例析求解空間距離問(wèn)題的幾種方法

空間距離是指空間中點(diǎn)、線、面之間的距離.空間距離問(wèn)題側(cè)重于考查同學(xué)們的空間想象、邏輯推理以及直觀想象能力求解空間距離問(wèn)題常用的方法有直接法、等體積法、空間向量法.下面結(jié)合實(shí)例作詳細(xì)的介紹.

一、直接法

直接法是根據(jù)題目中點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，運(yùn)用相關(guān)的定義、性質(zhì)、公理等解題的方法.該方法適用于解答大部分的空間距離問(wèn)題.運(yùn)用直接法求空間距離的步驟為：①添加合適的輔助線，根據(jù)空間距離的定義求作出相應(yīng)的線段；②將該線段視為某個(gè)三角形、平行四邊形的一條邊，根據(jù)三角形、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、正余弦定理來(lái)求其距離.

例1

解

要求點(diǎn)C到平面A1AB的距離，需找到C點(diǎn)在平面A1AB內(nèi)的射影點(diǎn)H，使得CH⊥平面A1AB，那么CH的長(zhǎng)即為點(diǎn)C到平面A1AB的距離.于是采用直接法，根據(jù)點(diǎn)到平面的距離的定義，添加輔助線，利用線面垂直的判定定理證明CH⊥平面A1AB，再根據(jù)三角形的面積公式建立關(guān)于Rt△BCF三條邊的關(guān)系，即可求得CH的長(zhǎng).

二、等體積法

等體積法是根據(jù)幾何體的體積相等來(lái)建立邊角關(guān)系的方法.等體積法主要用于求解有關(guān)三棱錐的體積、邊長(zhǎng)問(wèn)題.在解題時(shí)，我們需更換三棱錐的底面和高，根據(jù)三棱錐的體積相等來(lái)建立等式關(guān)系，從而求得三棱錐的某條邊長(zhǎng)或高線長(zhǎng).我們可以將三棱錐的某條邊或高長(zhǎng)視為空間中的一段距離，這樣便可以運(yùn)用等體積法快速求得空間距離.

例2.如圖3，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∠B1A1C1=90°，D、E分別是CC1、A1B1的中點(diǎn)，且A1A=AC=2AB=2，

（1）求證：C1E//平面A1BD；

（2）求點(diǎn)C1到平面A1BD的距離.

解：

我們根據(jù)三棱錐的體積公式可以得出三棱錐C1-A1BD的體積為S△A1BD?d=S△A1C1D?BA.根據(jù)三棱錐的特征和線面之間的垂直關(guān)系，即可求得△A1C1D、△A1BD的面積，進(jìn)而求得點(diǎn)C1到平面A1BD的距離d.

三、空間向量法

空間向量法是指給線段賦予方向，以構(gòu)造出向量，通過(guò)空間向量的運(yùn)算解題的方法.運(yùn)用空間向量法求空間距離，往往需先用向量表示出各條線段、各個(gè)平面；然后根據(jù)向量之間的垂直關(guān)系確定所求線段的方向向量；再根據(jù)向量的模的公式=求得空間距離.

例4.如圖4，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PA=2，G為CD的中點(diǎn)，E、F是棱PD上的兩點(diǎn)（F在E的上方），且EF=2.當(dāng)點(diǎn)F到平面AEC的距離最大時(shí)，求DE的長(zhǎng)度.

解：

我們根據(jù)“PA⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形”，可以快速找到互相垂直且交于一點(diǎn)的三條直線；將其分別視為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，通過(guò)等體積轉(zhuǎn)換將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求E到AC的最小距離；然后通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得點(diǎn)E到AC距離的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值，即可解題.運(yùn)用空間向量法解題，可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算問(wèn)題來(lái)求解，這有利于轉(zhuǎn)換解題的思路.

相比較而言，直接法比較常用，等體積法的適用范圍較窄，空間向量法較為直觀、簡(jiǎn)單.同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)，可以根據(jù)自身的知識(shí)儲(chǔ)備情況和解題的需求，選擇合適的方法進(jìn)行求解.

（作者單位：山東省德州市夏津第一中學(xué)）