選用合適的方法，求數(shù)列的通項(xiàng)公式

數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題主要有三種命題形式：一是根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式；二是根據(jù)已知項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；三是根據(jù)遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)公式.對(duì)于前兩類問(wèn)題，我們可以直接根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、性質(zhì)來(lái)求解.對(duì)于第三類問(wèn)題，則需靈活運(yùn)用一些技巧，才能順利求得問(wèn)題的答案.那么求數(shù)列的通項(xiàng)公式有哪些方法、技巧呢？

一、根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)公式an的關(guān)系

若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，其通項(xiàng)公式為an，則an=S（S）n（1），n S（=）n1-，1，n≥2.對(duì)于涉及數(shù)列的前n項(xiàng)和的數(shù)列通項(xiàng)公式問(wèn)題，往往可以直接根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)公式an的關(guān)系來(lái)求an的表達(dá)式.

例1.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1，Sn+1+Sn=2n2+2n+1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解：

我們先根據(jù)數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)公式an的關(guān)系，可以得到一個(gè)關(guān)于Sn+1、Sn的式子；然后設(shè)bn=Sn-n2，通過(guò)求bn得到Sn的通項(xiàng)公式；再根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)公式an的關(guān)系求出an的通項(xiàng)公式.

例2.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=2an-1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=2a1-1，解得a1=1；

當(dāng)n≥2時(shí)，由Sn=2an-1得Sn-1=2an-1-1，

將上述兩式相減，可得Sn-Sn-1=2an-2an-1，則an=2an-2an-1，即an=2an-1，a1=1，

所以數(shù)列an是一個(gè)以1為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，

由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得an=2n-1.

所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1.

該題較為簡(jiǎn)單，可以直接根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)公式an的關(guān)系求解.值得注意的是：an=Sn-Sn-1只適用于求當(dāng)n≥2時(shí)的情形，因此要求當(dāng)n=1時(shí)的情形，需單獨(dú)進(jìn)行討論.另外，需檢驗(yàn)a1是否滿足當(dāng)n≥2時(shí)的式子，若滿足，則可用一個(gè)式子表示an；若不滿足，則需寫成分段的形式.

二、累加法

一般地，若an滿足an+k-an=f（n），其中k∈N?，f（n）可以為常數(shù)，關(guān)于n的一次式、指數(shù)式等，就可以采用累加法來(lái)解題.先分別令n=1，2，3，…，n；然后將這n個(gè)式子累加，則a1+k-a1+a2+k-a1+a3+k-a3+…+an+k-1-an-1+an+k-an=f（1）+f（2）+…+f（n-1）+f（n），那么中間的部分項(xiàng)就會(huì)抵消，化簡(jiǎn)f（1）+f（2）+…+f（n-1）+f（n），即可順利求得an.

例3.已知數(shù)列an中，a1=1，an+1-an=2n+1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解：因?yàn)閍n+1-an=2n+1，

所以a2-a1=3，a3-a2=5，…，an-an-1=2n-1，

將以上n-1個(gè)式子累加，可得：

an-a1=3+5+???+（2n-1），

則an=1+3+5+???+（2n-1）==n2，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=n2.

遞推式an+1-an=2n+1形如an+k-an=f（n），于是采用累加法，先分別令n=1，2，3，…，n-1；再將這n-1個(gè)式子累加，便能求得an的通項(xiàng)公式.

例4.已知數(shù)列an中，a1=1，an+1+an=n2，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解：

將遞推式變形，可得an+1-an-1=2n-1（n≥2），即可采用累加法來(lái)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.由于本題中n的取值是不確定的，所以需將n分為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況進(jìn)行討論.

三、累乘法

一般地，若aa n（n+）k=f（n），其中k∈N?，f（n）可以為常

數(shù)，有關(guān)n的一次式、二次式、指數(shù)式等，可采用累乘法來(lái)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.累乘法與累加法較為相似，不同之處在于累乘法是將n=1，2，3，…，n時(shí)的式子累乘，通過(guò)約分求得{an}的通項(xiàng)公式.

例5.已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1an=2n2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解：

將遞推式變形，可得an + 1 an - 1 = 22n - 1 （n ≥ 2）.該式形如 an + k an = f （n），于是采用累乘法，分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況，將上述n - 1 2 、n - 2 2 個(gè)式子累乘，即可解題.

四、構(gòu)造法

有些關(guān)于an + 1 、an、an - 1的遞推式較為復(fù)雜，我們需利用待定系數(shù)法，通過(guò)分解因式、取倒數(shù)、取對(duì)數(shù)、做除法等才能將遞推式化為bn - bn - 1 = d、bn bn- 1 = q，其中d、 q為常數(shù).這樣就可以將bn視為一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，據(jù)此構(gòu)造出新數(shù)列，根據(jù)等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式來(lái)求得數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式.

例6

解

先用待定系數(shù)法將遞推式化為an + 1 - 3n + 1 = 2（an -3n ）；然后令bn = an - 3n ，即可構(gòu)造出等比數(shù)列{bn}；再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.一般地，對(duì)于形如an + 1 = pan + f （n）（p ≠ 0，1）的遞推式，都可以采用構(gòu)造法來(lái)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

可以看出，上述四種方法的特點(diǎn)、適用情形、解題步驟都不相同.同學(xué)們要注意辨別，熟練掌握并善于運(yùn)用這幾種方法來(lái)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.無(wú)論運(yùn)用哪種方法解題，都需將已知關(guān)系式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危业綌?shù)列前后項(xiàng)之間的聯(lián)系，將其與等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式靠攏，以使陌生問(wèn)題變得熟悉、復(fù)雜問(wèn)題變得簡(jiǎn)單.

（作者單位：山東省聊城第一中學(xué)）