初中數(shù)學(xué)圓中最值問(wèn)題解題技巧的探究

【摘要】在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，與圓有關(guān)的最值問(wèn)題是重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，不僅考驗(yàn)學(xué)生對(duì)幾何形狀的理解，還鍛煉學(xué)生的解題技巧和邏輯推理能力.解決這類問(wèn)題，需要掌握一些基本的幾何知識(shí)和求解方法，以便有效地分析和解決問(wèn)題.本文探討初中數(shù)學(xué)中涉及圓中最值問(wèn)題的解題技巧，通過(guò)分析構(gòu)造輔助圓、利用軸對(duì)稱性和構(gòu)建三角形的三邊不等關(guān)系這三種常見(jiàn)的解題方法，幫助學(xué)生更好地理解和應(yīng)對(duì)圓形幾何問(wèn)題中的最值求解過(guò)程.

【關(guān)鍵詞】圓；最值；構(gòu)造輔助圓；解題技巧

1構(gòu)造輔助圓轉(zhuǎn)化求最值

在解決初中數(shù)學(xué)圓中最值問(wèn)題時(shí)，構(gòu)造輔助圓是一種常用且有效的解題技巧.通過(guò)引入一個(gè)與原圓相關(guān)的輔助圓，可以簡(jiǎn)化問(wèn)題的復(fù)雜性，使得最值求解過(guò)程更加直觀和易于處理.

例1如圖1，△ABC中，AC=3，BC=42，∠ACB=45°，AM∥BC，點(diǎn)P在射線AM上運(yùn)動(dòng)，連接BP交△APC的外接圓于點(diǎn)D，則AD的最小值為（）

解析如圖2，連接CD.首先證明∠BDC=135°，由此推出點(diǎn)D在以O(shè)為圓心，OB為半徑的BC上運(yùn)動(dòng)，連接OA交BC于點(diǎn)D′，此時(shí)AD""′的值最小.

因?yàn)锳M∥BC，所以∠MAC=∠ACB=45°，所以∠CDP=∠CAP=45°，∠BDC=135°.

所以點(diǎn)D在以O(shè)為圓心，OB為半徑的BC上運(yùn)動(dòng)（△BOC是等腰直角三角形，∠BOC=90°，OC=OB=4），連接OA交BC于點(diǎn)D′，此時(shí)AD""′的值最小.

因?yàn)椤螦CB=45°，∠COB=45°，所以∠ACO=90°，由勾股定理得OA=5，AD′=OA-OD′=5-4=1，故AD""′的最小值為1.

點(diǎn)評(píng)本題屬于中考填空題中的壓軸題，考查三角形的外接圓與外心、平行線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造輔助圓解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題.

2利用軸對(duì)稱性轉(zhuǎn)化求最值

圓形具有軸對(duì)稱性，這種特性在解決圓的最值問(wèn)題中尤為有用.通過(guò)利用圓心和軸對(duì)稱的特點(diǎn)，可以簡(jiǎn)化問(wèn)題的幾何分析過(guò)程，找到最值點(diǎn)或最值結(jié)果.

例2如圖3，已知圓O的半徑為R，C、D在直徑AB的同側(cè)半圓上，∠AOC=96°，∠BOD=36°，動(dòng)點(diǎn)P在直徑AB上，則CP+PD的最小值是（）

（A）2R.（B）3R.（C）2R.（D）R.

解析首先要確定點(diǎn)P的位置，作點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接C′D，交圓O于點(diǎn)P′，則點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．且此CP+PD的最小值為C′D.

作點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接C′D，OC′，根據(jù)題意以及垂徑定理，得C′D的度數(shù)是120°，則∠C′OD=120°.作OE⊥C′D于點(diǎn)E，則∠DOE=60°，則DE=3/2R，C′D=3R.故選（B）.

點(diǎn)評(píng)此類題只要能夠正確確定點(diǎn)P的位置．此題綜合運(yùn)用了垂徑定理、勾股定理進(jìn)行計(jì)算.

3構(gòu)建三角形的三邊不等關(guān)系求最值

在復(fù)雜的圓形幾何問(wèn)題中，可以利用三角形的三邊不等關(guān)系求解最值.通過(guò)分析構(gòu)建的三角形和三邊，推導(dǎo)出最大或最小值的情況.

例3如圖4，點(diǎn)O為原點(diǎn)，圓O的半徑為1，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），動(dòng)點(diǎn)B在圓O上，以AB為邊作等邊△ABC（順時(shí)針），則線段OC的最小值為（）

解析連接OB，以O(shè)B為邊作等邊△BOE，因?yàn)椤鰽BC，△BOE都是等邊三角形，所以BC=AB，OB=BE，∠ABC=∠EBO=60°，∠CBO=∠EBA，所以△BCO≌△BAE（SAS），所以O(shè)C=AE，在△AOE中，AE≥OA-OE=1，所以當(dāng)點(diǎn)E在線段AO上時(shí)，AE的最小值為1，所以O(shè)C的最小值為1.

點(diǎn)評(píng)本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

4結(jié)語(yǔ)

本文深入分析了初中數(shù)學(xué)中關(guān)于圓的最值問(wèn)題的解題技巧.構(gòu)造輔助圓、利用軸對(duì)稱性和利用三角形的三邊不等關(guān)系，這三種方法為學(xué)生解決圓形幾何問(wèn)題提供了有效的工具和思路，不僅幫助學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)概念，還培養(yǎng)了他們的邏輯推理能力和解決問(wèn)題的能力.

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