如何求解二次函數(shù)中的三角形面積問題

求解二次函數(shù)中三角形的面積問題是考試中的常見問題.與三角形面積相關(guān)的問題因其靈活性和綜合性較強(qiáng)，成為同學(xué)們學(xué)習(xí)的難點(diǎn).文章通過一道典型例題詳細(xì)說明了求解二次函數(shù)中三角形面積問題的不同方法，如公式法、割補(bǔ)法、切線法等.希望同學(xué)們在解題時(shí)能夠從多角度思考問題，歸納總結(jié)不同的解題方法，從而達(dá)到“解一題，通一類，會(huì)一片”的效果.

典型例題：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），B（3，0）與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)P.

（1）b=，c=.

（2）如圖2，若該拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)D，則SΔABC=，SΔDPC=.

（3）如圖3，求ΔBCP的面積？

（4）如圖4，在線段BC下方的拋物線上，是否存在一動(dòng)點(diǎn)E，使得ΔBCE的面積最大？若存在，請求出ΔBCE面積的最大值以及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請闡述理由.

對于問題（1），只需將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=x2+bx+c中便可以求出b和c的值，求得b=-2，c=-3，對于問題（2）（3）（4）與面積有關(guān)的問題，我們分別采用不同的方法進(jìn)行解答說明.

一、公式法

在平面直角坐標(biāo)系中，已知三角形三頂點(diǎn)是三定點(diǎn)且其中一邊與坐標(biāo)軸平行或者在坐標(biāo)軸上時(shí)，可以以在坐標(biāo)軸上線段或以與軸平行的線段為底邊，以第三點(diǎn)到該邊的距離為三角形的高，直接利用三角形的面積公式求出該三角形的面積.

對于典例的問題（2），可以直接用公式法求出ΔABC和ΔDPC的面積.

解：

二、割補(bǔ)法

在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)三角形任意一邊均不在坐標(biāo)軸上，或者不與坐標(biāo)軸平行時(shí)，一般采用割補(bǔ)法求解.割補(bǔ)法就是將所求三角形通過分割或補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為易于計(jì)算面積的圖形，分別計(jì)算出它們的面積，再通過求和或求差得到原三角形的面積.

對于典例的問題（3），可以用割補(bǔ)法求ΔBCP的面積.

解：

三、鉛垂法

鉛垂法是一種求三角形面積的特殊方法，主要用于解答三邊都不在坐標(biāo)軸上或不平行于坐標(biāo)軸的三角形面積問題.鉛垂法的原理是通過過三角形的任意一個(gè)頂點(diǎn)作x軸或y軸的平行線，得到三角形的水平寬和鉛垂高，然后利用公式：三角形的面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半來求解.

對于典例的問題（3），還可以用鉛垂法求ΔBCP的面積.

解：

鉛垂法也是求三邊都不平行于坐標(biāo)軸或都不在坐標(biāo)軸上的三角形的面積最值的常用方法.求二次函數(shù)中三角形面積的最值，往往可以轉(zhuǎn)化為求鉛垂高的最值，當(dāng)鉛垂高取得最大值時(shí)，三角形的面積最大.

對于典例的問題（4），我們可以用鉛垂法求ΔBCE面積的最大值.

解：

四、切線法

切線法就是通過過動(dòng)點(diǎn)作與某條邊平行的直線（這條邊不平行于對稱軸），然后逐漸平移該直線，找到直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)（即相切）的位置，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)到該邊的距離最大，對應(yīng)的三角形面積也達(dá)到最大值.切線法也是解答因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的面積最值問題的常用方法.

對于典例的問題（4），我們可以用切線法求出Δ BCE面積的最大值.

解

總之，二次函數(shù)中三角形面積問題主要分為兩類，即求三角形面積問題和求三角形面積的最值問題.通過以上實(shí)例可以看出，公式法適用于已知頂點(diǎn)坐標(biāo)且特殊的情況；割補(bǔ)法在復(fù)雜的圖形中具有較強(qiáng)的靈活性和實(shí)用性；鉛垂法是解答此類問題最簡單的方法；切線法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中最為常見的數(shù)形結(jié)合思想，將三角形的一邊作為底，只要求出高的最大值就可以求出面積的最大值.同學(xué)們在解答二次函數(shù)中三角形的面積問題時(shí)，應(yīng)根據(jù)具體情況選擇合適的方法.