基于BCS-KL方法的地層邊界不確定性研究

摘要：在工程建設(shè)中獲取的現(xiàn)場(chǎng)鉆孔數(shù)據(jù)有限，利用鉆孔數(shù)據(jù)解釋地下地層不可避免地存在不確定性，進(jìn)而影響樁基礎(chǔ)等工程設(shè)計(jì)的可靠性。對(duì)此，提出了從有限鉆孔數(shù)據(jù)中量化地層邊界不確定性的方法，并研究地層邊界不確定性對(duì)單樁豎向承載力特征值的影響。首先依據(jù)鉆孔數(shù)據(jù)，通過貝葉斯壓縮采樣-KL展開（BCS-KL）方法重建地層邊界，并生成大量隨機(jī)場(chǎng)數(shù)據(jù)量化地層邊界的統(tǒng)計(jì)不確定性；然后依據(jù)地層邊界數(shù)據(jù)，對(duì)單樁豎向承載力特征值進(jìn)行不確定性分析。分析結(jié)果表明：BCS-KL方法生成的大量隨機(jī)場(chǎng)數(shù)據(jù)能很好地表征地層邊界的不確定性；在鉆孔間距較大時(shí)，單樁豎向承載力特征值在95%置信區(qū)間內(nèi)相差4 660.88 kN，差距較大。通過BSC-KL方法科學(xué)評(píng)估地層邊界不確定性對(duì)單樁豎向承載力的影響，對(duì)確保工程設(shè)計(jì)可靠性具有重要意義。

關(guān) 鍵 詞：地層邊界不確定性；BCS-KL方法；鉆孔數(shù)據(jù)；單樁豎向承載力特征值

中圖法分類號(hào)：P642.4

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：ADOI：10.16232/j.cnki.1001-4179.2024.08.020

0 引 言

地質(zhì)剖面圖的繪制是巖土工程勘察工作的重要內(nèi)容。繪制地質(zhì)剖面中的地層邊界線時(shí)，往往通過鉆孔數(shù)據(jù)將地層在不同鉆孔的界面位置連接^［1］。然而，由于投入勘察資源不夠，通過現(xiàn)場(chǎng)鉆孔獲得的地層測(cè)量數(shù)據(jù)往往偏少，需要推測(cè)未測(cè)量點(diǎn)的地下地層邊界。另外，由于鉆孔設(shè)備、過程、操作人員和隨機(jī)測(cè)試的影響，鉆孔點(diǎn)位處的測(cè)量數(shù)據(jù)也存在誤差^［2-3］。因此，傳統(tǒng)方法，例如折線連接繪制的地層界面具有顯著的不確定性，這隨之會(huì)影響設(shè)計(jì)結(jié)果，從而影響工程設(shè)計(jì)的安全性。因此，評(píng)估地層邊界不確定性，量化其對(duì)工程設(shè)計(jì)的影響，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

在場(chǎng)地未勘測(cè)點(diǎn)處，通常運(yùn)用空間內(nèi)插法來預(yù)估地層性質(zhì)。普通克里金法是應(yīng)用較為廣泛的方法之一，它運(yùn)用半變異函數(shù)對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)的空間結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模^［4-5］。但是，測(cè)量數(shù)據(jù)量對(duì)半變異函數(shù)的準(zhǔn)確性有顯著影響，當(dāng)測(cè)量數(shù)據(jù)稀疏時(shí)，半變異函數(shù)可能給出不可靠的估計(jì)^［6］。另外，馬爾科夫鏈方法也常用于模擬二維地層邊界的不確定性。但基于小樣本鉆孔數(shù)據(jù)時(shí)，馬爾科夫鏈方法在估計(jì)地層變換的轉(zhuǎn)移概率時(shí)較為困難。因此，在傳統(tǒng)方法中基于小樣本測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行地層邊界不確定性分析較為困難^［7-8］。本文提出的貝葉斯壓縮采樣法（Bayesian compressive sampling，BCS），能夠用非常少的測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)重建一個(gè)完整的信號(hào)，克服了上述方法的缺點(diǎn)，還提供了量化與解釋地層統(tǒng)計(jì)不確定性的方法。另外，概率巖土設(shè)計(jì)和分析需要使用隨機(jī)場(chǎng)發(fā)生器，本文采用BCS-Karhunen Loeve展開法，其BCS-KL隨機(jī)場(chǎng)發(fā)生器能夠從有限的測(cè)量數(shù)據(jù)中生成大量隨機(jī)場(chǎng)樣本。

基于BCS-KL方法能很好地從稀疏測(cè)量數(shù)據(jù)中重建地層邊界，生成的大量模擬隨機(jī)場(chǎng)數(shù)據(jù)可以合理、客觀地給出稀疏測(cè)量數(shù)據(jù)引起的統(tǒng)計(jì)不確定性。本文利用江西新余二期電廠勘察資料重建地層邊界，并驗(yàn)證該方法的可行性。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究不同鉆孔數(shù)據(jù)下地層邊界不確定性對(duì)單樁豎向承載力特征值的影響。

1 BCS-KL方法

BCS是對(duì)壓縮采樣的概率擴(kuò)張，它能夠從測(cè)量的部分信號(hào)中重建完整的信號(hào)。壓縮采樣技術(shù)基于許多自然界的信號(hào)可以被“壓縮”的原理，換言之，自然界的信號(hào)能利用有限個(gè)基函數(shù)的加權(quán)求和來簡(jiǎn)明地表示^［9］。在數(shù)學(xué)上，當(dāng)一個(gè)信號(hào)被定義為隨時(shí)間或空間變化的物理量時(shí)，它可以用一個(gè)長(zhǎng)度為N的列向量f表示。將待測(cè)地層信號(hào)用N個(gè)存儲(chǔ)于向量f的離散點(diǎn)表示，并將其表達(dá)成一組基函數(shù)的加權(quán)求和形式：

式中：f是待測(cè)的地層數(shù)據(jù)；B是一個(gè)N×N的固定正交矩陣，B的每一列代表一個(gè)預(yù)先指定的基函數(shù)，如小波函數(shù)。需要指明的是，B是獨(dú)立于f的，它可以很容易地使用軟件構(gòu)造，如在線免費(fèi)軟件WAVELET850，可將其作為MATLAB函數(shù)以方便利用。ω_s是一個(gè)長(zhǎng)度為N的權(quán)重向量，ω_s的每個(gè)元素代表與B對(duì)應(yīng)列或基函數(shù)相關(guān)聯(lián)的一個(gè)權(quán)重系數(shù)。由于f的可壓縮性，ω_s的大部分元素的量級(jí)非常小或幾乎為零。因此，如果使用稀疏地層數(shù)據(jù)y可以識(shí)別和估計(jì)ω_s中的非平凡系數(shù)（即具有顯著大量級(jí)的系數(shù)），信號(hào)f可以近似重構(gòu)。y是一個(gè)長(zhǎng)度為M的列向量，M＜N，y可以表示為

式中：Ψ為M×N的位置矩陣，它能反映采樣點(diǎn)（即鉆孔位置）在待測(cè)地層向量f中的位置；A=ΨB是維數(shù)為M×N的矩陣。

利用地層數(shù)據(jù)y推斷權(quán)重向量ω_s，根據(jù)貝葉斯公式，推斷ω_s服從多元學(xué)生t分布，其均值μ（ω_s）和協(xié)方差Covω_s計(jì)算如下

式中：H=（A^TA+D）^-1，A為M×N矩陣且滿足A=ΨB；D為對(duì)角矩陣，對(duì)角元素D_ii=α_i=1μ²（ω_si）（M+2c）/（y^TC^-1y+2d）+H_ii （i=1，2，…，N），且c和d為非負(fù)常數(shù)，α_i可以通過使地層數(shù)據(jù)y的似然概率最大而估計(jì)得到；c_n=M2+c；d_n=d+（y^T?μ^T（ω_s）H^-1μ（ω_s））/2；C^-1=（I+AD^-1A^T）^-1，其中I為M×M的單位矩陣。讀者可參考文獻(xiàn)［10］了解更多細(xì)節(jié)。然后，根據(jù)公式（1），利用基本概率論計(jì)算地層信號(hào)f的平均值μf︿和協(xié)方差Covf︿

式中：均值μf︿表示地層信號(hào)沿水平方向的空間變異性，協(xié)方差Covf︿ 矩陣的對(duì)角元素表示均值μf︿ 統(tǒng)計(jì)不確定性，非對(duì)角元素則表示地層信號(hào)沿水平方向在兩個(gè)不同位置上的相關(guān)性。

KL方法是基于隨機(jī)過程協(xié)方差函數(shù)譜分解的序列展開方法，該方法能得到較高的計(jì)算精度和計(jì)算效率。KL展開表明，一個(gè)隨機(jī)函數(shù)可以用一組完整的具有相應(yīng)隨機(jī)變量的確定性函數(shù)表示。它是由Spanos^［11］提出的，作為表示隨機(jī)場(chǎng)的一種方法。在KL展開的情況下，給定地層信號(hào)f的平均值μf︿和協(xié)方差Covf︿，將協(xié)方差Covf︿相似對(duì)角化

式中：U是Covω_s的N×N特征矩陣；Covω_sd為對(duì)角矩陣；V為Covf︿ 的特征矩陣。將地層信號(hào)f用Karhunen-Loeve級(jí)數(shù)展開，近似地表示為

式中：λ（ω_si）為Covf︿ 的特征值；v_i為矩陣V的列向量，即Covf︿ 的特征向量；z為相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的向量；z_i為z中的元素。將式（8）中得到的級(jí)數(shù)展開式在前S個(gè)特征值處截?cái)?，?/p>

式中：利用蒙特卡洛模擬隨機(jī)生成多組相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的向量z，即可獲得大量模擬的地層信號(hào)。

2 BCS-KL方法應(yīng)用結(jié)果

在獲取地層邊界后，以單樁豎向承載力特征值作為量化地層邊界不確定性對(duì)工程設(shè)計(jì)影響的指標(biāo)，計(jì)算不同邊界條件下單樁豎向承載力特征值^［12］，公式為

式中：R_a為單樁豎向承載力特征值；q_pa、q_sia為樁端端阻力、樁側(cè)阻力特征值；A_p為樁底端橫截面面積；u_p為樁身周長(zhǎng)；l_i為第i層巖土層厚度。

該電廠擬建場(chǎng)地原始地貌屬于丘陵地貌，主要由剝蝕殘丘及丘間洼地組成。場(chǎng)地內(nèi)出露地層包括大面積深厚的人工素填土（Q₄^ml）、坡積粉質(zhì)黏土（Q₄^dl）、殘積粉質(zhì)黏土（Q₂^el）和震旦系神山組上段（Pt₃sh²）千枚巖。千枚巖千枚理發(fā)育，通過現(xiàn)場(chǎng)地質(zhì)調(diào)查，巖層產(chǎn)狀為270°～285°∠13°～25°，呈單斜產(chǎn)出。該場(chǎng)地經(jīng)歷數(shù)個(gè)不同形式的構(gòu)造運(yùn)動(dòng)，各種形式的構(gòu)造在空間上相互迭加，形成一套淺陸海相沉積巖及變質(zhì)巖構(gòu)造，后經(jīng)過多次構(gòu)造運(yùn)動(dòng)后相變劇烈，場(chǎng)地內(nèi)巖層界面復(fù)雜。

在該場(chǎng)地內(nèi)，按照風(fēng)化程度不同，千枚巖分為全風(fēng)化、強(qiáng)風(fēng)化、中等風(fēng)化和微風(fēng)化千枚巖，包含場(chǎng)地內(nèi)大部分巖層的典型鉆孔巖心如圖1所示。其中中等風(fēng)化千枚巖為地基主要持力層，其上界面在所有鉆孔中被揭露。本文選取了兩條直線布置的線性鉆孔數(shù)據(jù)，兩者相距較遠(yuǎn)且中等風(fēng)化千枚巖上界面的波動(dòng)程度相差較大。樣本1直線距離為280 m，鉆孔數(shù)量為14個(gè)，鉆探點(diǎn)平均間距為20 m，其地層剖面圖如圖2所示；樣本2直線距離200 m，鉆孔數(shù)量為16個(gè)，鉆探點(diǎn)平均間距為12.5 m。

本文對(duì)場(chǎng)地內(nèi)中等風(fēng)化千枚巖上界面進(jìn)行地層邊界不確定性研究，結(jié)果如圖3所示。從圖中可以看出，兩條中等風(fēng)化千枚巖上界面的地層邊界信號(hào)的波動(dòng)尺度差異較大。樣本1的鉆孔數(shù)據(jù)較稀疏，地層邊界信號(hào)波動(dòng)速度更快，信號(hào)更復(fù)雜；樣本2的鉆孔數(shù)據(jù)較密集，地層邊界信號(hào)波動(dòng)速度更小，信號(hào)更簡(jiǎn)單。本文用BCS-KL方法以128個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)表示地層邊界，模擬生成1 000個(gè)地層邊界隨機(jī)場(chǎng)，所有隨機(jī)場(chǎng)的均值確定為重建地層邊界?？梢钥闯?，重建地層邊界幾乎捕獲了測(cè)量數(shù)據(jù)的所有局部變化，兩者的吻合度較好。地層邊界隨機(jī)場(chǎng)信號(hào)在重建地層邊界周圍波動(dòng)，表征地層邊界的可能情況。樣本1的95%置信區(qū)間寬度比樣本2的大，是因?yàn)闃颖?的鉆孔數(shù)據(jù)可以描述樣本2的大部分特征，而樣本1則需要更多的數(shù)據(jù)。

樣本2的鉆探點(diǎn)間距較小，重建地層邊界與測(cè)量數(shù)據(jù)接近，將重建地層邊界假設(shè)為“真實(shí)”地層邊界，研究鉆孔數(shù)據(jù)量M對(duì)地層邊界解釋和地層不確定性表征的影響。本文在樣本2的200 m研究范圍內(nèi)，均勻地選取“真實(shí)”地層邊界值為鉆孔數(shù)據(jù)，考慮M=8、M=40和M=128三種情況，結(jié)果如圖4所示。從圖中可以看出，隨著鉆孔數(shù)據(jù)量的增大，重建地層邊界與“真實(shí)”情況越來越接近，95%置信區(qū)間寬度越來越小，直到完全重疊。因此，鉆孔數(shù)據(jù)量與地層邊界的不確定性呈負(fù)相關(guān)，利用BCS-KL方法可以很好地從測(cè)量數(shù)據(jù)中重建地層邊界信號(hào)，并量化地層邊界的不確定性。

3 單樁豎向承載力特征值不確定性研究

根據(jù)廠址區(qū)地基巖土的埋藏條件、巖土特性、建（構(gòu)）筑物的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)以及當(dāng)?shù)氐慕ㄖ?jīng)驗(yàn)，選擇鉆孔灌注樁加固地基。為了進(jìn)一步量化地層邊界不確定性對(duì)工程設(shè)計(jì)的影響，選取圖3樣本1和樣本2中95%置信區(qū)間寬度較大處的鉆孔數(shù)據(jù)，進(jìn)行單點(diǎn)處單樁豎向承載力特征值不確定性研究。選擇的鉆孔編號(hào)為CF065（情景1）和MC076（情景2），分別位于樣本1的高程241.3 m和樣本2的高程33.1 m位置處，情景1相比情景2的地層波動(dòng)性更大，其勘測(cè)數(shù)據(jù)如表1所列。

場(chǎng)地采用的鉆孔灌注樁樁徑一般為0.8～1.2 m，樁端放入中等風(fēng)化千枚巖1～5 m。本文以樁徑1.2 m，放入中等風(fēng)化千枚巖2.5 m進(jìn)行研究，僅考慮中等風(fēng)化千枚巖上界面的地層不確定性對(duì)單樁豎向承載力的影響。利用BCS-KL方法計(jì)算1 000組中等風(fēng)化千枚巖上界面數(shù)據(jù)，其直方圖和累積分布函數(shù)結(jié)果如圖5所示，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2所列?？偟膩碚f，地層邊界的統(tǒng)計(jì)不確定性主要源于地層邊界不確定性，地層邊界的統(tǒng)計(jì)不確定性明顯受到鉆孔間距的影響。在鉆孔間距較小時(shí)（情景2），模擬地層邊界的分布范圍、標(biāo)準(zhǔn)差和置信區(qū)間寬度都較小，地層邊界的統(tǒng)計(jì)不確定性較小。

根據(jù)公式（10）計(jì)算的單樁豎向承載力特征值統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖6所示。從圖中可以看出，情景1單樁豎向承載力特征值范圍為4 205.1～11 568.75 kN，分布范圍更寬；情景2單樁豎向承載力特征值的分布范圍為3 333.63～6 230.65 kN，分布范圍更窄。情景1鉆孔間距為20 m，情景2鉆孔間距為12.5 m，這表明單樁豎向承載力特征值的統(tǒng)計(jì)不確定性隨著鉆孔間距的減小而減小。情景1單樁豎向承載力特征值的標(biāo)準(zhǔn)差為1 189 kN，95%置信區(qū)間為5 227.26～9 888.14 kN，95%置信區(qū)間寬度為4 660.88 kN；情景2單樁豎向承載力特征值的標(biāo)準(zhǔn)差為470.85 kN，95%置信區(qū)間為3 770.60～5 613.00 kN，95%置信區(qū)間寬度為1 842.40 kN。

兩種情況對(duì)比可以看出，單樁豎向承載力特征值統(tǒng)計(jì)不確定性受到鉆孔間距的影響較大，在鉆孔間距較大的情景1中，95%置信區(qū)間寬度較大，單樁豎向承載力特征值的不確定性較大。假設(shè)以均值7557.7 kN作為單樁豎向承載力標(biāo)準(zhǔn)值，95%置信區(qū)間內(nèi)的單樁豎向承載力最大差距為2330.44 kN，對(duì)于工程建設(shè)中鉆孔灌注樁的設(shè)計(jì)具有很大的影響。在設(shè)計(jì)鉆孔灌注樁埋深時(shí)，根據(jù)上部建筑物荷載確定單樁豎向承載力標(biāo)準(zhǔn)值，提前評(píng)估主要持力層的地層邊界不確定性對(duì)單樁豎向承載力的影響，預(yù)留相應(yīng)的承載力差值，對(duì)于鉆孔灌注樁的設(shè)計(jì)具有重要意義。

4 結(jié) 論

本文以江西新余某電廠擬建場(chǎng)地為實(shí)例，依據(jù)場(chǎng)地內(nèi)兩條鉆孔路線的勘測(cè)數(shù)據(jù)，通過BCS-KL方法對(duì)中等風(fēng)化千枚巖的地層上界面進(jìn)行地層邊界隨機(jī)場(chǎng)模擬，量化了地層邊界的統(tǒng)計(jì)不確定性，并對(duì)單樁豎向承載力特征值進(jìn)行不確定性研究。

（1）依據(jù)鉆孔數(shù)據(jù)，BCS-KL方法能很好地從稀疏鉆孔數(shù)據(jù)中重建地層邊界，并量化地層邊界的統(tǒng)計(jì)不確定性。

（2）隨著鉆孔間距的減小，獲取的地層邊界測(cè)量數(shù)據(jù)增多，BCS-KL方法生成地層邊界隨機(jī)場(chǎng)數(shù)據(jù)的95%置信區(qū)間寬度減小，重建地層邊界能更好地捕捉地層邊界的變化特征。

（3）單樁豎向承載力特征值的統(tǒng)計(jì)不確定性隨著鉆孔間距的減小而減小。在本文鉆孔間距較大的路線中，95%置信區(qū)間內(nèi)的單樁豎向承載力最小值與其均值相差2 330.44 kN，對(duì)工程建設(shè)中基礎(chǔ)的設(shè)計(jì)具有較大影響。通過BCS-KL方法提前評(píng)估地層邊界不確定性對(duì)單樁豎向承載力的影響，對(duì)于工程建設(shè)具有重要意義。

參考文獻(xiàn)：

［1］李其虎.兩河口水電站庫(kù)區(qū)特大橋邊坡穩(wěn)定性復(fù)核與治理［J］.人民長(zhǎng)江，2023，54（2）：159-164.

［2］PHOON K K，KULHAWY F H.Characterization of geotechnical variability［J］.Canadian Geotechnical Journal，1999，36（4）：612-624.

［3］程平，王林峰，任青陽(yáng)，等.三峽水庫(kù)消落帶巖質(zhì)邊坡穩(wěn)定可靠度分析［J］.人民長(zhǎng)江，2020，51（3）：113-118.

［4］楊陽(yáng)，李颯，何福耀，等.半變異函數(shù)及取樣間距對(duì)克里金法在海洋地層分析中的影響研究［J］.工程地質(zhì)學(xué)報(bào)，2019，27（4）：794-802.

［5］李曉軍，張振遠(yuǎn).基于指示和普通克里金的不連續(xù)地層厚度估計(jì)方法［J］.巖土力學(xué)，2014，35（10）：2881-2887.

［6］LIU L L，WANG Y.Quantification of stratigraphic boundary uncertainty from limited boreholes and its effect on slope stability analysis［J］.Engineering Geology，2022，306：107295.

［7］鄧志平，李典慶，曹子君，等.考慮地層變異性和土體參數(shù)變異性的邊坡可靠度分析［J］.巖土工程學(xué)報(bào)，2017，39（6）：986-995.

［8］祁小輝，李典慶，曹子君，等.考慮地層變異的邊坡穩(wěn)定不確定性分析［J］.巖土力學(xué)，2017，38（5）：1385-1396.

［9］ZHAO T，WANG Y.Statistical interpolation of spatially varying but sparsely measured 3D geo-data using compressive sensing and variational bayesian inference［J］.Mathematical Geosciences，2021，53（6）：1171-1199.

［10］WANG Y，ZHAO T，PHOON K K.Direct simulation of random field samples from sparsely measured geotechnical data with consideration of uncertainty in interpretation［J］.Canadian Geotechnical Journal，2018，55（6）：862-880.

［11］SPANOS P D，GHANEM R.Stochastic finite element expansion for random media［J］.Journal of Engineering Mechanics，1989，115（5）：1035-1053.

［12］中華人民共和國(guó)住房和城鄉(xiāng)建設(shè)部.建筑樁基技術(shù)規(guī)范：JGJ 94-2008［S］.北京：中國(guó)建筑工業(yè)出版社，2008.

（編輯：鄭 毅）

Uncertainty analysis on stratigraphic boundary based on BCS-KL method

ZHANG Jiulong，ZHANG Jun，TAO Yongzhi，LI Bingbing

（PowerChina Jiangxi Electric Power Design Institute Co.，Ltd.，Nanchang 330096，China）

Abstract：Due to the limited borehole data obtained during constructions，it is inevitable to interpret the underground stratigraphic boundary with uncertainty，which affects the design reliability of pile foundation and other engineering projects.In this paper，a method was proposed to quantify the uncertainty of stratigraphic boundary with limited borehole data，and the influence on the characteristic value of the vertical bearing capacity of a single pile was discussed.Firstly，based on the borehole data from a power plant，the stratigraphic boundary was reconstructed and a large number of random field data was generated to quantify the statistical uncertainty of the stratigraphic boundary by Bayesian compressive sampling-KL expansion （BCS-KL） method；then，according to the stratigraphic boundary data，the uncertainty analysis on the characteristic value of vertical bearing capacity of a single pile was carried out.The results showed that a large amount of random field data generated by the BCS-KL method can well characterize the uncertainty of the stratigraphic boundary;when the borehole spacing was sparse，the characteristic value of vertical bearing capacity of single pile has difference of 4 660.88 kN in the 95% confidence interval，showing great difference.It is of great significance to evaluate the influence of stratigraphic boundary uncertainty on the characteristic value of the vertical bearing capacity of a single pile for engineering design by BSC-KL method.

Key words：stratigraphic boundary uncertainty; BCS-KL method; borehole data；characteristic value of the vertical bearing capacity of a single pile