求解二次函數(shù)中三角形的面積問題是考試中的常見問題.與三角形面積相關(guān)的問題因其靈活性和綜合性較強(qiáng),成為同學(xué)們學(xué)習(xí)的難點(diǎn).文章通過一道典型例題詳細(xì)說明了求解二次函數(shù)中三角形面積問題的不同方法,如公式法、割補(bǔ)法、切線法等.希望同學(xué)們在解題時(shí)能夠從多角度思考問題,歸納總結(jié)不同的解題方法,從而達(dá)到“解一題,通一類,會(huì)一片”的效果.
典型例題:如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),B(3,0)與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為點(diǎn)P.
(1)b=,c=.
(2)如圖2,若該拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)D,則SΔABC=,SΔDPC=.
(3)如圖3,求ΔBCP的面積?
(4)如圖4,在線段BC下方的拋物線上,是否存在一動(dòng)點(diǎn)E,使得ΔBCE的面積最大?若存在,請求出ΔBCE面積的最大值以及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請闡述理由.
對于問題(1),只需將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=x2+bx+c中便可以求出b和c的值,求得b=-2,c=-3,對于問題(2)(3)(4)與面積有關(guān)的問題,我們分別采用不同的方法進(jìn)行解答說明.
一、公式法
在平面直角坐標(biāo)系中,已知三角形三頂點(diǎn)是三定點(diǎn)且其中一邊與坐標(biāo)軸平行或者在坐標(biāo)軸上時(shí),可以以在坐標(biāo)軸上線段或以與軸平行的線段為底邊,以第三點(diǎn)到該邊的距離為三角形的高,直接利用三角形的面積公式求出該三角形的面積.
對于典例的問題(2),可以直接用公式法求出ΔABC和ΔDPC的面積.
解:
二、割補(bǔ)法
在平面直角坐標(biāo)系中,當(dāng)三角形任意一邊均不在坐標(biāo)軸上,或者不與坐標(biāo)軸平行時(shí),一般采用割補(bǔ)法求解.割補(bǔ)法就是將所求三角形通過分割或補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為易于計(jì)算面積的圖形,分別計(jì)算出它們的面積,再通過求和或求差得到原三角形的面積.
對于典例的問題(3),可以用割補(bǔ)法求ΔBCP的面積.
解:
三、鉛垂法
鉛垂法是一種求三角形面積的特殊方法,主要用于解答三邊都不在坐標(biāo)軸上或不平行于坐標(biāo)軸的三角形面積問題.鉛垂法的原理是通過過三角形的任意一個(gè)頂點(diǎn)作x軸或y軸的平行線,得到三角形的水平寬和鉛垂高,然后利用公式:三角形的面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半來求解.
對于典例的問題(3),還可以用鉛垂法求ΔBCP的面積.
解:
鉛垂法也是求三邊都不平行于坐標(biāo)軸或都不在坐標(biāo)軸上的三角形的面積最值的常用方法.求二次函數(shù)中三角形面積的最值,往往可以轉(zhuǎn)化為求鉛垂高的最值,當(dāng)鉛垂高取得最大值時(shí),三角形的面積最大.
對于典例的問題(4),我們可以用鉛垂法求ΔBCE面積的最大值.
解:
四、切線法
切線法就是通過過動(dòng)點(diǎn)作與某條邊平行的直線(這條邊不平行于對稱軸),然后逐漸平移該直線,找到直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)(即相切)的位置,此時(shí)動(dòng)點(diǎn)到該邊的距離最大,對應(yīng)的三角形面積也達(dá)到最大值.切線法也是解答因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的面積最值問題的常用方法.
對于典例的問題(4),我們可以用切線法求出Δ BCE面積的最大值.
解
總之,二次函數(shù)中三角形面積問題主要分為兩類,即求三角形面積問題和求三角形面積的最值問題.通過以上實(shí)例可以看出,公式法適用于已知頂點(diǎn)坐標(biāo)且特殊的情況;割補(bǔ)法在復(fù)雜的圖形中具有較強(qiáng)的靈活性和實(shí)用性;鉛垂法是解答此類問題最簡單的方法;切線法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中最為常見的數(shù)形結(jié)合思想,將三角形的一邊作為底,只要求出高的最大值就可以求出面積的最大值.同學(xué)們在解答二次函數(shù)中三角形的面積問題時(shí),應(yīng)根據(jù)具體情況選擇合適的方法.
語數(shù)外學(xué)習(xí)·初中版2024年9期