由一道不等式恒成立問(wèn)題引發(fā)的思考

不等式恒成立問(wèn)題具有較強(qiáng)的綜合性，對(duì)同學(xué)們的直觀想象、邏輯推理以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力有較高的要求.求解這類(lèi)問(wèn)題有多種不同的思路.本文以一道題為例，探討一下求解不等式恒成立問(wèn)題的思路.

題目：已知函數(shù) f （x）=（1 - x 2 ）ex .當(dāng)x ≥ 0時(shí)，f （x） ≤ ax +1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

一、運(yùn)用最值分析法

最值分析法是指構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)研究函數(shù)的最值來(lái)求得問(wèn)題的答案.一般地，要使 f （x） ≥ a恒成立，只需要確保 f （x）min ≥ a成立；要使 f （x） ≤ a恒成立，只需要確保 f （x）max ≤ a成立.對(duì)于 f （x） ≥ g（x（） 或 f （x） ≤ g（x） ）型的不等式，通?？梢酝ㄟ^(guò)移項(xiàng)，將其化為 f （x）- g（x） ≥ 0、 f （x）- g（x） ≤ 0，再研究不等式左側(cè)式子的最值，即可解題.如果不等式中含有參數(shù)，則可以在分離參變量后再構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題來(lái)求解.

解法1.

先將不等式變形；然后分離參數(shù)，并構(gòu)造函數(shù) g（x）；再研究g（x）的導(dǎo)函數(shù)，判斷出函數(shù)的單調(diào)性.由于函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，無(wú)最大值，因此需運(yùn)用洛必達(dá)法則求出函數(shù)g（x）在x = 0處的極限，進(jìn)而求得a 的取值范圍.

解法2

先將不等式移項(xiàng)，并構(gòu)造函數(shù)g（x）=（1-x2）ex-ax-1；然后通過(guò)研究其導(dǎo)函數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性；再分a≥1和alt;1兩種情況，根據(jù)其單調(diào)性分析、研究函數(shù)g（x）的最大值，進(jìn)而求得a的取值范圍.

二、數(shù)形結(jié)合法

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法解答不等式恒成立問(wèn)題，往往需將不等式進(jìn)行合理的變形，使其兩邊的式子為簡(jiǎn)單的基本初等函數(shù)、直線(xiàn)的方程、圓錐曲線(xiàn)的方程等，這樣便可以快速畫(huà)出相應(yīng)的圖形，通過(guò)研究點(diǎn)、直線(xiàn)、曲線(xiàn)的位置關(guān)系，找到使不等式恒成立的情形.

解法3.

我們根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的幾何意義，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)h（x）=ax+1的斜率大于或等于曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)A處切線(xiàn)的斜率問(wèn)題.通過(guò)研究直線(xiàn)y=h（x）與曲線(xiàn)y=f（x）的位置關(guān)系，找到臨界情形，從而求得a的取值范圍.利用圖形來(lái)分析問(wèn)題，往往能夠達(dá)到事半功倍的效果.

總的來(lái)講，最值分析法比較常用，數(shù)形結(jié)合法較為便捷，但其適用范圍較窄.同學(xué)們要學(xué)會(huì)將不等式恒成立問(wèn)題與函數(shù)的性質(zhì)、圖象關(guān)聯(lián)起來(lái)，靈活運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解題，這樣才能有效地提升解題的效率.

（作者單位：廣西南寧市第五中學(xué)）