分類思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究

摘 要：文章首先概述了分類思想的相關(guān)理論知識(shí)，包括基本概念、使用原則以及使用步驟；其次探討了中學(xué)數(shù)學(xué)中分類思想的應(yīng)用，并針對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中可能出現(xiàn)的問(wèn)題提出了相應(yīng)的解決方案.

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)；分類思想；教學(xué)實(shí)踐

中圖分類號(hào)：G632

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1008-0333（2024）30-0053-03

收稿日期：2024-07-25

作者簡(jiǎn)介：陳瑤瑤（2000.8—），女，陜西省榆林人，碩士，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究；

趙院娥（1972.2—），女，陜西省延安人，碩士，副教授，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

分類思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要方法，常常通過(guò)分類討論來(lái)實(shí)現(xiàn).因而，人們也將分類思想稱為“分類討論思想”^［1］.文章在討論分類思想時(shí)，側(cè)重點(diǎn)是突出發(fā)揮分類討論思想的作用.對(duì)于近幾年的高考題，很多人覺(jué)得題目形式立意新穎，增加了考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法的掌握程度的題型，其中分類思想占有相當(dāng)大的比例.因此，探究數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法是很有必要的，也是教學(xué)中的重中之重.通過(guò)分類思想的學(xué)習(xí)，既能幫助同學(xué)們夯實(shí)課本知識(shí)，又可以訓(xùn)練他們嚴(yán)密的數(shù)學(xué)思維，提升綜合素質(zhì).

1 分類思想的相關(guān)理論知識(shí)

1.1 分類思想的基本概念

分類思想是一種常用的數(shù)學(xué)思想方法.在日常的學(xué)習(xí)中，許多問(wèn)題的結(jié)果并不具有唯一確定性，并且部分題目在求解時(shí)不能夠采用統(tǒng)一的格式進(jìn)行研究.另外還存在部分含參數(shù)的試題，如題目已知量采用字母形式表達(dá)，然而字母取不同的值能夠影響到問(wèn)題的求解結(jié)果，這時(shí)就需要將所研究的全部問(wèn)題根據(jù)題目特點(diǎn)分為幾個(gè)獨(dú)立的子集，也就是將其轉(zhuǎn)化為多個(gè)小問(wèn)題進(jìn)行求解.類似于這樣將問(wèn)題按不同條件進(jìn)行歸類，之后對(duì)每一類問(wèn)題進(jìn)行逐個(gè)研究的數(shù)學(xué)思想，就叫作分類思想^［2］.

1.2 分類思想的使用原則

（1）統(tǒng)一性原則.同一個(gè)問(wèn)題，選取標(biāo)準(zhǔn)不同，分類也就不同.在中學(xué)數(shù)學(xué)解題時(shí)我們需要重視分類討論，并且要用統(tǒng)一的分類解題標(biāo)準(zhǔn)來(lái)解題，切勿同時(shí)使用多種分類方法，導(dǎo)致分類混亂.如，三角形按照角分類時(shí)可分為銳角、直角、鈍角.

（2）互斥性原則.解題時(shí)需要根據(jù)條件先確定討論級(jí)別，再確定每級(jí)討論的對(duì)象與標(biāo)準(zhǔn)，把所討論的對(duì)象歸類，既不能重復(fù)，也不能漏掉哪個(gè)對(duì)象.如，有學(xué)生把平行四邊形分為菱形和矩形，這是不對(duì)的，因?yàn)榱庑魏途匦卫镞叾及叫?sup>［^3］.

（3）層次性原則.求解一個(gè)分類討論相關(guān)問(wèn)題時(shí)，碰到簡(jiǎn)單問(wèn)題僅分類討論一次就行了.當(dāng)然，也會(huì)有一些復(fù)雜的問(wèn)題，需要進(jìn)行多次分類討論，其主要指討論的數(shù)學(xué)問(wèn)題需實(shí)施多次分析，直至符合相關(guān)要求.

1.3 分類思想的使用步驟

（1）明確討論的對(duì)象和動(dòng)機(jī).遇到題目后我們要分析是對(duì)哪一個(gè)變量或參數(shù)進(jìn)行分類，這就需要同學(xué)們對(duì)教材中的概念、公式、性質(zhì)等都十分熟悉.解題的思路一小部分來(lái)自做題積累的經(jīng)驗(yàn)，多數(shù)來(lái)自對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的熟練程度，基礎(chǔ)知識(shí)熟練程度高，看到題目自然而然就想到需要討論什么^［4］.

（2）進(jìn)行合理分類.應(yīng)該遵循三大原則：①確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，明確討論的對(duì)象之后，要對(duì)其進(jìn)行科學(xué)而合理地分類；②分類應(yīng)該沒(méi)有遺漏，全面考查每一種情況；③分類應(yīng)沒(méi)有重復(fù).

（3）逐級(jí)討論，分級(jí)進(jìn)行.對(duì)所分的類別進(jìn)行逐一討論，對(duì)每一類問(wèn)題都應(yīng)該詳細(xì)討論，逐步求解，各個(gè)擊破.

（4）歸納并作出結(jié)論.在求解分類討論相關(guān)的問(wèn)題時(shí)，最后一定要進(jìn)行“綜上”，對(duì)各種情況進(jìn)行歸納，檢查分類的完整性.

2 中學(xué)數(shù)學(xué)中分類思想的應(yīng)用

分類的目的是根據(jù)一定標(biāo)準(zhǔn)將研究對(duì)象劃分為不同的類別，以達(dá)到徹底分類的效果.中學(xué)數(shù)學(xué)教材中涵蓋了大量的分類討論思想，教師應(yīng)該對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的分類思想進(jìn)行概括和提煉.

分類思想貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)教材的始終.要進(jìn)行分類思想在數(shù)學(xué)中的滲透，首先要求對(duì)教材要有全面系統(tǒng)的把握，還要從中學(xué)開(kāi)始就不斷循序漸進(jìn)地滲透，讓學(xué)生能熟練地掌握并靈活運(yùn)用.現(xiàn)以人民教育出版社出版的A版高中數(shù)學(xué)課本為例，說(shuō)明分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的運(yùn)用.

2.1 分類思想在集合中的應(yīng)用

“集合”內(nèi)容在高考數(shù)學(xué)中往往以一道選擇題的形式出現(xiàn)，但其在高中數(shù)學(xué)中所占比重不可低估，因?yàn)檫@是同學(xué)們進(jìn)入高中后首次接觸分類思想，也是同學(xué)們了解和把握分類思想的關(guān)鍵時(shí)期.在這一時(shí)期，同學(xué)們對(duì)分類思想的學(xué)習(xí)情況，將對(duì)其以后的學(xué)習(xí)產(chǎn)生很大的影響.同時(shí)，由于分類思想能夠?qū)?fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，所以也成為了很多高中生學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的首選方法之一.因此，教師要注重分類思想在集合中的運(yùn)用.

例1 已知集合B=-3，b+1，b²，C=b-3，2b-1，b²+1，若B∩C=-3，求b的值.

分析 關(guān)于某個(gè)元素屬于另一個(gè)包含參數(shù)的集合這種題，需要討論這個(gè)元素與另一個(gè)集合中的哪個(gè)元素是相等的，要分情況列出方程來(lái)求解.在進(jìn)行分類討論時(shí)，應(yīng)該特別關(guān)注集合中元素的互異性，以確保遵循不重不漏的原則.

解析 因?yàn)锽∩C=-3，所以-3∈C.

若b-3=-3，則b=0，此時(shí)B=0，1，-3，C=-3，-1，1，則B∩C=-3，1，故不適合.若2b-1=-3，則b=-1，此時(shí)B=1，0，-3，C=-4，-3，2，B∩C=-3，滿足題意.

若b²+1=-3，此方程無(wú)實(shí)數(shù)解，所以b=-1.

2.2 分類思想在函數(shù)中的應(yīng)用

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)最主要的內(nèi)容，分類思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)經(jīng)常使用到的思維方式之一，也被廣泛應(yīng)用于函數(shù)當(dāng)中，如求函數(shù)定義域、求函數(shù)解析式、求函數(shù)最值、討論函數(shù)單調(diào)性和奇偶性及導(dǎo)數(shù)相關(guān)的綜合問(wèn)題等.列舉典型實(shí)例來(lái)剖析函數(shù)中分類思想的運(yùn)用，有助于學(xué)生深入了解分類思想的基本知識(shí)，強(qiáng)化其分類討論意識(shí).

例2 已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+4，x∈-2，2，求函數(shù)f（x）最小值.

分析 定區(qū)間內(nèi)二次函數(shù)的單調(diào)性與其對(duì)稱軸及開(kāi)口方向有關(guān)，該題為動(dòng)軸定區(qū)間問(wèn)題，其對(duì)稱軸為直線x=a，且含參數(shù)，對(duì)稱軸位置不定，故應(yīng)分類進(jìn)行探討.

解析 f（x）=x²-2ax+4=（x-a）²+4-a²的圖象開(kāi)口向上，且對(duì)稱軸是直線x=a．

當(dāng)-2＜a＜2，此時(shí)f（x）在-2，2上單調(diào)遞減后單調(diào)遞增，最小值為f（a）=4-a²；

當(dāng)a＜-2，此時(shí)f（x）在-2，2上單調(diào)遞增，函數(shù)f（x）最小值為f（-2）=8+4a；

當(dāng)a＞2，此時(shí)f（x）在-2，2上單調(diào)遞減，函數(shù)f（x）最小值為f（2）=8-4a.

綜上，當(dāng)a＜-2，函數(shù)f（x）最小值為f（-2）=8+4a；當(dāng)-2＜a＜2，最小值為f（a）=4-a²；當(dāng)a＞2，函數(shù)f（x）最小值為f（2）=8-4a.

2.3 分類思想在解析幾何中的應(yīng)用

解析幾何在高中數(shù)學(xué)中占有很大的比重，解析幾何由直線與其位置關(guān)系、圓與其位置關(guān)系、圓錐曲線與其位置關(guān)系組成.

例3 以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

分析 由橢圓的圖象可得到分類的依據(jù)是焦點(diǎn)在橫軸還是縱軸，求橢圓方程的問(wèn)題時(shí)需注意根據(jù)焦點(diǎn)的位置設(shè)不同方程.

解析 （1）當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)它的方程為x²a²+y²b²=1（a＞b＞0）．

因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，

所以2a=2×2b，即a=2b.

則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²4b²+y²b²=1.

因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)A（1，0），所以b²=14，a²=1.

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²+y²1/4=1.

（2）當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)它的方程為y²a²+x²b²=1（a＞b＞0）．

因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，

所以2a=2×2b，即a=2b.

則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²4b²+x²b²=1.

因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)A（1，0），所以b²=1，a²=4.

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²4+x²=1.

綜上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²+y²1/4=1或y²4+x²=1

3 分類思想在教學(xué)中的應(yīng)對(duì)策略

3.1 幫助學(xué)生打消對(duì)數(shù)學(xué)思想的畏懼心理

分類思想并不需要像數(shù)學(xué)公式那樣死記硬背，而是要在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候，去體會(huì)和感受思想方法在其中的妙用.學(xué)生剛進(jìn)入高中就遇到很多需要分類討論的問(wèn)題，很多同學(xué)對(duì)分類討論有抗拒感和畏懼感，潛意識(shí)認(rèn)為只要涉及分類討論的問(wèn)題就一定很難.然而，針對(duì)這一問(wèn)題可從心理與教學(xué)兩個(gè)層面加以解決.首先是心理上.碰到分類討論中存在的問(wèn)題，教師應(yīng)該多鼓勵(lì)學(xué)生，只要我們找到正確的學(xué)習(xí)方法，勤加練習(xí)，積累做題經(jīng)驗(yàn)，此類問(wèn)題就是十分容易的.其次，在教學(xué)中，教師可以先從一些簡(jiǎn)單的例題入手講解.

3.2 解決學(xué)生如何進(jìn)行分類的問(wèn)題

數(shù)學(xué)題目是千變?nèi)f化的，修改一個(gè)參數(shù)、一個(gè)數(shù)字，題目的解法和答案可能與原來(lái)大相徑庭.學(xué)生在解分類討論相關(guān)題目時(shí)，存在的困難基本上都是不知道如何分類，不清楚分類對(duì)象是什么，分類范圍有時(shí)候不全面，有時(shí)候又重復(fù).方法才是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.學(xué)生要學(xué)會(huì)如何分類以及如何分好類掌握分類思想的原則，仔細(xì)分析題目中的信息，才能更合理地分好類.

3.3 在教學(xué)過(guò)程中貫穿分類思想方法

在當(dāng)前教育現(xiàn)狀中，教師受應(yīng)試教育影響較大，教學(xué)缺乏針對(duì)性和合理性.有些教師只是就題論題，只關(guān)注知識(shí)本身的講解，沒(méi)有形成對(duì)應(yīng)的方法.教師應(yīng)重視分類思想在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中的滲透，重視對(duì)學(xué)生分類思想的培養(yǎng).教師不能把學(xué)習(xí)中的問(wèn)題只歸咎于學(xué)生，自身應(yīng)強(qiáng)化分類討論意識(shí)，并不斷改善其教學(xué)方式，在教學(xué)過(guò)程中貫穿分類思想方法.

4 結(jié)束語(yǔ)

分類討論是考慮問(wèn)題在每種條件下產(chǎn)生的不同結(jié)果的一種數(shù)學(xué)思想.提取問(wèn)題信息后，留下正確答案，丟棄不恰當(dāng)?shù)拇鸢福罱K得到綜合答案.分類討論思想通過(guò)將復(fù)雜問(wèn)題分解為幾個(gè)更小、更簡(jiǎn)單的問(wèn)題來(lái)降低解決復(fù)雜問(wèn)題的難度，這樣就可以更輕松地處理復(fù)雜的問(wèn)題.數(shù)學(xué)分類討論思想無(wú)處不在，不只是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，還滲透在生活和工作的方方面面.因此，分類思想的培養(yǎng)對(duì)于高中生來(lái)說(shuō)尤為重要.

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［3］ 彭恩.分類討論思想在高中數(shù)學(xué)中的研究與應(yīng)用［D］.信陽(yáng)：信陽(yáng)師范學(xué)院，2017．

［4］ 馬宗華.解析高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的分類討論思想［D］.濟(jì)南：山東師范大學(xué)，2017．

［責(zé)任編輯：李 璟］