巧用待定系數(shù)法求數(shù)列的通項公式

求解數(shù)列的通項公式問題常用的方法有公式法、累加法、累乘法、待定系數(shù)法等.而對于涉及較為復(fù)雜的遞推式的問題，通常需采用待定系數(shù)法來求解，首先引入待定系數(shù)，將遞推式用參數(shù)表示出來；然后通過比較an+1、an、an-1的系數(shù)建立方程（組），從而構(gòu)造出新的等差、等比數(shù)列，以將問題轉(zhuǎn)換為簡單的等差、等比數(shù)列的通項公式問題來求解.下面結(jié)合實例作詳細的介紹.

一、由形如an+1=can+d的遞推式求數(shù)列的通項公式

若遞推式形如an+1=can+d（c≠0且d≠0），則當(dāng)c=1且d≠0時，an+1-an=d，則數(shù)列an為等差數(shù)列，可根據(jù)等差數(shù)列的通項公式來求該數(shù)列的通項公式；當(dāng)c≠1且d≠0時，需引入待定系數(shù)λ，將遞推式設(shè)為an+1+λ=can+λ，比較an+1、an的系數(shù)可得λ=那么數(shù)列an+λ是首項為a1+，公比為c的等比數(shù)列.再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得數(shù)列an+λ的通項公式，即可求得an的通項公式.

例1.已知數(shù)列an滿足an=+1n≥2，且a1=3，求數(shù)列an的通項公式.

解：

在引入待定系數(shù)λ后設(shè)出數(shù)列的遞推式，即可通過比較系數(shù)，求得系數(shù)λ的值，進而構(gòu)造出等比數(shù)列an-2，將問題轉(zhuǎn)化為求等比數(shù)列an-2的通項公式問題，從而順利解題.

例2.已知數(shù)列an滿足an-1+3an-7=0（n≥2，n∈N*），且a1=1，求數(shù)列an的通項公式.

解：

對于形如an+1=can+d的遞推式，往往要根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征將其設(shè)為含有待定系數(shù)的式子，以將其化為an+1+λ=can+λ的形式，進而根據(jù)等差、等比數(shù)列的定義構(gòu)造出等差、等比數(shù)列，從而使問題得以簡化.

二、由形如an+1=pan+qn的遞推式求數(shù)列的通項公式

形如an+1=pan+qn（q≠0且p≠0）的遞推式較為復(fù)雜.當(dāng)p=1時，an+1-an=qn，則數(shù)列qn為等比數(shù)列，可運用累加法求出an的通項公式.

當(dāng)p≠1時，求數(shù)列的通項公式有兩種思路.

思路1.先在遞推式的兩邊同除以qn+1，可得=?+1；然后令bn=，可得bn+1=?bn+1，即可將問題轉(zhuǎn)化為形如an+1=can+d的遞推數(shù)列問題，運用待定系數(shù)法求得數(shù)列的通項公式；

思路2.先引入待定系數(shù)λ，將遞推式設(shè)為an+1+λqn+1=pan+λqn，則an+1=pan+λp-qqn；然后比較系數(shù)可得λp-q=1，解得λ=.于是將原問題轉(zhuǎn)化為求首項為a1+、公比為p的等比數(shù)列的通項公式問題.

例3.已知數(shù)列an滿足an=3an-1+2n-1（n≥2，n∈N*），且a1=-1，求數(shù)列an的通項公式.

解法1.

先在遞推式an=3an-1+2n-1的兩邊同除以2n，得2（a）n（n）=2（3）?2（a）n（n）-（-）1（1）+2（1）；再令bn=2n（a n），即可將問題轉(zhuǎn)為an+1=can+d型數(shù)列的通項公式問題；然后引入待定系數(shù)，將遞推式化為bn+1=n-1+1，即可構(gòu)造出等比數(shù)列.

解法2.

用待定系數(shù)法求出常數(shù)λ后，可將問題轉(zhuǎn)化為求等比數(shù)列an+2n的通項公式問題，即可根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得問題的答案.

例4.已知數(shù)列an滿足an+1=an+n+1，且a1=，求數(shù)列an的通項公式.

解法1.

先在遞推式an+1=an+n+1的兩邊同乘以2n+1，得2n+1an+1=×2nan+1；然后令bn=2nan，將問題轉(zhuǎn)化由遞推式bn+1=bn+1求數(shù)列的通項公式問題，進而運用待定系數(shù)法求得數(shù)列an的通項公式.

解法2.

首先引入待定系數(shù)λ，將遞推式用待定系數(shù)表示出來，即an+1+=an+;然后比較系數(shù)，求得λ的值，即可構(gòu)造出等比數(shù)列an-；再求等比數(shù)列an-的通項公式，進而求出an的通項公式.

可見，對于上述兩類數(shù)列的通項公式問題，運用待定系數(shù)法求解較為便捷.借助待定系數(shù)構(gòu)造出等差、等比數(shù)列，即可使復(fù)雜問題變得簡單，陌生問題變得熟悉，從而順利破解難題.

（作者單位：江蘇省啟東市東南中學(xué)）