合理構造函數(shù)，高效解答指數(shù)與對數(shù)函數(shù)不等式問題

指對函數(shù)不等式問題往往需靈活運用導數(shù)、函數(shù)、不等式、方程等知識來求解.很多同學在遇到這類問題時經(jīng)常會束手無策.通過分析近幾年的高考數(shù)學試題，筆者發(fā)現(xiàn)解答此類問題的關鍵在于合理構造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為簡單的函數(shù)單調(diào)性、不等式問題來求解.下面結(jié)合實例作詳細的介紹.

一、根據(jù)導數(shù)的運算法則構造函數(shù)

在求解指對函數(shù)不等式問題時，通常需先結(jié)合代數(shù)式的結(jié)構特征，根據(jù)導數(shù)的運算法則來構造出新函數(shù)；再根據(jù)導函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關系判斷出函數(shù)的單調(diào)性，即可利用新函數(shù)的單調(diào)性來解題.常用的導數(shù)運算法則有：（1）（u±v）′=u′±v′；（2）（uv）′=u′v+uv′；（3）（）′=（v≠0）.

例1.已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（1）=1，且f（x）的導數(shù)f′（x）在R上恒有f′（x）lt;，求不等式f（ex）lt;+的解集.

解：

我們由f′（x）-lt;0，根據(jù)求導運算法則（u±v）′=u′±v′構造出函數(shù)g（x）=f（x）-x，則g′（x）=f′（x）-lt;0，就能根據(jù)導函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關系判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進而根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較出g（ex）與g（1）的大小.一般地，若f′（x）+g′（x）gt;0（或lt;0），則可構造函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）；若f′（x）-g′（x）gt;0（或lt;0），則可構造函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）；若f′（x）gt;k（或lt;k），則可構造函數(shù)F（x）=f（x）-kx+b.

例2.已知定義在R上的函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），且f′（x）-f（x）gt;0，f（2024）=e2024，求不等式f（ln x）lt;3的解集.

解：

由f′（x）-f（x）gt;0聯(lián)想到導數(shù)運算法則（）′=（v≠0），據(jù)此構造出函數(shù)F（x）=（x≠0），將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性問題來求解，即可解題.一般地，（1）若xf′（x）+f（x）gt;0（或lt;0），則可構造函數(shù)F（x）=xf（x）；（2）若xf′（x）-f（x）gt;0（或lt;0），則可構造函數(shù)F（x）=（x≠0）；（3）若xf′（x）+nf（x）gt;0（或lt;0），可構造函數(shù)F（x）=enxf（x）；（4）若xf′（x）-nf（x）gt;0（或lt;0），則可構造函數(shù)F（x）=（x≠0）；（5）若f′（x）+f（x）gt;0（或lt;0），可構造函數(shù)F（x）=exf（x）；（6）f′（x）-f（x）gt;0（或lt;0），則可構造函數(shù)F（x）=（x≠0）.

二、根據(jù)同構式構造函數(shù)

有時將指對函數(shù)不等式變形，可使其左、右兩邊的結(jié)構相同、形式相似，即可得到同構式，便可根據(jù)同構式的結(jié)構特征構造出函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為比較f（x1）與f（x2）的大小問題.再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義、導函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關系、復合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法判斷出函數(shù)的單調(diào)性，即可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較出x1與x2的大小，從而使問題獲解.

例3.若對任意xgt;0，恒有a（eax+1）≥2（（x+ln x，則實數(shù)a的最小值為.

解：因為a（eax+1）≥2（（x+ln x恒成立，所以agt;0，

將不等式變形可得axeax+1≥x2+1ln x2，即lneaxeax+1≥x2+1ln x2.

構造同構函數(shù)F（x）=（x+1）ln x（xgt;0），則Feax≥Fx2，

對函數(shù)求導得F′（x）=ln x+，

F″（x）=-=，

由F′′（x）=x-1gt;0可得xgt;1

故F′（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，

由F″（x）=x-1lt;0可得0lt;xlt;1

故F′（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，

所以F′（x）≥F′（1）=2gt;0，

因此F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

由Feax≥Fx2得eax≥x2，所以ax≥2 ln x，即a≥.

令h（x）=，則h′（x）=，

可知當x∈（0，e）時，h′（x）gt;0，則h（x）在（0，e）上單調(diào)遞增；當x∈（e，+∞）時，h′（x）lt;0，則h（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞減，

所以h（x）max=h（e）=，故a≥.

首先將不等式變形，使其左右為同構式：lneaxeax+1≥x2+1ln x2；然后構造同構函數(shù)F（x）=（x+1）ln x（xgt;0），將問題轉(zhuǎn)化為求使Feax≥Fx2時a的最小值；再通過二次求導求得判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進而得出eax≥x2，從而通過分離參數(shù)求得a的最小值.一般地，①若aea≤blnb，則可構造出同構式aea≤ln beln b，進而構造函數(shù)f（x）=xex；②若≤，則可構造同構式≤，進而構造函數(shù)f（x）=；③若ea±agt;b±ln b，則可構造函數(shù)f（x）=ex±x或f（x）=x±ln x.

雖然指對函數(shù)不等式問題的難度較大，但是我們只要能根據(jù)不等式的結(jié)構特征，靈活運用導數(shù)的運算法則，構造出同構式，便能構造出合適的函數(shù)模型，將問題轉(zhuǎn)化為簡單的函數(shù)單調(diào)性、不等式問題來求解，從而達到化難為易的目的.

（作者單位：陜西省榆林市第一中學）