GeoGebra融入智慧課堂教學的實踐研究

摘要：智慧課堂是信息技術(shù)發(fā)展與學科教學融合下的新產(chǎn)物，區(qū)別于傳統(tǒng)課堂，具有情境性、功能性、互動性特點。GeoGebra（動態(tài)幾何畫板）是結(jié)合幾何、代數(shù)與微積分的動態(tài)數(shù)學軟件，具有兼容性強、關(guān)聯(lián)性強的特點，借助這一優(yōu)勢，將GeoGebra融入智慧課堂，動態(tài)演示圖象，收到“化靜為動”的效果。本文以《函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)》為例，介紹GeoGebra融入智慧課堂教學的實踐案例。

關(guān)鍵詞：GeoGebra 智慧課堂 教學實踐

近年來伴隨著信息技術(shù)的發(fā)展推進，智慧教育勢在必行?；谥腔燮脚_的智慧教室旨在發(fā)展高技能和創(chuàng)新人才，依托大數(shù)據(jù)，進行諸如學情分析、學科診斷，以此構(gòu)建學習過程文檔和多元智能評估體系。本文探討以智慧課堂為載體，融入動態(tài)作圖軟件GeoGebra，利用其兼容性強、開源性、關(guān)聯(lián)性強等功能特點，動態(tài)展示函數(shù)切線，并以《函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)》為例論述教學實踐。

一、智慧課堂模式下的數(shù)學教學

相較于傳統(tǒng)課堂，智慧課堂交流更具有公平性，是一個所有人都可以展示的平臺，不受個體差異的限制，課堂互動更具有多樣性，課堂不再是教師的滿堂灌，學生可以通過搶答、隨機抽取、彈幕等功能展現(xiàn)學習狀態(tài)，為教師提供實時、精準的教學反饋。

目前智慧課堂教學具體流程見圖1。

課前，教師借助大數(shù)據(jù)平臺進行學情分析，同時發(fā)布與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的導學案進行預習測評，根據(jù)學情分析和學生預習測評的結(jié)果，制定有針對性的教學設(shè)計。

課中，教師結(jié)合預習反饋的結(jié)果，創(chuàng)設(shè)情境導入課題，師生、生生之間展示分享課前討論結(jié)果，引出本節(jié)課問題和內(nèi)容；分析探究部分，教師可利用智慧平臺教師端的搶答、隨機抽取、鼓勵等功能調(diào)動學生的課堂積極性；應用舉例部分，可利用實物展臺、學生講、白板等功能在線直播投屏學生解題過程，高效直觀，師生共同發(fā)現(xiàn)問題，解決問題；總結(jié)提升部分，無論是學生整體回答還是教師點名提問，都無法讓所有學生參與其中，結(jié)合這一現(xiàn)狀，教師可嘗試在教師端打開“彈幕”，引導學生就本節(jié)課的內(nèi)容、運用的數(shù)學思想方法在討論區(qū)暢所欲言。

課后，教師在智慧平臺完成作業(yè)發(fā)布，學生可在學生端完成并上傳作業(yè)，教師通過移動端及時批閱，智慧平臺根據(jù)教師批閱結(jié)果個性化推送相關(guān)習題，對學生進行個性化輔導。

二、GeoGebra軟件簡介及功能特點

GeoGebra是一個兼顧幾何、代數(shù)與微積分的動態(tài)數(shù)學軟件，不僅可以繪制動態(tài)圖象，同時具備處理變數(shù)的能力。在適用范圍方面，相較于常用數(shù)學軟件幾何畫板，GeoGebra不僅可以對點、直線、多邊形進行幾何變換，而且能夠?qū)A錐曲線進行幾何變換；在函數(shù)建立方面，幾何畫板只能建立一般表示方法下的函數(shù)，即“f（x）=”，而GeoGebra同時可建立形如“xy=2”的函數(shù)；在度量計算方面，相較于幾何畫板，GeoGebra通過指令還可以實現(xiàn)積分與微積分運算、矩陣運算、列表運算等。

在運行環(huán)境方面，相較于其他數(shù)學軟件，GeoGebra對硬件要求極低，可在安卓、Windows操作系統(tǒng)上運行且不會出現(xiàn)任何兼容性問題，與此同時，GeoGebra開發(fā)出能夠在平板和手機上運行的版本，保證在任何地方都可以開展數(shù)學學習，支持“移動學習”。因此，GeoGebra更加符合智慧平臺的運行要求。值得注意的是，2019年人教版高中數(shù)學教材已經(jīng)將GeoGebra作為信息技術(shù)應用推薦軟件。

三、《函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)》教材分析

函數(shù)的單調(diào)性在《數(shù)學1》中已經(jīng)介紹，本節(jié)利用導數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，將極限的思想運用到《數(shù)學1》中函數(shù)單調(diào)性的定義中去，用函數(shù)在某區(qū)間上的平均變化率f（x₂）-f（x₁）/x₂-x₁逐步逼近某點的瞬時變化率，即x₂→x₁，Δx→0時的情況，充分展示了先前研究函數(shù)的靜態(tài)思想轉(zhuǎn)化為利用極限研究函數(shù)的動態(tài)思想。

本節(jié)以本章中一以貫之的例子——高臺跳水，引出具有實際物理背景的函數(shù)h（t）的單調(diào)性與速度v（t）正負的關(guān)系，后通過冪函數(shù)圖象，借助幾何直觀歸納出函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的正負關(guān)系。書中給出了一般情況下的歸納總結(jié)：“在x=x₀處，f′（x₀）gt;0，切線是‘左下右上’的上升式，函數(shù)f（x）在x=x₀附近單調(diào)遞增?！比绾谓柚腔燮脚_動態(tài)地“展示”函數(shù)從一點處的單調(diào)性，到一點附近的單調(diào)性，進而到整個區(qū)間上的單調(diào)性這一過程，這是值得探究的問題。本文將探討如何利用GeoGebra兼容性強的優(yōu)勢，在智慧平臺教師端實時操作展示。

四、GeoGebra融入智慧課堂教學實踐案例

接下來以2019高中數(shù)學新教材選擇性必修第二冊第五章第三節(jié)《函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)》為例，介紹GeoGebra融入智慧課堂教學實踐。

（一）課前：利用智慧平臺在教師端推送三個問題

提前閱讀教材選擇性必修二P₈4思考板塊的運動員高臺跳水案例。

【學案】嘗試回答下列問題：

（1）觀察ht圖象，你認為運動員的運動狀態(tài)可以分為幾類？

（2）ht圖象在區(qū)間0，a中為什么遞增，在區(qū)間a，b中為什么遞減？

（3）函數(shù)ht單調(diào)性和vt函數(shù)值正負有怎樣的關(guān)系？

【設(shè)計意圖】以上三個問題是根據(jù)教材思考提煉出來的，讓學生從物理角度說明具有實際物理背景的函數(shù)h（t）的單調(diào)性與其導數(shù)的正負關(guān)系，提前讓學生作答，帶著問題學習。

（二）課中

1.創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

引言：前幾節(jié)課我們通過高臺跳水案例學習了平均變化率，而平均變化率取極限就是我們所說的導數(shù)。本節(jié)課我們繼續(xù)研究高臺跳水這一案例，看從中還能得出怎樣的結(jié)論。

師生活動：師生共同處理課前推送的問題。

【設(shè)計意圖】高臺跳水是本章一以貫之的例子，本節(jié)課前讓學生完成學案中的問題，結(jié)合物理知識弄清楚因為vt函數(shù)值為正值，速度方向向上，因此h（t）圖象在0，a中單調(diào)遞增，進而推廣到一般情況，符合由特殊到一般的研究思路。

追問：但是ht是一個具有實際物理意義的函數(shù)，對于數(shù)學中其他的更一般的函數(shù)，是否還能得出這樣的結(jié)論呢？

2.觀察圖象，分析探究

問題：觀察下列函數(shù)圖象，完成學案中的表格，探討函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系。

師生活動：學生觀察、思考、討論，完成學案中的表格；教師巡視、指導，將學生的填寫情況通過智慧課堂同屏到白板上。

【設(shè)計意圖】根據(jù)簡單的冪函數(shù)圖象（幾何直觀）及其導函數(shù)的計算，分析表格中的數(shù)據(jù)，探討函數(shù)的單調(diào)性與導函數(shù)正負的關(guān)系，脈絡清晰，利用智慧課堂分享學生的填表結(jié)果，共同交流歸納。

3.歸納總結(jié)，得出結(jié)論

問題：根據(jù)以上表格中函數(shù)單調(diào)性的討論結(jié)果，你可以得到怎樣的結(jié)論？

更一般的函數(shù)也具有這樣的性質(zhì)，因為嚴格證明超出了我們現(xiàn)有的知識范圍，先用GeoGebra操作演示。

教師活動：直接打開平板中的GeoGebra軟件，拖動滑條，給學生展示隨著切點變化對應切線變化的動態(tài)圖象，并同屏至白板上，觀察切線斜率與單調(diào)性的關(guān)系，歸納出一般性的結(jié)論。

【設(shè)計意圖】根據(jù)新課標，本節(jié)內(nèi)容學生只需歸納，無須嚴格證明。為了直觀反映區(qū)間內(nèi)任意一點切線變化與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，我們利用GeoGebra（可在智慧平臺中運行）給學生動態(tài)展示，收到化“靜”為“動”的效果。

問題：若在某區(qū)間中恒有f′x=0，則函數(shù)圖象有怎樣的變化趨勢？

師生活動：教師在教師端開啟“搶答”模式，學生搶答。

4.應用舉例，運用新知

例1：已知函數(shù)f（x）導函數(shù)f′（x）圖象，試畫出函數(shù)f（x）的圖象的大致形狀。

師生活動：教師引導學生通過觀察、思考、動手操作自主在學案上作圖，教師利用智慧課堂中的實物展臺對學生的作圖過程加以錄像，并展示不同學生的作圖結(jié)果。

【設(shè)計意圖】學生動手實踐繪制圖象，以深化對內(nèi)容的理解，可適當探討f′（x）=0的點，為下節(jié)課內(nèi)容做鋪墊。同時展示不同學生圖象，讓學生發(fā)現(xiàn)由導數(shù)正負得出的函數(shù)圖象并不唯一，解釋“大致形狀”。

例2：判斷函數(shù)單調(diào)性，并求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

原式：f（x）=x³+3x 變式：f（x）=x³+3x²

師生活動：教師引導學生給出解題方法，對于原式教師利用智慧平板給出求解步驟，對于變式教師板書過程。

【設(shè)計意圖】例2的兩個式子是三次多項式形式的函數(shù)，不同的是，教材中給出的原式的導函數(shù)恒為正值，因此只有增區(qū)間，變式稍加改動，其導數(shù)有正有負，需要求f′（x）gt;0，f′（x）lt;0的解集確定單調(diào)區(qū)間，促進學生對利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間這一方法的運用。

師生活動：教師在GeoGebra軟件上畫出兩函數(shù)圖象，供學生觀察。

【設(shè)計意圖】利用GeoGebra兼容性強的優(yōu)勢，在智慧平臺上直接作圖，將函數(shù)的解析式、圖象有機結(jié)合起來，用函數(shù)圖象為結(jié)論提供直觀支持。

問題：除了導數(shù)，還有哪些方法可用于判斷函數(shù)的單調(diào)性？

師生活動：教師在智慧課堂平臺中開啟“學生講”功能，學生在平板上書寫利用單調(diào)性定義判斷函數(shù)單調(diào)性的過程，白板上同時隨機呈現(xiàn)四位同學的做題步驟。

【設(shè)計意圖】讓學生感受根據(jù)定義判斷函數(shù)單調(diào)性具有極大的局限性，突出利用導數(shù)方法判斷單調(diào)性具有普適性、通用性。

問題：定義和導數(shù)都可以判斷部分函數(shù)的單調(diào)性，它們之間會有什么聯(lián)系呢？

【設(shè)計意圖】揭示定義和導數(shù)兩種方法之間的本質(zhì)聯(lián)系，了解之前定義的靜態(tài)思想和現(xiàn)今利用極限研究函數(shù)單調(diào)性的動態(tài)思想，對兩種方法有更深層次的理解。

原式：f（x）=sinx-x，x∈0，π

變式：f（x）=cosx+?x，x∈0，π

師生活動：教師引導學生給出解題方法，對于原式教師利用智慧課堂在平板上給出求解步驟；對于變式教師請學生在平板上寫出過程，同屏至白板上，其他學生紙筆作答。

【設(shè)計意圖】變式導數(shù)有正有負，涉及三角函數(shù)不等式求解，難度較大，學生容易犯錯，讓學生在平板上作答，展示步驟中的優(yōu)點或出現(xiàn)的問題，加深學生印象。

5.強化練習，鞏固新知

練習：判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

原式：f（x）=x-4lnx-1

變式：f（x）=x-4lnx-1x

師生活動：對于原式教師引導學生注意定義域的限制，請一位學生在黑板上作答，教師巡視、指導；對于變式學生課下作答。

【設(shè)計意圖】練習題難度加深，涉及原函數(shù)求導之后導函數(shù)的化簡、化簡后導函數(shù)正負的判斷以及定義域等問題，訓練學生解題思維。

6.梳理小結(jié)，深化理解

（1）如何研究函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系？

（2）怎樣判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性？

師生活動：教師開放教師端“互動”區(qū)，每個學生以發(fā)“彈幕”形式就本節(jié)課的知識內(nèi)容、思想方法暢所欲言。

【設(shè)計意圖】開啟“彈幕”，以更加新穎的方式吸引學生的注意力，調(diào)動學生的積極性，最大限度地讓每位學生參與課堂、享受課堂。

（三）課后

（1）作業(yè)布置：通過教師端發(fā)布課后習題，并設(shè)置提交時間段。

（2）個性推送：學生提交后，教師在移動端及時批改，數(shù)據(jù)庫根據(jù)學生作業(yè)批改結(jié)果向?qū)W生推送個性化練習。

五、智慧課堂教學反思

1.智慧課堂教學手段豐富

本節(jié)課課前、課中、課后三個階段充分發(fā)揮了智慧課堂的獨特優(yōu)勢。課前通過智慧平臺發(fā)送預

習材料給學生，并進行在線檢測與輔導，完成前置學習；課中利用智慧平臺的搶答、隨機制取、彈幕等功能，開啟師生、生生交互模式，極大調(diào)動了學生熱情興趣，讓學生“動”了起來，白板、實物展臺、學生講等功能幫助教師全面、準確地了解學情，課堂掌控更加精準；課后通過教師端發(fā)布作業(yè)，學生提交，教師及時批改，完成了個性化的作業(yè)推送與輔導?？傮w而言，本節(jié)課教學效果良好，智慧平臺功能使用較為恰當，達到預定的教學目標。

2.GeoGebra應用于智慧課堂更加適宜

目前高中常用的數(shù)學軟件仍然是幾何畫板，但幾何畫板在智慧平臺中無法運行，而GeoGebra具有兼容性強、開源性、關(guān)聯(lián)性強的功能特點，可以在智慧課堂環(huán)境中正常操作運行，極大地克服了幾何畫板的弊端，同時GeoGebra可手動拖動“滑條”，讓動態(tài)展示變得更具有可控性，攻克了本節(jié)教學難點，因此GeoGebra在智慧課堂教學環(huán)境下具有極大的推廣空間。

3.GeoGebra應用于智慧課堂需注意時間分配

相較于傳統(tǒng)教學，智慧課堂環(huán)境中不可控因素更多，比如硬件運行時間、學生操作的熟練程度等，所以課題選擇和教學設(shè)計都需預留部分時間。同時，正常授課中應著重展示GeoGebra的動態(tài)作圖效果，所以前期復雜的設(shè)置應留在課前完成，但學生需要具備簡單數(shù)學軟件操作能力，因此在高中選修課上可開設(shè)常用數(shù)學軟件教學課程，以拓寬學生視野，適應核心素養(yǎng)培養(yǎng)的要求。

隨著人工智能、大數(shù)據(jù)技術(shù)的飛速發(fā)展，智慧平臺的技術(shù)手段和教學資源日益完善，與此同時教學實踐的相關(guān)研究也在不斷深化，本文提出將GeoGebra融入智慧課堂，給廣大教師及研究者提供了一些教學參考，但如何將數(shù)學軟件更好地應用與智慧課堂上仍是值得我們研究的問題。

參考文獻：

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[2]鮑克元.幾何畫板與GeoGebra在初中數(shù)學教學中的適用性比較研究[D].南京：南京師范大學，2018.

責任編輯：黃大燦