如何運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想判斷兩條曲線的公切線的數(shù)量

與兩條曲線同時(shí)相切的直線被稱為兩條曲線的公切線.而曲線的方程一般為二次、三次或高次方程，因此這類問題往往比較復(fù)雜，且解題過程中的運(yùn)算量較大.通常我們無法直接通過作圖來獲得問題的答案，需運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將兩條曲線的公切線問題轉(zhuǎn)化為方程的解的問題或函數(shù)的零點(diǎn)問題，才能順利判斷出兩條曲線的公切線的條數(shù).

設(shè)兩條曲線的方程為y=fx和y=gx，直線l是兩條曲線的公切線，y=fx上的切點(diǎn)為x1，fx1，y=gx上的切點(diǎn)為x2，gx2.運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想判斷兩條曲線的公切線條數(shù)的步驟為：

1.對兩條曲線的方程求導(dǎo)，可得f′x、g′x；

2.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知y=fx在點(diǎn)x1，fx1處切線的斜率為f′x1，y=gx在點(diǎn)x2，gx2處切線的斜率為g′x2；

3.由切點(diǎn)的坐標(biāo)x1，fx1、x2，gx2，可得曲線y=fx上切線的點(diǎn)斜式方程為y-fx1=f′x1x-x1，即y=f′x1x+fx1-x1f′x1；曲線y=gx上切線的點(diǎn)斜式方程為y-gx2=g′x2x-x2，即y=g′x2x+gx2-x2g′x2；

4.因?yàn)閥=f′x1x+fx1-x1f′x1和y=g′x2x+gx2-x2g′x2都是兩曲線的公切線的方程，即直線l的方程，則兩個(gè)方程中x的系數(shù)和常數(shù)相等，得：

?（ì）f（f）-=x1（g）x（2）=gx2-x2g′x2；

5.解上述方程組.若上述方程組無解，則兩條曲線沒有公切線；若上述方程組有解，則兩條曲線有公切線，有幾組解就表示兩條曲線有幾條公切線.若無法直接求得方程組的解，往往可以構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題來求解.

下面舉例加以說明.

例1.曲線y=-（xlt;0）與曲線y=ln x的公切線條數(shù)為.

解：

解答本題，需先設(shè)出兩條曲線上切點(diǎn)的坐標(biāo)；再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率和方程.由于這兩條切線的方程表示同一條直線，所以可通過比較系數(shù)列出方程組；最后消去其中一個(gè)參數(shù)，并構(gòu)造函數(shù)f（x）=2 ln x--1，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題.

例2.若直線l與曲線y=ex和y=ln x都相切，則滿足條件的直線l有（）.

A.0條B.1條C.2條D.無數(shù)條

解：

我們要先設(shè)出曲線y=ex和y=ln x上切點(diǎn)的坐標(biāo)；然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的方程，并根據(jù)兩條切線為公切線來建立方程組；再通過消元構(gòu)造函數(shù)，通過二次求導(dǎo)判斷出函數(shù)的單調(diào)性；最后由零點(diǎn)存在性定理和函數(shù)的單調(diào)性判斷出函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

可見，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想判斷兩條曲線的公切線的條數(shù)，需注意：（1）明確曲線的公切線與曲線之間的位置關(guān)系；（2）靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率和方程；（3）在無法直接求得方程組的解時(shí)，要學(xué)會根據(jù)方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)之間的關(guān)系，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將方程的根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題；（4）對于有關(guān)指數(shù)、對數(shù)的曲線公切線問題，要靈活運(yùn)用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)來解題.

（作者單位：江蘇省曲塘高級中學(xué)）