基于DOK理論的數(shù)學(xué)建模思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

摘要：深度學(xué)習(xí)是智能化時(shí)代教育教學(xué)改革的熱點(diǎn)，美國(guó)教育評(píng)價(jià)專家韋伯提出了“知識(shí)深度（Depth of Knowledge）”的DOK理論.初中階段，學(xué)生從絕對(duì)值的非負(fù)性開(kāi)始，其實(shí)就已經(jīng)對(duì)“最值”有了模糊的概念.隨著知識(shí)的深度和廣度不斷延拓，學(xué)生對(duì)于線段最值問(wèn)題的求解往往是能聽(tīng)懂，但很難獨(dú)立形成完整的解題思路.本文中以DOK理論為基礎(chǔ)，以幾何最值問(wèn)題教學(xué)為例，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，由淺入深，一題多變，突破最值問(wèn)題教學(xué)難點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維以及舉一反三的應(yīng)用能力，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：DOK理論；線段最值問(wèn)題；一題多變；核心素養(yǎng)

課堂是一場(chǎng)永無(wú)止境的“尋寶游戲”，以“學(xué)為中心”的教育理念基本成為了教學(xué)一線的共識(shí)，我們從學(xué)生的需要出發(fā)，以現(xiàn)實(shí)問(wèn)題為媒介，打開(kāi)新視角，構(gòu)筑大模型，來(lái)一場(chǎng)既有深度又有廣度的質(zhì)的飛躍.幾何最值問(wèn)題往往會(huì)涉及到點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、面動(dòng)，是教學(xué)的一大難點(diǎn).本文中基于DOK理論，根據(jù)初中生的認(rèn)知規(guī)律，從復(fù)雜的題目中抽出基本模型，循序漸進(jìn)，制定分階段的DOK學(xué)習(xí)目標(biāo)，幫助學(xué)生更好地掌握線段最值問(wèn)題的解題思路和方法.

1 DOK理論

美國(guó)諾曼·韋伯博士依據(jù)布盧姆《教育目標(biāo)分類學(xué)》中的認(rèn)知領(lǐng)域理論構(gòu)建了“知識(shí)深度等級(jí)”（Depth Of Knowledge，DOK），即培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)高階思維的DOK教學(xué)系統(tǒng).DOK是培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐能力、創(chuàng)新能力的知識(shí)深度等級(jí)體系，它根據(jù)知識(shí)需要的思維復(fù)雜程度進(jìn)行分層，按其復(fù)雜程度由淺入深分為四個(gè)等級(jí)：

DOK1（Recall and Reproduction）：回憶和重現(xiàn)

DOK2（Skill and Concepts）：技能和概念

DOK3（Strategies Thinking）：策略性思維和推理

DOK4（Extended Thinking）：拓展性思考.

四個(gè)等級(jí)是相互獨(dú)立、各自平等、同等重要的，它不僅適應(yīng)不同學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展需求，同時(shí)為學(xué)生創(chuàng)新素養(yǎng)的培養(yǎng)提供了清晰的路徑［1］.

知識(shí)深度等級(jí)模型如圖1所示.

2 DOK理論下將軍飲馬問(wèn)題的教學(xué)設(shè)計(jì)

問(wèn)題概述：唐朝詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題：將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，走到河邊讓?xiě)?zhàn)馬飲水后再到B點(diǎn)宿營(yíng).問(wèn)如何行走才能使總的路程最短［2］.

DOK1：關(guān)聯(lián)實(shí)際，分類分析

建立模型一（兩點(diǎn)在河的異側(cè)）：如圖2，將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，走到河邊讓?xiě)?zhàn)馬飲水后再到B點(diǎn)宿營(yíng)，將在何處渡河使行走距離最短并求最短距離.

方法：如圖3，連接AB，與線段l交于點(diǎn)M，在M處渡河距離最短，最短距離為線段AB的長(zhǎng).

建立模型二（兩點(diǎn)在河的同側(cè)）：如圖4，將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，需先走到河邊讓?xiě)?zhàn)馬飲水后再到B點(diǎn)宿營(yíng)，將在何處渡河使行走距離最短并求最短距離.

方法：如圖5，作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，與直線l的交點(diǎn)即為所求的渡河點(diǎn)，最短距離為線段AB′的長(zhǎng).從基礎(chǔ)模型入手，讓學(xué)生動(dòng)手操作，初步了解將軍飲馬問(wèn)題的模型和基本思路.

DOK2：模型分析，初階運(yùn)用

（1）與三角形綜合

例1 如圖6，等邊三角形ABC的邊BC上的高為6，AD是BC邊上的中線，M是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E是AC的中點(diǎn)，則EM+CM的最小值為.

分析：如圖7，連接BE交AD于點(diǎn)M，則BE就是EM+CM的最小值.通過(guò)等腰三角形的“三線合一”，可得BE=AD，即可得出結(jié)論.

解析：連接BE，與AD交于點(diǎn)M.由AB=AC，AD是BC邊上的中線，可知點(diǎn)B，C關(guān)于AD對(duì)稱，則EM+CM=EM+BM，則BE就是EM+CM的最小值.易得EM+CM的最小值為6.

等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，通過(guò)把模型二與等邊三角形融合，引導(dǎo)學(xué)生思考如何轉(zhuǎn)化線段最值問(wèn)題，并總結(jié)“兩定一動(dòng)”最值問(wèn)題解題步驟.

（2）與特殊四邊形綜合

例2 如圖8，在矩形ABCD中，AB=3，AD＝3.若E是邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC且分別交對(duì)角線AC、直線BC于點(diǎn)O，F(xiàn)，則在點(diǎn)E移動(dòng)的過(guò)程中，AF+FE+EC的最小值為.

分析：如圖9，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H.利用相似三角形的性質(zhì)求出FH，EF.因?yàn)镋F是定值2，所以AF+CE的值最小時(shí)，AF+EF+CE的值最小，當(dāng)點(diǎn)A，F(xiàn)，C共線時(shí)，即可解決問(wèn)題.

解析：如圖9，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H.根據(jù)題意，易得到EF=2.

過(guò)點(diǎn)C作CC′∥EF，使得CC′＝EF，連接C′F.易證四邊形ABHE是矩形，四邊形EFC′C是平行四邊形.易知AF+EC+EF＝AF+FC′+EF≥AC′+2＝4+2＝6［3］.

有了等邊三角形的綜合鋪墊，進(jìn)一步拓展題目背景，學(xué)生能發(fā)現(xiàn)其中的共同點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的思維能力.在教學(xué)過(guò)程中，“兩定一動(dòng)”中找哪一個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)能夠更加便捷地解決問(wèn)題，需要不斷地引導(dǎo)學(xué)生探索，從而提升運(yùn)用知識(shí)的能力.

（3）與坐標(biāo)系綜合

例3［4］ 已知點(diǎn)A（1，1），B（3，5），在x軸上的點(diǎn)C，使得AC+BC最小，則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為.

分析：作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，則AC+BC的最小值等于A′B的長(zhǎng)，利用待定系數(shù)法求得直線A′B的解析式，即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo).

解析：如圖10，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)C，連接AC，則AC+BC的最小值等于A′B的長(zhǎng)，設(shè)直線A′B的解析式為y=kx+b（k≠0），把A′（1，-1），B（3，5）代入可得k=3，b=-4，所以y=3x-4.當(dāng)y=0時(shí)，x=43，即點(diǎn)C的橫坐標(biāo).

從幾何圖形到在坐標(biāo)系中融合函數(shù)圖象，蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合思想，考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.此時(shí)可以放權(quán)讓學(xué)生進(jìn)行小組討論，提煉分享，歸納方法，總結(jié)技巧.

DOK3：靈活運(yùn)用，思維提升

例4 間接轉(zhuǎn)化將軍飲馬：如圖11，在邊長(zhǎng)為8的正方形ABCD中，E是AB邊上的一點(diǎn)，且BE＝2，Q為對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，則△BEQ周長(zhǎng)的最小值為.

分析：如圖12，連接BD，DE，點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于直線AC對(duì)稱，故DE的長(zhǎng)即為BQ+QE的最小值.

解析：易知△BEQ周長(zhǎng)的最小值為12.

DOK4：模型拓展，一題多變

建立模型三：如圖13，將軍同部隊(duì)行駛至P處，有哨兵發(fā)現(xiàn)前方為兩河AB，BC的交匯處，先到河邊觀察，再返回P處向?qū)④妳R報(bào)情況，問(wèn)哨兵在AB，BC何處偵查才能最快完成任務(wù)并求最短距離.

數(shù)學(xué)建模：在直線AB，BC上分別找點(diǎn)M，N，使得△PMN周長(zhǎng)最小.

方法：如圖14，分別作點(diǎn)P關(guān)于直線AB，BC的對(duì)稱點(diǎn)P′，P″，連接P′P″，與直線AB，BC的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)M，N，最短距離為線段P′P″的長(zhǎng).

建立模型四：如圖15，已知點(diǎn)P在直線AB，BC的內(nèi)側(cè)，在直線AB和BC上分別取一點(diǎn)M，N，求PM+PN的最小值.

方法：如圖16，作點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)P′，過(guò)點(diǎn)P′作P′N⊥BC，垂足為N，P′N與AB相交于點(diǎn)M，則PM+PN的

最小值為線段P′N的長(zhǎng).

建立模型五：如圖17，一條寬度相同的河流兩側(cè)有A，B兩個(gè)營(yíng)地，將軍令下屬在河流間搭建一座垂直于河岸的橋梁MN，使得AM+MN+NB之和最短，在何處搭建橋梁才能完成任務(wù)呢？

方法：如圖18，將點(diǎn)A向下平移MN個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)A′，連接A′B，交直線n于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作MN⊥m，垂足為M，點(diǎn)M和點(diǎn)N即為所求，最短距離為A′B+MN.

3 關(guān)于最值問(wèn)題教學(xué)的三點(diǎn)思考

3.1 解讀風(fēng)向標(biāo)，確定新方向

《中小學(xué)教師培訓(xùn)課程指導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)》等文件對(duì)我們的教育教學(xué)工作提出了明確要求，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力，培養(yǎng)學(xué)科核心素養(yǎng)，是我們需要不斷踐行的使命.線段最值問(wèn)題與實(shí)際生活密切相關(guān)，例如通過(guò)將軍飲馬問(wèn)題的呈現(xiàn)，學(xué)生知道“我為什么要求線段的最值，解決了什么樣的問(wèn)題”，抽象的問(wèn)題具象化，需要有大量的背景鋪墊，一題多變，帶領(lǐng)學(xué)生共同探究，感悟數(shù)學(xué)源于生活又高于生活.

3.2 創(chuàng)設(shè)大任務(wù)，落地新嘗試

大任務(wù)是一個(gè)和學(xué)習(xí)目標(biāo)緊密相連的、貫穿學(xué)習(xí)過(guò)程始終的、具體的驅(qū)動(dòng)性問(wèn)題或活動(dòng).線段最值問(wèn)題作為中考的一大難點(diǎn)，無(wú)論是選填壓軸，還是與函數(shù)、圓、四邊形綜合，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)都有不小的困難.我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中，需要循序漸進(jìn)地設(shè)計(jì)例題和變式，利用心理學(xué)中的“登門(mén)檻效應(yīng)”逐步提升對(duì)學(xué)生的階段性要求，完成各階段的DOK學(xué)習(xí)目標(biāo)，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從復(fù)雜的圖形中抽象出數(shù)學(xué)模型，分解提煉，得出結(jié)論.

3.3 找準(zhǔn)測(cè)量尺，素養(yǎng)見(jiàn)成效

素養(yǎng)的提升是通過(guò)任務(wù)的完成情況來(lái)實(shí)現(xiàn)的，最值問(wèn)題的教學(xué)中，通常會(huì)涉及到動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，衍生出的點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、面動(dòng)，我們需要在動(dòng)態(tài)過(guò)程中找到不變的量，確定題目類型以及對(duì)應(yīng)的解題方法.將動(dòng)態(tài)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問(wèn)題，再進(jìn)行深層次的解題研究，思路會(huì)更加清晰.為了讓學(xué)習(xí)效果更加可視化，可以采取建立量規(guī)式量表的形式，構(gòu)建一把測(cè)量尺，讓學(xué)生自評(píng)，教師點(diǎn)評(píng)，完成“教—學(xué)—評(píng)”一體的完整閉環(huán).

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