求解定值問題與定點問題的思路

解析幾何中的定值與定點問題具有較強的綜合性，通常會綜合考查圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線位置關(guān)系等.這類問題一般較為復雜，且解題過程中的運算量較大，很多同學在做這類題目時常常出錯.接下來，通過兩個例題介紹一下解答定值與定點問題的思路.

一、定值問題

定值問題一般要求證明某個幾何量（面積、距離、斜率、比值等）與其他變量（斜率、坐標等）無關(guān).解答定值問題一般有兩種思路：第一是從特殊情況入手，如坐標軸上的點、切點、切線等，據(jù)此求出定值，再證明該定值與其他變量都沒有關(guān)系；第二就是設(shè)出變量，一般為直線的斜率、點的坐標等，再根據(jù)已知條件建立關(guān)系式，進行計算、推理，通過代換消去變量，從而說明該變量是定值.

例1.

解：

解答解析幾何中的定值問題，關(guān)鍵要設(shè)出合適的變量，并用其表示出目標式.對于本題，我們需先設(shè)出斜率為k的直線方程和點P、Q的坐標；然后將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立；再運用韋達定理得到點P、Q的坐標關(guān)系式，即可用含有k的式子表示直線AP 與AQ 的斜率；最后通過化簡、代換將目標式化為定值.在解題時，要盡量用已知的量表示出目標式，利用已知條件進行代換，以減少變量的個數(shù)，化簡目標式，得到定值.

二、定點問題

求解定點問題的一般步驟為：（1）選取合適的變量，定點一般都隨著一個或者兩個變量的變化而始終保持不變，可以選擇其為變量；（2）根據(jù)已知條件列出定點滿足的方程；（3）根據(jù)方程有任意解，求出定點的坐標.求解定點問題，要理清變量之間的關(guān)系，在變化中尋找不變的量.

例2.已知橢圓C：+y2=1，直線l不經(jīng)過P（0，1）點，與C相交于A，B兩點.若直線PA與直線PB的斜率的和為-1，證明：直線l過定點.

證明：

先設(shè)出直線l的方程，并將其與橢圓方程聯(lián)立；再利用韋達定理得到點A、B橫坐標的和與積的表達式；然后根據(jù)直線的斜率公式求得k1+k2，即可得到k的表達式，進而求得直線l的方程和定點的坐標.

解答定值與定點問題，都要在變化中尋求不變的量，且設(shè)出合適的變量，用變量來表示定值，或者列出滿足定點的方程.在解題時，我們往往可以利用設(shè)而不求思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想、分類討論思想、特殊與一般思想等來輔助解題，這樣能有效地提升解題的效率.

（作者單位：江西省臨川區(qū)第一中學）