新課標理念下“數(shù)與運算一致性”教學初探

計數(shù)單位是建構數(shù)的概念的基礎，整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)與計數(shù)單位息息相關。計數(shù)單位也是學生理解運算算理的基礎，四則運算可視為計數(shù)單位的累加、遞減、分解和組合。聚焦新課標理念下小學數(shù)學“數(shù)與運算”結構化主題教學，結合“計數(shù)單位”這一核心概念整體設計教學活動，幫助學生理解“數(shù)的認識”與“數(shù)的運算”的本質(zhì)，感悟數(shù)與運算的整體性與一致性，培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

計數(shù)單位；數(shù)的認識；數(shù)的運算；一致性

張麗娟（1986—），女，江蘇省蘇州市吳中區(qū)郭巷實驗小學。

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出，要感悟、體會數(shù)的概念的一致性、數(shù)的運算的一致性、數(shù)與運算的一致性。從數(shù)的概念看，數(shù)是由多個計數(shù)單位組成的；從運算的意義看，加法是一切運算的基礎，所有運算都可以理解為相同計數(shù)單位個數(shù)的累加或遞減。因此，計數(shù)單位是建構數(shù)的概念的基礎，計數(shù)單位也是學生理解運算算理的關鍵，計數(shù)單位是溝通“認數(shù)”與“算數(shù)”的橋梁。在實際教學中，教師要基于新課標理念整體把握核心知識，開展知識間的結構化教學，以計數(shù)單位勾連“數(shù)的認識”和“數(shù)的運算”，體現(xiàn)數(shù)與運算的一致性，加深學生對知識本質(zhì)的理解，培養(yǎng)其數(shù)學核心素養(yǎng)。

一、數(shù)與運算一致性內(nèi)涵分析

（一）數(shù)的認識一致性

在小學階段，學生對數(shù)的認識主要包括整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)。整數(shù)是從具體數(shù)量中抽象出的數(shù)，小數(shù)、分數(shù)是從具體數(shù)量及數(shù)量關系中抽象出的數(shù)。

學生首先學習的是整數(shù)，如認識整數(shù)4123，知道它是由4個“千”、1個“百”、2個“十”、3個“一”組成的；之后認識更大的數(shù)，如13987，知道千位滿十要向萬位進一。整數(shù)的計數(shù)單位包括個、十、百、千、萬等，相鄰的兩個計數(shù)單位間的進率都是10，稱為十進制計數(shù)法。

小數(shù)包含整數(shù)部分和小數(shù)部分。把“1”平均分成10份，則每份是0.1；0.1平均分成10份，每份是0.01，以此類推。小數(shù)部分的計數(shù)單位包括0.1、0.01等，10個0.01是1個0.1，同樣屬于十進制計數(shù)法。

在這三類數(shù)中，分數(shù)是相對特殊的存在。分數(shù)的意義是指將單位“1”平均分成若干份，表示其中的一份或幾份。分數(shù)的計數(shù)單位是分數(shù)單位，如認識分數(shù)，知道它是由7個組成的，再數(shù)1個就可以進一。因此，分數(shù)的進制不一定是滿十進一，而是滿特定的分數(shù)單位進一，與計數(shù)單位的個數(shù)有關。

綜上所述，計數(shù)單位是建構整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的關鍵，它決定了數(shù)的意義、組成、大小等，這些數(shù)本質(zhì)上是一個整體，具有一致性。學生在學習過程中要逐漸感悟計數(shù)單位的產(chǎn)生與實際應用的緊密聯(lián)系，慢慢體會數(shù)的認識的一致性。

（二）數(shù)的運算一致性

小學階段關于“數(shù)的運算”的學習是指整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的四則運算。從四種運算間的關系出發(fā)，加法是一切運算的開始，表示部分量和部分量合起來求出總量；減法是加法的逆運算，表示從總量中拿出部分量，求出剩下的部分量；乘法的意義是“多個相同數(shù)相加”，本質(zhì)上是加法運算的簡化過程；除法是乘法的逆運算，也與減法有關，本質(zhì)上是一個數(shù)連續(xù)減去若干個相同數(shù)得到結果。由此可見，四則運算間相互勾連，教師在教學中應建立相關的知識體系，幫助學生深刻理解運算的本質(zhì)。

數(shù)的運算的一致性也是通過計數(shù)單位聯(lián)系起來的。在筆算加減法時，要注意將相同數(shù)位對齊，目的是使相同計數(shù)單位的累加或遞減準確。分數(shù)的通分，也是為了在計數(shù)單位相同的基礎上進行運算。在筆算乘法中，均是將計數(shù)單位與計數(shù)單位相乘，得到新的計數(shù)單位；計數(shù)單位的個數(shù)與計數(shù)單位的個數(shù)相乘，得到新的計數(shù)單位的個數(shù)。在筆算除法時，則是計數(shù)單位與計數(shù)單位相除，計數(shù)單位的個數(shù)與計數(shù)單位的個數(shù)相除。無論是哪一種數(shù)的運算，小數(shù)、分數(shù)的四則運算都可以和整數(shù)的四則運算建立聯(lián)系；無論哪種形式的數(shù)的運算，都是計數(shù)單位的累加、遞減、創(chuàng)生和細分這充分體現(xiàn)了數(shù)的運算的一致性。

綜上所述，數(shù)的認識和數(shù)的運算都具有一致性。數(shù)的認識是數(shù)的運算的基礎，數(shù)的運算又能更深層次地反映數(shù)的概念的形成與發(fā)展，這綜合體現(xiàn)了數(shù)與運算具有一致性。

二、數(shù)與運算一致性教學策略

基于對數(shù)與運算一致性內(nèi)涵的深度理解，教師在組織數(shù)與運算主題課程教學時，要從整體出發(fā)架構知識體系，幫助學生把握運算的本質(zhì)，從而促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的發(fā)展。下面，筆者以具體的教學實例“小數(shù)的意義和讀寫”與“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”進行闡述與說明。

（一）數(shù)的認識的一致性以“小數(shù)的意義和讀寫”為例

“小數(shù)的意義和讀寫”是蘇教版小學數(shù)學五年級上冊第三單元第1課時的教學內(nèi)容。蘇教版教材關于小數(shù)的知識共安排了四個單元，如表1所示。

在學生建立了對小數(shù)的初步認識后，“小數(shù)的意義和讀寫”能讓學生深入認識小數(shù)的本質(zhì)，為學生進一步學習小數(shù)四則運算等知識奠定基礎。教材基于學生對米、分米、厘米、毫米，以及它們之間的關系的認識，引導學生感知一位小數(shù)、兩位小數(shù)、三位小數(shù)的含義。如果停留于表面的學習，學生就只能知道小數(shù)和分數(shù)在形式上有所聯(lián)系，并不能真正體會數(shù)之間的內(nèi)在本質(zhì)聯(lián)系。因此，如何引導學生在已有的認知基礎和學習經(jīng)驗上認識小數(shù)，如何呈現(xiàn)小數(shù)、分數(shù)以及整數(shù)間的聯(lián)系，打通知識脈絡，是教師在備課中需要深入思考的問題。

1.勾連分數(shù)抽象概括0.1的意義

教師可出示研究單：0.1元表示什么？0.1米表示什么？

學生可選擇一個問題，結合研究單上的圖形進行思考并與同桌交流。學生通過展示、交流，能明白1元等于10角，1角是元，寫成小數(shù)是0.1元；1米等于10分米，1分米是米，寫成小數(shù)是0.1米。接著，教師可讓學生在正方形、正方體中分別表示出0.1，體會用具體圖形表示0.1就是將圖形平均分成10份，取其中的1份。如果用整數(shù)“1”來表示圖形，就是把“1”平均分成10份，其中的1份是0.1，表示，這就是0.1的意義。

2.數(shù)數(shù)深化一位小數(shù)的意義

教師可提出問題：在認識了0.1后，我們再來仔細觀察被平均分的正方形、正方體，你能從中找出哪個小數(shù)？它與0.1有什么聯(lián)系？

學生通過觀察、數(shù)數(shù)，能發(fā)現(xiàn)0.2里面有2個0.1，0.3里面有3個0.1……0.9里面有9個0.1。這些小數(shù)的小數(shù)部分都只有1位數(shù)，這樣的小數(shù)叫作一位小數(shù)。一位小數(shù)表示十分之幾，這就是一位小數(shù)的意義。然后，教師可讓學生繼續(xù)觀察正方形（或正方體），數(shù)一數(shù)并想一想：如果在0.9后再多數(shù)一個0.1是多少呢？學生很容易就能想到10個0.1就是“1”。在這一過程中，學生不僅能深刻理解一位小數(shù)的意義，還能明白小數(shù)和整數(shù)、分數(shù)間的聯(lián)系“數(shù)是數(shù)出來的”。

3.數(shù)的認識一致性計數(shù)單位的累加

學生通過遷移一位小數(shù)的認知方法，經(jīng)歷從“生活中的數(shù)量”到“具體的圖形”抽象概括出0.01、0.001的意義的過程，理解兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾；然后在數(shù)形結合情境中數(shù)一數(shù)、想一想，理解和歸納兩位小數(shù)、三位小數(shù)的意義。這樣的結構化學習能讓學生逐漸體會小數(shù)與整數(shù)都是“十進制”以及小數(shù)與十進分數(shù)的聯(lián)系：一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾……10個0.001（）是0.01（），10個0.01（）是0.1（），10個0.1（）是1，10個1是10……通過勾連小數(shù)、分數(shù)、整數(shù)，學生能慢慢體會數(shù)的認識的一致性，感悟“數(shù)是計數(shù)單位的累加”。計數(shù)單位是建構整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的關鍵，決定了數(shù)的意義、組成、大小等，因而整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)在本質(zhì)上是一個整體，具有一致性。

（二）數(shù)的運算的一致性以“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”為例

數(shù)的運算具有一致性，但要真正打通整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)運算之間的壁壘并非易事。學生學習整數(shù)除法之后，五年級上學期開始學習小數(shù)除法。小數(shù)除法涉及的知識點根據(jù)除數(shù)的特點總體可分為兩類，即除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法和除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法，而除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法通過商不變規(guī)律可以轉(zhuǎn)化為除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法。因此，除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法在小數(shù)除法計算教學中十分重要。教師在備課時要深入探究問題：關于整數(shù)除法的學習認知與經(jīng)驗對小數(shù)除法的學習有什么幫助？小數(shù)除法與整數(shù)除法之間到底有什么關系？

1.自主探索不同算法

在實際教學中，教師可創(chuàng)設貼合學生生活實際的問題情境：①小明去超市買4瓶養(yǎng)樂多，共花了48元，平均每瓶養(yǎng)樂多多少元？該問題可以用除法解決，學生在計算過程中需要回憶整數(shù)除法的計算方法。②小明買了3張貼畫共花了9.6元，平均每張貼畫多少元？同樣的，這個問題也屬于“等分除”的問題，可以用除法解決，列算式“9.6÷3”便可得出答案。通過觀察、對比，學生能夠發(fā)現(xiàn)這個算式與之前的算式有所不同，即被除數(shù)是小數(shù)?；诖耍處熆梢龑W生在研究單上自主探索小數(shù)除法的計算方法，并與同桌交流為什么要這樣算。

2.理解算法與算理間的聯(lián)系

在學生進行自主探索、同桌交流后，教師可組織全班展示活動。可能出現(xiàn)的算法如下：

①1元＝10角，9.6元＝96角，96÷3＝32（角），32角＝3.2元。

②9.6元＝9元6角，9元平均分成3份，每份是3元，6角平均分成3份，每份是2角，3元2角是3.2元。

③豎式計算。學生在此計算過程中可能會遇到問題：小數(shù)點的位置應該放在哪里？學生交流算法及算理：計算9.6除以3時，先將9平均分成3份，也就是9個1平均分成3份，每份是3個1，3寫在個位上；再將0.6平均分成3份，也就是6個0.1平均分成3份，每份是2個0.1，2寫在十分位上。這與整數(shù)除法的計算方法是一致的，先從高位算起，再逐一細分計數(shù)單位。

3.體會除法運算的一致性

教師可繼續(xù)提出問題：小明又買了5千克香蕉，共花了12元，平均每千克香蕉多少元？

學生列豎式計算“12÷5”時，可能產(chǎn)生兩種想法：一是根據(jù)以往的經(jīng)驗，用余數(shù)表示，得到“12÷5＝2（元）……2（元）”；二是繼續(xù)往下除，因為余下的“2元”還能繼續(xù)分，把2元看成20角，平均分成5份，每份是4角，進而得出2.4元。

這道題能讓學生進一步感悟小數(shù)除法是整數(shù)除法的延續(xù)，因為小數(shù)除法和整數(shù)除法一樣，都是先從高位算起，當高位上的數(shù)在平均分時有剩余時，再將高一級剩余的計數(shù)單位轉(zhuǎn)化為低一級的計數(shù)單位繼續(xù)細分計算下去。小數(shù)除法和整數(shù)除法的核心本質(zhì)都是十進制計數(shù)單位的不斷細分，體現(xiàn)了除法運算之間的內(nèi)在聯(lián)系，這可以讓學生感悟小數(shù)除法與整數(shù)除法運算具有整體性和一致性，建立關于除法運算的整體知識結構。

總而言之，計數(shù)單位是建構數(shù)的概念的基礎，計數(shù)單位也是學生理解運算算理的關鍵。抓住計數(shù)單位這一核心概念，使學生體會整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的意義與運算是一脈相承的，感悟數(shù)的概念的形成和發(fā)展與數(shù)的運算的一致性，進而凸顯“數(shù)與運算”主題教學的整體性與一致性，有助于學生深化對數(shù)學知識本質(zhì)的理解，建立知識之間的聯(lián)系，形成結構化的思維，從而發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)。

三、數(shù)與運算一致性教學評價分析

在讓學生感悟數(shù)與運算一致性的教學實踐中，教師切不可急于求成，尤其是新課標頒布以后，要讓學生有個慢慢適應的、循序漸進的過程。同時，教師對新課標以及教材的理解需要更透徹、更長遠，更具有目標性。比如，在幫助學生理解數(shù)的運算一致性的過程中，計算方法及原理的證明過程是培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)必不可少的環(huán)節(jié)。教師要讓學生既明白算法，又講得清算理，將算理和算法融會貫通，真正理解知識的本質(zhì)。對于課與課之間、單元與單元之間的聯(lián)系，教師要有系統(tǒng)性、整體性、發(fā)展性的認識，將零散的知識點整合在一起，幫助學生梳理知識脈絡。

從教材的教學內(nèi)容分析，由生活化的問題情境入手是使數(shù)學教學有的放矢的重要途徑，也是學生體會數(shù)學與生活密切聯(lián)系的關鍵。在讓學生感悟數(shù)與運算一致性的教學實踐中，教師可以結合生活中的實際情況，引出有價值的數(shù)學問題，讓數(shù)的呈現(xiàn)更形象、具體。在解決實際問題的過程中，必定會用到數(shù)的運算，學生結合生活情境更容易理解四則運算的意義。像這樣以生為本的教學方式，不僅能激發(fā)學生的學習興趣，也能促進學生數(shù)學素養(yǎng)的全面發(fā)展。

綜上所述，教師應當重視對教材內(nèi)容的分析和把控，深入淺出地理解小學數(shù)學教學的關鍵點，提煉并梳理出整體框架，進而引導學生體會不同數(shù)學知識之間的一致性和可遷移性，形成科學的思維習慣。

［參考文獻］

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