例談解析幾何中定點(diǎn)、定值問(wèn)題的解法

解析幾何中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題的難度較大，常以壓軸題的形式出現(xiàn)在各類試卷中.解答定點(diǎn)、定值問(wèn)題，需要綜合運(yùn)用解析幾何和平面幾何知識(shí)，靈活運(yùn)用分類討論思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想來(lái)輔助解題.

一、定點(diǎn)問(wèn)題

解答解析幾何中的定點(diǎn)問(wèn)題，一般需先選擇合適的參數(shù)，設(shè)出直線的斜率、某點(diǎn)的坐標(biāo)、某個(gè)曲線的方程等；然后根據(jù)題中所給的信息列方程，建立關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式；再通過(guò)等量代換，消去參數(shù)、變量，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，或證明定點(diǎn)與參數(shù)、變量無(wú)關(guān).

例1.已知四點(diǎn)P1（1，1），P2（0，1），P3（-1，），P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C：a（x）2（2）+b（y）2（2）=1（agt;bgt;0）上.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)，且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率和為-1，證明：直線l過(guò)定點(diǎn).

解：（1）橢圓C的方程為：+y2=1；（過(guò)程略）

（2）設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1、k2.

若直線l與x軸垂直，則l：x=t，t≠0，且|t|lt;2，

首先設(shè)出直線的方程；然后將其與已知的橢圓方程聯(lián)立；接著運(yùn)用韋達(dá)定理建立關(guān)于A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式，即可根據(jù)直線的斜率公式求得直線的斜率，進(jìn)而得到直線的方程；最后根據(jù)一元一次方程有任意解，得到定點(diǎn)的坐標(biāo).

二、定值問(wèn)題

對(duì)于解析幾何中的定值問(wèn)題，通常要先選擇合適的變量，一般為點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的斜率等，把要求的定值用含有上述變量的式子表示出來(lái)；然后根據(jù)題設(shè)中的條件或關(guān)系式來(lái)進(jìn)行恒等變換，以減少變量的個(gè)數(shù)，化簡(jiǎn)代數(shù)式，從而得到定值，或證明定值與變量的取值無(wú)關(guān).

例2

解

先設(shè)出直線的斜率和直線的方程；然后將其與橢圓的方程聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程；接著利用韋達(dá)定理、方程的判別式、直線的斜率公式、弦長(zhǎng)公式以及三角形的面積公式建立關(guān)系式；最后通過(guò)變形、化簡(jiǎn)，消去參數(shù)，得到定值.解答定值問(wèn)題，關(guān)鍵要證明某些幾何量，如比值、斜率、距離、面積、周長(zhǎng)等與變量無(wú)關(guān).

通過(guò)以上分析可以發(fā)現(xiàn)，解答這兩類問(wèn)題，都需從變化的位置關(guān)系中找到或確定不變量，從而得到定點(diǎn)或定值.總之，定值、定點(diǎn)問(wèn)題較為復(fù)雜，同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)練習(xí)中要注意積累解題經(jīng)驗(yàn)，掌握一些常用的解題方法和技巧，這樣在考試時(shí)才能從容應(yīng)對(duì).

（作者單位：江西省九江市第三中學(xué)）