞動力分配、材料比例選擇、人員或貨物的調(diào)配等.學(xué)生解決這類問題的關(guān)鍵在于理解部分量與總量之間的關(guān)系，并通過“總量守恒”原理建立數(shù)學(xué)方程，再進(jìn)行求解.

2 通過典型例題夯實(shí)解題技巧

2.1 和、差、倍、分問題

例1 《九章算術(shù)》中記載：“今有甲、乙二人持錢不知其數(shù)，甲得乙半而錢五十，乙得甲太半而錢亦五十，問甲、乙持錢各幾何”.其中“太半”為三分之二.請運(yùn)用一元一次方程求解.

解：設(shè)甲有x錢，則乙有（100-2x）錢，于是可得

23x+（100-2x）=50.

解得x=37.5.

所以100-2x=25.

答：甲、乙各有37.5錢、25錢.

通過例題練習(xí)，可以促使學(xué)生熟練掌握尋找兩個(gè)未知數(shù)之間關(guān)系的方法.

2.2 行程問題

例2 A，B兩地距離為1 500 km，一列火車從A地出發(fā)到B地，行駛150 km后，另一列火車從B地出發(fā)開往A地，第二列火車出發(fā)3 h后與第一列火車相遇，若第一列火車每小時(shí)行駛的路程比第二列火車每小時(shí)行駛的路程的一半多6 km，則第二列火車平均每小時(shí)行駛多少km？

解：設(shè)第二列火車平均每小時(shí)行駛x km，則可得

3x+12x+6×3+150=1 500.

解得x=296.

答：第二列火車平均每小時(shí)行駛296 km.

2.3 工程問題

例3 一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)完成需要15天，乙單獨(dú)完成需要12天.現(xiàn)在甲和乙先合作了3天，然后甲離開，乙需要單獨(dú)完成剩下的工程.問：乙還要幾天才能完成全部工程？

解：設(shè)乙還要x天才能完成全部工程，則可得

x12+115+112×3=1.

解得x=6.6.

答：乙還要6.6天才能完成全部工程.

例4 有一個(gè)水池，這個(gè)水池有一個(gè)進(jìn)水管和一個(gè)出水管.進(jìn)水管15小時(shí)可以把空水池注滿，而出水管24小時(shí)可以把滿池的水放完.如果同時(shí)打開進(jìn)水管和出水管，需要多少小時(shí)才能把空水池注滿.

解：設(shè)如果同時(shí)打開進(jìn)水管和出水管，x h后可以注滿空池，則可得

115－124x=1.

解得x=40.

答：如果進(jìn)水管和出水管同時(shí)被打開，把空池注滿的時(shí)間為40 h.

2.4 調(diào)配問題

例5 甲隊(duì)有72人，乙隊(duì)有68人，從甲隊(duì)調(diào)出一些人到乙隊(duì)，以便甲隊(duì)的人數(shù)是乙隊(duì)人數(shù)的34.問：需從甲隊(duì)調(diào)出多少人到乙隊(duì)？

解：設(shè)從甲隊(duì)調(diào)出x人到乙隊(duì)，則可得

72-x=3（68+x）4.

解得x=12.

答：需要從甲隊(duì)調(diào)出12人到乙隊(duì)，才能使甲隊(duì)的人數(shù)恰好是乙隊(duì)人數(shù)的34.

例6 某公司組織員工去郊游，現(xiàn)在有兩種租車方案.如果公司選擇租45座客車若干輛，則剛好坐滿；如果公司選擇租60座的客車，則少租1輛，并且有15個(gè)空座.求參加郊游的公司員工人數(shù).

解：設(shè)租45座客車x輛，則參加郊游的公司員工總?cè)藬?shù)為45x.依題意可得

45x=60（x-1）-15.

解得x=5.

所以參加郊游的公司員工總?cè)藬?shù)為

45x=45×5=225.

答：參加郊游的公司員工總?cè)藬?shù)為225.

一元一次方程的應(yīng)用題種類繁多，涉及日常生活、工作的各個(gè)方面.通過全面、深入的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅可以提升數(shù)學(xué)水平，更能學(xué)會如何運(yùn)用數(shù)學(xué)知識去解決實(shí)際問題［4］.在復(fù)習(xí)階段，教師應(yīng)該著重培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力和解題策略，確保學(xué)生熟練掌握一元一次方程的應(yīng)用技巧.

參考文獻(xiàn)：

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[3]張鴻.淺談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的建模思想[J].科學(xué)咨詢（教育科研），2020（6）：229.

[4]李華雷.建模思路在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探究[J].教學(xué)管理與教育研究，2022，7（20）：80-82.