解答立體幾何最值問(wèn)題的兩種措施

立體幾何最值問(wèn)題的難度較大.這類問(wèn)題對(duì)同學(xué)們的空間想象和運(yùn)算能力有著較高的要求.解答立體幾何最值問(wèn)題，需靈活運(yùn)用空間幾何體的性質(zhì)、空間角的定義、直線與平面平行的判定定理、平面與平面垂直的性質(zhì)定理等.下面結(jié)合實(shí)例，談一談解答立體幾何最值問(wèn)題的兩種措施.

一、構(gòu)造函數(shù)

對(duì)于與動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)直線有關(guān)的立體幾何最值問(wèn)題，往往需采用構(gòu)造函數(shù)法求解.首先設(shè)出某個(gè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)、線段的長(zhǎng)；然后根據(jù)點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，運(yùn)用空間幾何體的性質(zhì)、空間角的定義、直線與平面平行的判定定理、平面與平面垂直的性質(zhì)定理等求得目標(biāo)式；再將其視為關(guān)于某個(gè)變量的函數(shù)式，通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，從而求得函數(shù)的最值.

例1.

解：

我們首先根據(jù)題意確定變量，并將目標(biāo)式視為函數(shù)式，即可將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f （x）= 1 3 （x - x 3 ） （0 lt; x lt; 1）的最值問(wèn)題；然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，即可得到問(wèn)題的答案.

二、運(yùn)用平面軌跡法

立體幾何最值問(wèn)題中的最值往往受動(dòng)點(diǎn)或者動(dòng)直線的影響，因此如果能夠確定動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)直線的軌跡，求得其方程，就可以輕松求得其最值.一般來(lái)說(shuō)有兩種思路，一是通過(guò)作圖直接找到動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)直線的軌跡，如線段、圓、三角形、拋物線等，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何最值問(wèn)題來(lái)求解；二是建立合適的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出變量并求得其軌跡方程，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解析幾何最值問(wèn)題來(lái)求解.

例2.如圖2所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的長(zhǎng)為2，M、N分別是棱BC、C1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)P是平面A1B1C1D1內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段A1N上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若PM=5，則線段PQ長(zhǎng)度的最小值為.

解：

運(yùn)用平面軌跡法解題，關(guān)鍵在于確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡或者運(yùn)動(dòng)的范圍.在解題時(shí)，要添加適當(dāng)?shù)妮o助線，以便快速計(jì)算出軌跡的長(zhǎng)度或者某些角度的大小，進(jìn)而確定軌跡方程.

雖然立體幾何最值問(wèn)題較為復(fù)雜，但是我們?nèi)裟軐⒂绊懽钪档牧坑脜?shù)、變量表示出來(lái)，構(gòu)造出函數(shù)或者方程，靈活運(yùn)用函數(shù)、方程知識(shí)來(lái)求解，問(wèn)題便能迎刃而解.

（作者單位：安徽省阜南一中）