初中數(shù)學(xué)最值問(wèn)題解決方法探究與分析

摘要：本文中主要探討初中數(shù)學(xué)中常用的轉(zhuǎn)化思想，將線段的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成我們熟悉的軌跡探究問(wèn)題，從而提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，拓展學(xué)生數(shù)學(xué)思維方式.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；雙動(dòng)點(diǎn)線段；單動(dòng)點(diǎn)線段；主從聯(lián)動(dòng)性；轉(zhuǎn)化思想

初中數(shù)學(xué)中，平面幾何中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題一直是學(xué)生所面臨的最大難點(diǎn)，其主要涉及動(dòng)點(diǎn)軌跡的確定，單動(dòng)點(diǎn)線段、雙動(dòng)點(diǎn)線段等求最值問(wèn)題.對(duì)于單動(dòng)點(diǎn)線段最值問(wèn)題，可以用定弦定角確定隱圓、費(fèi)馬點(diǎn)模型、旋轉(zhuǎn)加全等或旋轉(zhuǎn)加相似等解題模型將動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)為點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)到直線的最短距離.而雙動(dòng)點(diǎn)線段最值問(wèn)題無(wú)法用上述模型求解.雙動(dòng)點(diǎn)線段模型最主要的特點(diǎn)就是所求線段的兩端點(diǎn)都是動(dòng)點(diǎn)，本文中主要研究如何將雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題通過(guò)所學(xué)的特殊四邊形、三角形全等、圖形平移等初中數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化我們所熟悉的單動(dòng)點(diǎn)模型去解決.常用的解決方法有以下兩種：（1）利用三角形轉(zhuǎn)化為單動(dòng)點(diǎn)線段；（2）利用特殊四邊形轉(zhuǎn)化為單動(dòng)點(diǎn)線段.

1 最值問(wèn)題的分類(lèi)

中考中對(duì)于最值的考查，一般是線段的最值（最大值或最小值）.學(xué)生在學(xué)習(xí)中遇到這類(lèi)問(wèn)題常常覺(jué)得難度較大，思維方式往往比較局限.為了更好地讓學(xué)生有明確的思考方式，迅速找到突破口，本文中對(duì)這類(lèi)最值問(wèn)題做了如下（圖1）歸納，讓學(xué)生有一個(gè)比較系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)和學(xué)習(xí)體系.

由圖1可知，對(duì)于常見(jiàn)的線段最值，其本質(zhì)是點(diǎn)線之間距離、兩點(diǎn)間距離.

2 分類(lèi)例析

2.1 當(dāng)線段屬于單動(dòng)點(diǎn)情況

2.1.1 動(dòng)點(diǎn)軌跡是直線時(shí)用主從聯(lián)動(dòng)性確定直線

例1 如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，A（-3，0），B是y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊在AB的下方作等邊三角形ABP，點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段OP的最小值.

分析：求線段OP的最小值，需先找出點(diǎn)P的軌跡（O為定點(diǎn)，故OP為單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題），根據(jù)△ABP是等邊三角形且點(diǎn)B在直線上運(yùn)動(dòng)，由主從聯(lián)動(dòng)性可知，主動(dòng)點(diǎn)B與從動(dòng)點(diǎn)P和定點(diǎn)A連線的夾角固定為60°，且距離比為定比1（也就是滿足我們常說(shuō)的瓜豆模型的兩個(gè)條件），故可知點(diǎn)P的軌跡和點(diǎn)B軌跡一樣也是直線.

取兩特殊時(shí)刻：（1）當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)，作出點(diǎn)P位置P1；（2）當(dāng)點(diǎn)B在x軸上方且AB與x軸夾角為60°時(shí)，作出點(diǎn)P位置P2.連接P1P2，即為點(diǎn)P的軌跡，如圖3.根據(jù)∠BAP=60°可知，P1P2與y軸夾角為60°.作OP⊥P1P2，如圖4，此時(shí)OP長(zhǎng)度最小，又OP2=OA=3，所以O(shè)P的最小值為32.

2.1.2 動(dòng)點(diǎn)軌跡是圓時(shí)用定弦定角確定圓

例2 如圖5，AB是圓O的直徑，M，N是弧AB（異于點(diǎn)A，B）上兩點(diǎn)，C是弧MN上一動(dòng)點(diǎn)，∠ACB的平分線交圓O于點(diǎn)D，∠BAC的平分線交CD于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，則C，E兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)的比是.

分析：分別考慮C，E兩點(diǎn)的軌跡，點(diǎn)C的軌跡是弧MCN，其對(duì)應(yīng)的圓心角為∠MON，如圖6，半徑為OM（或ON）.再考慮點(diǎn)E的軌跡，考慮到CE，AE都是角平分線，所以連接BE，BE平分∠ABC，如圖7，可得∠AEB=135°.考慮到∠AEB是定角，其對(duì)邊AB是定線段，根據(jù)定邊對(duì)定角，所以點(diǎn)E的軌跡是圓，結(jié)合∠ADB=90°，可知點(diǎn)D即為圓心，DA為半徑，如圖8.點(diǎn)E的軌跡所對(duì)的圓心角為∠MDN，是∠MON的一半，如圖9，所以C，E兩點(diǎn)的軌跡圓半徑之比為1∶2，圓心角之比為2∶1，故弧長(zhǎng)的比值為2.

2.1.3 動(dòng)點(diǎn)軌跡是其他情況時(shí)用主從聯(lián)動(dòng)性確定軌跡

例3 如圖10，在反比例函數(shù)y=－2x的圖象上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)A，連接AO并延長(zhǎng)交圖象的另一支于點(diǎn)B，在第一象限內(nèi)有一點(diǎn)C，滿足AC=BC，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C始終在函數(shù)y=kx的圖象上運(yùn)動(dòng)，若tan∠CAB=2，則k的值為（" ）.

A.2

B.4

C.6

D.8

分析：∠AOC=90°且AO∶OC=1∶2（滿足主從聯(lián)動(dòng)性的兩個(gè)條件），顯然點(diǎn)C的軌跡也是一條雙曲線.分別作AM，CN垂直于x軸，垂足分別為M，N，如圖11所示.連接OC，OM，易證△AMO∽△ONC，則CN=2OM，ON=2AM，所以O(shè)N·CN=4AM·OM，從而k=4×2=8.

2.2 當(dāng)線段兩個(gè)端點(diǎn)都是動(dòng)點(diǎn)的情況

2.2.1 兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)軌跡都是直線時(shí)轉(zhuǎn)化為單動(dòng)點(diǎn)軌跡

例4 如圖12，已知平行四邊形ABCD中，∠B=60°，AB=12，BC=5，P為AB上任意一點(diǎn)（可以與點(diǎn)A，B重合），延長(zhǎng)PD至點(diǎn)F，使得DF=PD，以PF，PC為邊作平行四邊形PCEF，則PE長(zhǎng)度的最小值為.

分析：線段PE的兩個(gè)端點(diǎn)P和E均為動(dòng)點(diǎn)，但很明顯點(diǎn)P的軌跡是直線AB，所以可考慮確定點(diǎn)E的軌跡，從而為求解PE的最值提供便利.如圖13，記PE與CD交點(diǎn)為G.因?yàn)樗倪呅蜳FEC為平行四邊形，易證△PGD∽△EGC，則PGGE=PDCE=PDPF=12，所以PGPE=PGPG+GE=13，即PE=3PG.要求PE的最小值，只要求PG的最小值即可.由圖13可知，當(dāng)PG⊥CD時(shí)PG取最小值，此時(shí)PG依然為雙動(dòng)點(diǎn)情況，但我們可以通過(guò)平移將線段PG轉(zhuǎn)移到CH，利用單動(dòng)點(diǎn)線段去解決.如圖13，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，在Rt△CBH中，由∠B=60°，BC=5，可得sin B=CHBC=32，則CH=532，所以PGmin=CH=532.故PEmin=3PGmin=1532.

2.2.2 兩動(dòng)點(diǎn)軌跡分別是直線和圓時(shí)用點(diǎn)到直線距離最短求解

例5 如圖14，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段BC，CD上，且CF=3，CE=2，若點(diǎn)M，N分別在線段AB，AD上運(yùn)動(dòng)，P為線段MF上的點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終保持∠PEB=∠PFC，則線段PN的最小值為.

分析：線段PN的兩端點(diǎn)均為動(dòng)點(diǎn)，并且清楚點(diǎn)N的軌跡是直線AD，所以需要先確定點(diǎn)P的軌跡，為后續(xù)求線段PN的最值提供思路.先證C，E，P，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，取EF的中點(diǎn)O，以EF為直徑作⊙O，連接OP，ON，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知PN≥ON－OP，因?yàn)镺P為定值，根據(jù)垂線段最短，得出當(dāng)O，P，N三點(diǎn)共線，且ON⊥AD時(shí)，ON最小，則PN最小.如圖15，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC于點(diǎn)H，延長(zhǎng)HO交圓O于點(diǎn)P′，交AD于點(diǎn)N′，

根據(jù)垂徑定理和勾股定理求出OH長(zhǎng)，最后根據(jù)線段間的和差關(guān)系求出P′N(xiāo)′長(zhǎng)為9－132，即可得出結(jié)論.

2.2.3 通過(guò)坐標(biāo)系將雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題

例6 如圖16，E為正方形ABCD的邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC交AC于點(diǎn)F，G為DE的中點(diǎn)，連接FG，AB＝4，則FG的最小值是.

分析：由題可知，線段FG的兩個(gè)端點(diǎn)均為動(dòng)點(diǎn)，我們通過(guò)建立常見(jiàn)的平面直角坐標(biāo)系將FG的長(zhǎng)度用含有未知數(shù)的二次函數(shù)來(lái)表示.以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖17，由正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，得D（0，-4），C（4，－4），則直線AC的解析式為y=－x.設(shè)E（x，0），則G12x，－2，F(xiàn)（x，－x），可得FG2=x－12x2+（－x+2）2=54x2－4x+4=54x－852+45，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得答案.

3 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，本文提供了常見(jiàn)的解決線段最值問(wèn)題的方法，讓學(xué)生有一定的思路可追尋，同時(shí)讓學(xué)生能夠看透最值問(wèn)題背后的本質(zhì)和基本知識(shí)點(diǎn).由此可知，當(dāng)遇到最值問(wèn)題求解的時(shí)候，我們可以引導(dǎo)學(xué)生觀察所求問(wèn)題屬于哪種情況，然后用相應(yīng)的方法去突破.因此，只有學(xué)生做到善于分析題目中的條件，深入研究數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想，才能快速地找到問(wèn)題的本質(zhì)，進(jìn)而提高數(shù)學(xué)的解題能力.