例談三類含參三次函數(shù)最值問題的解法

相較于二次函數(shù)最值問題，三次函數(shù)最值問題較為復(fù)雜.通常需運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法來解答三次函數(shù)最值問題，對三次函數(shù)求導(dǎo)后，導(dǎo)函數(shù)就化為二次函數(shù)，我們需要研究二次函數(shù)在區(qū)間上的符號，以判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得函數(shù)在給定區(qū)間上的最值.對于含參三次函數(shù)最值問題，其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)和所給的區(qū)間往往會涉及參數(shù)，此時就需要運(yùn)用分類討論思想來對各種情況進(jìn)行分類討論.下面結(jié)合實例來進(jìn)行探討.

一、導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)定區(qū)間定

對含參三次函數(shù)求導(dǎo)后，若導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)中不含有參數(shù)，且所給的區(qū)間中不含參數(shù)，那么這類題就比較簡單，只需判斷出導(dǎo)函數(shù)在各個區(qū)間上的符號，即可根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)極值的定義求得函數(shù)的極值.最后將極值與函數(shù)在定義域端點(diǎn)處的函數(shù)值相比較，即可求得函數(shù)的最大值和最小值.

例1.已知gx=ax3-x2+4x+3，當(dāng)x∈[-2，1]時，函數(shù)的最小值為0，則實數(shù)a的取值范圍是（）.

A.[-5，-3]B.[-6，-]

C.[-6，-2]D.[-4，-3]

解：

因為新函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)只有-1，它把定區(qū)間[-2，1]劃分為兩個單調(diào)區(qū)間，所以只需將不等式中的參數(shù)分離，根據(jù)導(dǎo)數(shù)法討論分離后不含參數(shù)式子的最值即可解題.需要注意的是，本題中三次項的系數(shù)中含有參數(shù)a，所以需分-2≤xlt;0、x=0、0lt;x≤1三種情況進(jìn)行討論.

二、導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)動區(qū)間定

若原函數(shù)的定義域是給定的區(qū)間，其中不含有參數(shù)，二次導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)中含有參數(shù)，我們就稱其為“零點(diǎn)動區(qū)間定”.首先分①零點(diǎn)在區(qū)間的左側(cè)；②零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)；③零點(diǎn)在區(qū)間的右側(cè)，三種情形討論導(dǎo)函數(shù)的符號；然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)在各個區(qū)間上的單調(diào)性，求出這個區(qū)間內(nèi)的極值；最后將所求得的極值與閉區(qū)間端點(diǎn)上的函數(shù)值進(jìn)行比較，即可得到函數(shù)的最值（或取值范圍）.

例2.設(shè)函數(shù)f（x）=1+（1+a）x-x2-x3，其中agt;0.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）當(dāng)x∈[0，1]時，求f（x）的最值.

解：

題目中所給的區(qū)間是[0，1]，零點(diǎn)x2中含有參數(shù)，需分零點(diǎn)在給定區(qū)間[0，1]內(nèi)和右側(cè)，即x2 ≥ 1和0 lt; x2 lt; 1 兩種情況討論導(dǎo)函數(shù)的符號，進(jìn)而判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值、最值.

三、導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)定區(qū)間動

若題目中所給出的三次函數(shù)定義域是隨參數(shù)而變化的，而導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)是確定的，不含有參數(shù)，則稱其為“零點(diǎn)定區(qū)間動”.我們需分①零點(diǎn)在區(qū)間的左側(cè)，②零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，③零點(diǎn)在區(qū)間的右側(cè)，三種情況進(jìn)行討論.然后判斷函數(shù) f （x）在這個區(qū)間上的單調(diào)性，求出函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)的極值；最后將極值與閉區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，即可求得最值.

例3

解：

問題（1）屬于“零點(diǎn)定區(qū)間動”型問題，分零點(diǎn)在區(qū)間的左側(cè)、在區(qū)間內(nèi)、在區(qū)間的右側(cè)三種情況進(jìn)行討論；問題（2）屬于“零點(diǎn)定區(qū)間定”型問題，此時零點(diǎn)與區(qū)間之間是一種穩(wěn)固的關(guān)系，直接判斷零點(diǎn)與區(qū)間的關(guān)系即可解題.

可見，求含參三次函數(shù)在所給區(qū)間上的最值，難點(diǎn)是根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系，進(jìn)行合理的分類討論.在求解的過程中，若能根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性畫出函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象，便可以通過直觀的方式快速得出函數(shù)的最值.

（作者單位：山東省桓臺第二中學(xué)）