談?wù)勄蟾胶瘮?shù)值域的路徑

相比較而言，求含有根式的函數(shù)值域問題比較復(fù)雜.解答這類問題，需首先在確保函數(shù)式有意義的情況下求得函數(shù)的定義域；然后采用各種技巧去掉根號，將問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的最值問題來求解.那么如何才能將問題簡化呢？下面結(jié)合實例進(jìn)行探討.

例題：求函數(shù)y = 5 + x + 3 - x的值域.

該函數(shù)式中含有兩個根式，較為復(fù)雜.需先確保函數(shù)式有意義，求得函數(shù)的定義域；然后采用平方法、向量法、三角換元法、導(dǎo)數(shù)法，利用基本不等式來求其最大（小）值.

一、平方

對于含有根式的函數(shù)，通?？梢圆捎闷椒椒?，通過平方來去掉根號，或減少根式的數(shù)量，從而將問題轉(zhuǎn)化為較簡單的函數(shù)值域問題.再根據(jù)簡單基本函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最值，并將所得的結(jié)果開方，即可求得原函數(shù)的值域.

解：

先將函數(shù)式平方，即可將函數(shù)式化為只含有一個根式的式子，這樣就降低了問題的難度；然后將根號下的式子視為二次函數(shù)式，對其配方，并根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得其最值，即可順利求得原函數(shù)的值域.值得注意的是，采用開方法求根式函數(shù)的值域，往往要將所得的最值開方，以確保恒等變形是等價的.

二、利用基本不等式

在求根式函數(shù)的值域時，我們經(jīng)常要用到基本不等式： ab ≤ a + b 2 （a，b ≥ 0） 及其變形 2ab ≤ a2 + b 2 、 ? è ? ? a + b 2 2 ≤ a2 + b 2 2 .我們需先配湊根號下式子的系數(shù)、常數(shù)，以使兩根式的平方和為定值，這樣便可直接根據(jù)基本不等式順利求得兩根式的積的最值.

解

兩個根號下的x的系數(shù)互為相反數(shù)，平方后可以相互抵消，則其和為定值，于是利用基本不等式的變形式? è ? ? a + b 2 2 ≤ a2 + b 2 2 進(jìn)行求解，即可順利求得函數(shù)的最大值.

三、構(gòu)造向量

向量既具有代數(shù)特征又具有幾何特征.在解答根式函數(shù)的值域問題時，我們可以將根式視為向量的模，即某條線段的長，這樣就將問題轉(zhuǎn)化為求線段的長的取值范圍問題，或直接根據(jù)向量不等式| a| - | b| ≤ | | a? b ≤ | a| + | b|、 a? b ≤ | a|?| b|來求最值.

解

先根據(jù)兩個根式的特點構(gòu)造向量 a =（1，1）和向量 b =（ 5 + x ， 3 - x），將函數(shù)式轉(zhuǎn)化為兩個向量的數(shù)量積；再根據(jù)不等式 a? b ≤ | a|?| b|求出函數(shù)的最大值，從而使問題輕松獲解.

四、三角換元

對于含有根式的函數(shù)值域問題，通?？梢圆捎萌菗Q元法，將根號下的式子或根式用三角函數(shù)替換，即可將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域問題，利用三角函數(shù)的有界性和單調(diào)性，就能輕松求得問題的答案.但要注意要選擇合適的式子進(jìn)行換元，以去掉根號，使函數(shù)式得以簡化.

解：因為2+2=8且≥0，≥0，

故令=2 sinθ，=2 cosθ，θ∈0，.所以y=2 sinθ+2 cosθ=4 sinθ+，

因為θ+∈，，所以≤sinθ+≤1，所以2≤y≤4，所以y的值域為2，4.

我們先通過變形可得2+2=8；然后根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式sin2θ+cos2θ=1進(jìn)行三角換元，令=2 sinθ，=2 cosθ，即可用角θ的正余弦函數(shù)式表示出函數(shù)式；再將其化簡，便可根據(jù)正弦函數(shù)的有界性求得最值.

五、采用導(dǎo)數(shù)法

運用導(dǎo)數(shù)法求含有根式的函數(shù)的值域，需先根據(jù)求導(dǎo)公式對函數(shù)式求導(dǎo)；然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最大值、最小值，即可確定函數(shù)的值域.

解：對函數(shù)求導(dǎo)得y′=-，x∈[-5，3]，

令y′=0，得x=-1，則當(dāng)x∈（-5，-1）時，y′gt;0，所以函數(shù)y=+單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（-1，3）時，y′lt;0，所以函數(shù)y=+單調(diào)遞減.因此當(dāng)x=-5或x=3時，函數(shù)取得最小值y=2；當(dāng)x=-1時，函數(shù)取得最大值y=4，所以2≤y≤4，即y的值域為2，4.

運用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的值域，關(guān)鍵是根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得函數(shù)的最值.但對根式求導(dǎo)的運算量較大，容易出錯.

綜上所述，求解含有根式的函數(shù)的值域問題有多種路徑.同學(xué)們要學(xué)會采用不同的技巧，如平方、配湊、三角換元等將根式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，通過構(gòu)造向量，配湊基本不等式、求導(dǎo)，將問題轉(zhuǎn)化為簡單的函數(shù)最值問題、不等式問題、向量最值問題、三角函數(shù)最值問題、導(dǎo)數(shù)問題來求解.

（作者單位：湖北省宜昌市三峽高級中學(xué)）