用同構(gòu)法解答雙變量問題的步驟

雙變量問題較為復(fù)雜，通常無法直接用函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)法來求解.解答這類問題一般有兩種思路：一是通過消元、換元將問題轉(zhuǎn)化為單變量問題來求解；二是采用同構(gòu)法，通過構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)來求得問題的答案.所謂同構(gòu)法，是指通過變形代數(shù)式，構(gòu)造出兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同、形式相似的式子（即同構(gòu)式），再通過研究同構(gòu)式獲得問題的答案.

運(yùn)用同構(gòu)法解答雙變量問題的步驟為：

1.將不等號(hào)或等號(hào)左右兩邊的式子變形為同構(gòu)式，如：（1）將gt;kx1lt;x2變形為fx1-kx1lt;fx2-kx2；（2）將=變形為fx1+x（k）1=fxf（2）x（+）2；（3）將xf（1f）-（-）x2（x2）fx1lt;mx1x2（0lt;x1lt;x2）變形為x2+mx2gt;x1+mx1；

2.根據(jù)同構(gòu)式的特點(diǎn)構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)，如Fx=f（x）-kx、Fx=f（x）+、Fx=+mx；

3.根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系、函數(shù)單調(diào)性的定義、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷法則判斷出同構(gòu)函數(shù)Fx的單調(diào)性；

4.根據(jù)同構(gòu)函數(shù)的單調(diào)性比較x1、x2的大小關(guān)系，或建立關(guān)于x1、x2的關(guān)系式，求得問題的答案.

下面舉例加以說明.

例1.

解：

我們先將不等式變形為同構(gòu)式x1（e x 1）+x1（a）gt;x（e）2（x2）+x2（a）；然后構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)f（x）=+，那么問題就轉(zhuǎn)化為求當(dāng)fx1gt;fx2時(shí)a的最小值，這樣就將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）的單調(diào)性問題；再根據(jù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，即可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出g（x）≤g（-2），確保f′（x）≤0在[-2，0）上恒成立即可解題.

例2.已知函數(shù)f（x）=ex-x和g（x）=x-ln x.若直線y=b與曲線y=f（x）和y=g（x）有3個(gè)不同的交點(diǎn)，證明：從左到右的3個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

證明：

當(dāng)直線y = b與曲線y = f （x）和y = g（x）有 3 個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，3個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，所以f （x1） = f （x2） = g（x2） = g（x3） = b，并據(jù)此構(gòu)造出同構(gòu)函數(shù) f （ln x），便可根據(jù)題意建立關(guān)系式f （x1） = f （x2） = f （ln x2） = f （ln x3）；再根據(jù) f （x）的單調(diào)性得出x1 = ln x2，x2 = ln x3，即可證明結(jié)論.

總之，用同構(gòu)法解答雙變量問題，要先根據(jù)題目中的條件建立關(guān)于兩個(gè)變量的同構(gòu)式；再構(gòu)造出同構(gòu)函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問題.對(duì)于一些代數(shù)式，可以將其變形為不同形式的同構(gòu)式，這樣就可以構(gòu)造出幾種不同的同構(gòu)函數(shù).

（作者單位：江蘇省石莊高級(jí)中學(xué)）