小學(xué)數(shù)學(xué)化錯教學(xué)：是何、為何、何為

【摘 要】在數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，有的教師常受“無錯原則”影響，過分聚焦學(xué)生的答題正確率，而忽視錯誤對學(xué)生學(xué)習(xí)與成長的教育價值。化錯教學(xué)將錯誤視為一種有價值的教學(xué)資源，并強調(diào)將其相機融入教學(xué)過程。通過這種方式，學(xué)生能親身體驗在自然狀態(tài)下“獵錯”、以明察眼光“辨錯”、用耐心等待“完錯”、在關(guān)鍵地方“悟錯”，促使學(xué)生在化錯中學(xué)習(xí)，在化錯中成長，最終實現(xiàn)化錯育人的目標(biāo)。

【關(guān)鍵詞】化錯教學(xué) 小學(xué)數(shù)學(xué)課堂 化錯育人

【中圖分類號】G623.45 " 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A" 【文章編號】1002-3275（2024）10-60-04

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱課程標(biāo)準(zhǔn)）強調(diào)：“數(shù)學(xué)在形成人的理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)個人智力發(fā)展中發(fā)揮著不可替代的作用?！痹跀?shù)學(xué)教學(xué)實踐中，有的教師常受“無錯原則”影響，過分聚焦學(xué)生的答題正確率，而忽視錯誤對學(xué)生學(xué)習(xí)與成長的教育價值。化錯教學(xué)的實施，將錯誤視為一種有價值的教學(xué)資源，將其相機融入教學(xué)過程。這種教學(xué)方法有助于消除學(xué)生對錯誤的恐懼心理，使學(xué)生在經(jīng)歷錯誤轉(zhuǎn)化的過程中，以科學(xué)、理性的態(tài)度分析錯誤產(chǎn)生的本質(zhì)原因，從而激發(fā)學(xué)生理性的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)他們科學(xué)的創(chuàng)新精神，最終實現(xiàn)啟智潤心、化錯育人的終極目標(biāo)。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)化錯教學(xué)是何

“化錯”一詞是華應(yīng)龍在教學(xué)實踐與探索中提出的概念?；e既揭示了傳統(tǒng)的改正錯誤的糾錯本意，也跳出了原有的糾錯范圍，正如華應(yīng)龍所言：“妙在看到了學(xué)生差錯中的‘對’?！保?］化錯不僅強調(diào)讓教師認(rèn)識到差錯在課堂教學(xué)中的潛在價值，而且鼓勵學(xué)生積極正視并坦然暴露自身的錯誤，從而改變學(xué)習(xí)觀念與行為。

（一）化錯教學(xué)的教育學(xué)意義

從教育學(xué)視角看，化錯教學(xué)是指把課堂教學(xué)中的差錯轉(zhuǎn)化為一種教學(xué)資源，相機融入后續(xù)的教學(xué)過程中，化錯誤為正確，變“事故”為“故事”，化“腐朽”為“神奇”。為實現(xiàn)這一目標(biāo)，教師要做到包容和善待學(xué)生的錯誤，運用自身的教學(xué)智慧和教育情懷，細(xì)心地關(guān)注學(xué)生從“錯”到“對”轉(zhuǎn)化的過程，巧妙地化解學(xué)生的錯誤并為教學(xué)所用，促進(jìn)師生雙方從錯誤中共同進(jìn)步、成長。

（二）化錯教學(xué)的心理學(xué)意義

從心理學(xué)視角看，桑代克所提出的學(xué)習(xí)是一種不斷嘗試新觀點與改錯的過程的學(xué)習(xí)理論，為解釋化錯教學(xué)提供了一種新思路，即學(xué)習(xí)不僅僅是為了掌握正確的觀點與知識，更重要的是在不斷嘗試新觀點和改正錯誤的過程中，探索由錯誤引發(fā)的認(rèn)知思維上的“碰撞”，并從中獲得真實的學(xué)習(xí)體驗。這種倡導(dǎo)不斷試錯的學(xué)習(xí)模式為化錯教學(xué)注入了新的生命力。在這種化錯的環(huán)境下，學(xué)生敢于表露因錯誤所產(chǎn)生的不同認(rèn)知，在積極反思中樹立正確的學(xué)習(xí)觀念，從而激發(fā)創(chuàng)新思維、學(xué)習(xí)動機、學(xué)習(xí)興趣。

（三）化錯教學(xué)的實踐意義

在探討教育學(xué)與心理學(xué)理論的基礎(chǔ)上，結(jié)合實際教學(xué)問題，可形成從理論探索到實踐驗證的良性循環(huán)。課堂是一個隨時會出現(xiàn)錯誤且允許學(xué)生犯錯的學(xué)習(xí)場所，真實的數(shù)學(xué)課堂正是因為化錯的良性循環(huán)而充滿活力。化錯教學(xué)讓學(xué)生親歷從出錯到成長的全過程，即通過引導(dǎo)學(xué)生在自然狀態(tài)下“獵錯”，把“錯”當(dāng)作沙灘上美麗的貝殼撿起；以善于觀察的眼光“辨錯”，用凸透鏡把“錯”中的“對”放大；用耐心等待“完錯”，展現(xiàn)從“錯”中學(xué)習(xí)的全景全貌；在關(guān)鍵地方“悟錯”，讓成長在化錯過程中發(fā)生。［2］

二、小學(xué)數(shù)學(xué)化錯教學(xué)為何

小學(xué)數(shù)學(xué)化錯教學(xué)的實施不僅能使教師洞察學(xué)生已存在的錯誤，而且能超越錯誤，發(fā)掘其中蘊含的教育價值。誠如王尚志所言，化錯教學(xué)從單純糾正做題錯誤和數(shù)學(xué)錯誤的層面跳出來，賦予這個問題以教育意蘊，這樣的拓展是自然的、必要的、有價值的。［3］

（一）實施化錯教學(xué)是促使學(xué)生自發(fā)認(rèn)識錯誤之始

在數(shù)學(xué)課堂上，學(xué)生時常會遇到一些復(fù)雜難懂、以當(dāng)前認(rèn)知水平難以解決的問題，如工程問題、行程問題等，當(dāng)學(xué)生遇到這類問題時難免會犯錯?；e教學(xué)正是著眼于學(xué)生這種自然發(fā)生的犯錯狀態(tài)，采用潛移默化的教學(xué)手段，逐步引導(dǎo)學(xué)生自覺認(rèn)識并糾正學(xué)習(xí)過程中的各種錯誤。

（二）實施化錯教學(xué)是“自主探索、合作交流”學(xué)習(xí)之需

學(xué)生在課堂中出現(xiàn)的錯誤是隨機生成的，是一種動態(tài)性的教學(xué)資源?；e教學(xué)的實施將錯誤生成的隨機性與學(xué)生學(xué)習(xí)方式的動態(tài)性結(jié)合在一起。課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)的“自主探索、合作交流”的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生的各種錯誤有了化解的途徑。化錯教學(xué)與學(xué)生的學(xué)習(xí)方式相匹配，教師細(xì)心關(guān)注學(xué)生的錯誤，同時使它們被巧妙地、創(chuàng)造性地化解，為學(xué)生提供自主思考、合作交流的學(xué)習(xí)空間。正如華應(yīng)龍所言，有“化錯”，才有我們期待已久的主動學(xué)習(xí)、獨立思考、創(chuàng)新活動的發(fā)生。［4］

（三）實施化錯教學(xué)是創(chuàng)造“榮錯”價值之本

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師應(yīng)從學(xué)生的立場出發(fā)，為學(xué)生學(xué)習(xí)中的錯誤指引方向。恩格斯指出，最好的學(xué)習(xí)是從錯誤中學(xué)習(xí)。教師有針對性地引導(dǎo)學(xué)生從錯誤中學(xué)習(xí)顯得十分必要?；e教學(xué)的實施強調(diào)教師以引導(dǎo)者的身份，引導(dǎo)學(xué)生對錯誤進(jìn)行思辨，使他們暴露自身錯誤并充分表達(dá)不同觀點。通過碰撞思維和討論觀點，學(xué)生能夠意識到每個錯誤都有學(xué)習(xí)的價值，將錯誤視為發(fā)展自我的良好契機，不斷從錯誤中學(xué)習(xí)，從而彰顯“榮錯”的價值本位。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)化錯教學(xué)何為

課堂具有生成性，意味著學(xué)生隨時會出現(xiàn)錯誤且允許學(xué)生犯錯。真實的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂正是因為“獵錯—辨錯—完錯—悟錯”的化錯過程而充滿生機活力，促使學(xué)生在化錯中學(xué)習(xí)，在化錯中成長，最終實現(xiàn)化錯育人的終極目標(biāo)。小學(xué)數(shù)學(xué)化錯教學(xué)各階段如圖1所示）。

（一）在自然狀態(tài)下“獵錯”

“獵錯”作為化錯教學(xué)的起始階段，教師應(yīng)捕捉每個學(xué)生隨機出現(xiàn)的錯誤，并使其自然化解，成為寶貴的教學(xué)資源。例如關(guān)于工程問題的重要例題：學(xué)校附近要修一條路，甲隊單獨修12天修完，乙隊單獨修18天修完，請問甲、乙兩隊合修，需要多少天？在課堂上，少部分學(xué)生答題時會出現(xiàn)這樣的錯誤：12÷2+18÷2=6+9=15（天）。此時，教師不應(yīng)該著急否定或批評這類學(xué)生思考上的偏差，而需因勢利導(dǎo)，鼓勵他們自發(fā)找出并思考其中存在的錯誤，如可以提問：“我們都想聽聽你這樣答題的理由，可以向大家分享嗎？”或“其他同學(xué)知道這個結(jié)果是怎樣想出來的嗎？”從而引導(dǎo)學(xué)生在自我反思以及與同伴思辨中尋找到錯誤的思路：將“甲、乙兩隊合修”等同為甲隊修總路程的一半，乙隊修總路程的一半，最后把甲、乙兩隊各修一半的天數(shù)相加?？梢?，有的學(xué)生對“合修”一詞的數(shù)學(xué)內(nèi)涵理解存在偏差、誤區(qū)。為此，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生在自然學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中發(fā)覺自己的錯誤，而不應(yīng)強制要求學(xué)生背誦、默寫正確的答題算式，加重學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)與消極情緒。教師只有真正了解錯誤的根源，從錯誤的源頭出發(fā)，才能為下一步“辨錯”提供依據(jù)。

馬丁·布伯強調(diào)，要建立“我—你”的本真關(guān)系，主張師生間要真誠、平等對話。［5］面對學(xué)生呈現(xiàn)的各種錯誤，教師應(yīng)與學(xué)生形成“化錯共同體”，尊重學(xué)生的犯錯心理，體諒學(xué)生的犯錯行為，將錯誤轉(zhuǎn)化為師生深度交流、共同成長的有效契機。此外，教師應(yīng)及時鼓勵犯錯的學(xué)生，促使他們直面錯誤并充分展示自己的思維過程，同時為他們提供廣闊的探究空間，引導(dǎo)他們對自己的想法作出修正，使錯誤得以自然化解。如此一來，錯誤便能轉(zhuǎn)變?yōu)閷氋F的教學(xué)資源，為化錯教學(xué)提供資源。

（二）以善于觀察的眼光“辨錯”

在“辨錯”分析階段，教師需善于觀察學(xué)生所犯錯誤，深究其產(chǎn)生的根本原因。例如在上例工程問題中，教師應(yīng)從錯誤起源出發(fā)，必要時繪制簡易圖形幫助學(xué)生理解題意，圍繞“合修”一詞相關(guān)的數(shù)學(xué)工程問題的價值內(nèi)涵，引導(dǎo)學(xué)生充分討論，使他們明白“合修”應(yīng)為兩隊同時進(jìn)行修路，把合修總路程視為單位“1”，兩隊合修的總工作效率是將甲隊的工效[1/12]與乙隊的工效[1/18]相加。依據(jù)算理公式：合修總工作時間=合修工作總量÷合修總工作效率，正確列式為1÷[1/12+1/18]=7.2（天）。為滿足不同層次學(xué)生的思維理解需求并增強他們思維的思辨性，同時拓寬答題渠道并驗證計算結(jié)果的正確性，教師應(yīng)再次引導(dǎo)學(xué)生討論用方程求解。通過小組討論，使學(xué)生明白算理，并列出正確的方程式，求出合修總工作時間為7.2天。最后教師通過引導(dǎo)學(xué)生觀察、對比、分析，使其明白運用不同的算理與算法，都能計算出相同的結(jié)果，即7.2天。這樣的“辨錯”教學(xué)有理有據(jù)，讓學(xué)生明晰自己錯誤的來龍去脈，理解并記住正確的答題方法，摒除之前錯誤的解題思想。

再如在“化簡比”中有這樣一道題目：把[1/2]∶[1/3]化成最簡整數(shù)比。遵循比的規(guī)則可以較為容易地求出這道題的答案，即3∶2。但在課堂上仍會出現(xiàn)令人出乎意料的答案，有學(xué)生在化簡[1/2]∶[1/3]時，直接寫下答案：[1/2]∶[1/3]=2∶3。如果教師未發(fā)現(xiàn)這類學(xué)生的錯誤或?qū)⑦@一錯誤擱置一旁，那么有的學(xué)生便將一直陷在這樣的思維誤區(qū)中。為此，教師應(yīng)洞悉錯誤本身的教學(xué)價值，善待學(xué)生出現(xiàn)的錯誤并提問：“你能給大家說說自己的想法嗎？”在學(xué)生說出自己的思路后，教師需積極回應(yīng)。在教師的鼓勵下，大家會主動將注意力集中于出錯學(xué)生的表達(dá)中，仔細(xì)分析錯誤并辨析其原因，最后共同總結(jié)出正確經(jīng)驗：分子相同的兩個比，它們的化簡比就是兩個分母調(diào)換位置。在全體學(xué)生的參與中，課堂化錯教學(xué)事半功倍。

從對錯誤的分析中，學(xué)生能夠掌握問題分析的方法，進(jìn)行超越非對即錯的二元價值判斷的對事物的多元化解讀。［6］答案有對錯，但思考無對錯，若教師將錯誤視為洪水猛獸，學(xué)生便會避諱錯誤、掩飾錯誤，讓錯誤一直被“冷藏”。反之，教師以誠摯之心鼓勵學(xué)生正視錯誤，既能鍛煉學(xué)生敏銳的洞察力，使其自覺發(fā)現(xiàn)并分析自身存在的錯誤，還能促使他們養(yǎng)成積極糾錯、改錯的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

（三）用耐心等待“完錯”

在“完錯”傾聽階段，教師需放緩課堂節(jié)奏，耐心等待并傾聽學(xué)生錯誤的思考過程，給足他們時間思辨，有可能收獲意想不到的“完錯”效果。以數(shù)學(xué)廣角中經(jīng)典的植樹問題為例：若在20米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵樹，兩端都要栽，一共要栽幾棵？對此問題，有學(xué)生進(jìn)行如下解答：20÷5=4，4+1+1=6（棵）。并且按照自己所作的圖解釋：20÷5=4，說明中間栽4棵樹，因為兩端都要栽，所以加2，應(yīng)該栽6棵樹。面對偏差觀點，教師應(yīng)機智應(yīng)對，引導(dǎo)學(xué)生靜心思考、耐心傾聽。教師可以先幫助學(xué)生理解植樹問題中“棵數(shù)”與“間隔數(shù)”的關(guān)系，讓學(xué)生伸出手掌，并提示：5根手指之間有4個間隔，4個間隔中有幾根手指？從直觀、形象的例子學(xué)習(xí)中讓學(xué)生明白解題算理后，再引導(dǎo)學(xué)生理解例子中“4”所代表的含義是棵樹還是間隔數(shù)。在此情境下，學(xué)生紛紛認(rèn)真思考、各抒己見，最終得出所求“4”表示間隔數(shù)，實際植樹棵數(shù)為3，再加上兩端均需栽種的情況，即3+2=5（棵）。

錯誤本身是到達(dá)真理的一個必然環(huán)節(jié)。［7］通往真知的大門往往需要教師轉(zhuǎn)換角色，從視聽者的角度看待學(xué)生的錯誤，與學(xué)生共同經(jīng)歷“完錯”的過程。由此，錯誤便在教師的等待傾聽和學(xué)生的探索中被化解?；e課堂使學(xué)生在化錯的過程中展現(xiàn)出活躍的思維和旺盛的生命力，在求真的過程中逐漸成長。

（四）在關(guān)鍵地方“悟錯”

化錯的關(guān)鍵在于引導(dǎo)學(xué)生從“誤”走向“悟”，既要悟出潛在錯誤，又要超越已有錯誤。對此，教師應(yīng)以一定的教學(xué)手法化解學(xué)生由自身觀念局限和思維定勢所造成的錯誤，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使其從錯誤中獲取成長契機，從而達(dá)到化錯育人的終極目標(biāo)。以一道運用“枚舉策略”來解決的數(shù)學(xué)問題為例：一張靶紙共三圈，投中靶紙內(nèi)圈得10環(huán)，投中中圈得8環(huán)，投中外圈得6環(huán)，請問小明投中兩次，一次8環(huán)，一次6環(huán)，總共得多少環(huán)？在學(xué)習(xí)解決問題的策略時，學(xué)生往往會存在片面理解的情況，不假思索地應(yīng)用正在學(xué)習(xí)的枚舉策略，這體現(xiàn)了“學(xué)什么就用什么”的刻板觀念。為突破這類思維局限，教師可嘗試追加多個問題，如小芳投中一次可能得到多少環(huán)？小紅投中兩次可能得到多少環(huán)？小芳和小紅總共投三次可能得到多少環(huán)？以故意設(shè)“陷阱”的方式引出學(xué)生的錯誤認(rèn)知。學(xué)生通過不斷思考與反復(fù)琢磨，逐漸領(lǐng)悟到第一個問題無需采用枚舉策略，第二個問題因結(jié)果的多重可能性，則需運用枚舉策略。最后總結(jié)出枚舉策略的應(yīng)用不在于問題的難易程度，而在于問題的實際需求。在后續(xù)問題教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知盲區(qū)重復(fù)強調(diào)：大家能用枚舉策略解決此類問題嗎？此時，學(xué)生已初步形成具體問題具體分析的意識，以及靈活運用解題策略的認(rèn)知框架。

教學(xué)中的差錯是課堂上鮮活的生成性材料，也是寶貴的教學(xué)資源。面對隨機生成的錯誤，教師應(yīng)主動應(yīng)對，妥善處理學(xué)生出現(xiàn)的錯誤，由表及里地對其進(jìn)行梳理。在此基礎(chǔ)上，采用一題多解、精準(zhǔn)追問、反復(fù)論證等方式精心設(shè)計教學(xué)“陷阱”，經(jīng)歷教師“獵錯”、師生“辨錯”和“完錯”、學(xué)生“悟錯”的學(xué)習(xí)過程，使學(xué)生從錯誤中“悟”出方法、“悟”出原理。通過巧妙地化錯，培養(yǎng)學(xué)生直面錯誤、超越錯誤的求真品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的理性思維，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新活力，將教學(xué)引向深入。最終，以化錯育人的方式推動學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng)落地生根。

【參考文獻(xiàn)】

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［4］華應(yīng)龍．像袁隆平、屠呦呦那樣“化錯”［J］．人民教育，2021（21）：70-71．

［5］李如密，劉弘琰．教學(xué)化錯藝術(shù)：內(nèi)涵、特點、類型與策略［J］．當(dāng)代教育與文化，2022，14（6）：1-6，125．

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［7］王志民．面對學(xué)生錯誤演繹精彩課堂［J］．教育導(dǎo)刊，2007（2）：44-45．

楊洪銘 / 王小翠 / 重慶師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院，從事小學(xué)數(shù)學(xué)教育研究（重慶 401331）