不等式恒成立，雙變量巧突破

摘"要：涉及“雙變量”或“雙參”的不等式恒成立的綜合問題，是新高考數(shù)學(xué)試卷中的一類考查數(shù)學(xué)“四基”與“四能”的重要應(yīng)用，場景新穎，知識交匯，內(nèi)涵豐富，解法靈活.結(jié)合一道高考模擬題，就雙變量的不等式恒成立問題中的參數(shù)的最值求解及其應(yīng)用來總結(jié)解題技巧，歸納方法策略，指導(dǎo)師生的數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí).

關(guān)鍵詞：函數(shù)；恒成立；最值；導(dǎo)數(shù)；變式

涉及“雙變量”或“雙參”的不等式恒成立問題，在近年的高考數(shù)學(xué)試題中經(jīng)常出現(xiàn).此類綜合問題往往涉及函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式等模塊知識，而對于“雙變量”或“雙參”的任意變動，無規(guī)律可循，是師生在數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)過程中感到困惑的難點之一.此類問題能力要求高，綜合性強(qiáng)，難度較大，往往是一些壓軸題的重要場景.

1"問題呈現(xiàn)

（2024年福建省廈門市高考數(shù)學(xué)第二次質(zhì)檢試卷·14）已知函數(shù)f（x）=xa－logbx（agt;0，bgt;0，且b≠1），若f（x）≥1恒成立，則ab的最小值為"""".

此題以含有雙變量的函數(shù)來創(chuàng)設(shè)場景，借助冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的差式來設(shè)置函數(shù)，并借助不等式恒成立來構(gòu)建，進(jìn)而確定雙變量的乘積的最小值.題目看似簡單，而由于雙變量之間的變化直接導(dǎo)致函數(shù)的復(fù)雜性提升，造成無法展開思路.

而實際解決問題時，可以借助含參不等式的等價轉(zhuǎn)化與變形來展開，逐步深入分析與探究，嘗試尋覓解決問題的方法；也可以借助對數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值情況進(jìn)行分類討論，主次分開，合理分析，尋找突破.當(dāng)然，沒有更好的辦法時，可以借助特殊思維.以特殊值的方法來探尋答案，有時也是一種效果不錯的技巧方法.

2"問題破解

方法1：等價轉(zhuǎn)化法.

依題，由f（x）≥1，得xa－logbx≥1.

令t=xa，ba=m（tgt;0，mgt;0，且m≠1），則原問題等價于t－1≥logmt恒成立.

由于直線y=t－1與曲線y=logmt均過點（1，0），故只需直線y=t－1與曲線y=logmt在（1，0）處相切.

對于曲線y=logmt，有y′=1tln m，則有1tln m=1，即1ln m=t.

又t－1≥logmt=tlnt恒成立，即lnt≤1－1t.

構(gòu)建函數(shù)g（t）=lnt－1－1t，tgt;0.又g′（t）=1t－1t2=t-1t2，令g′（t）=0，解得t=1，易知函數(shù)g（t）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以g（t）≥g（t）min=g（1）=0，即lnt≥1－1t.

故lnt=1－1t，此時t=1，即ln m=1，解得m=e，則ba=e，所以aln b=1，此時bgt;1，所以ab=bln b.

構(gòu)建函數(shù)h（b）=bln b，bgt;1，而h′（b）=ln b-1（lnb）2，令h′（b）=0，解得b=e，易知函數(shù)h（b）在（1，e）上單調(diào)遞減，在（e，+∞）上單調(diào)遞增，所以h（b）≥h（b）min=h（e）=e.

綜上，ab的最小值為e.

點評：根據(jù)含參不等式的恒等變形與轉(zhuǎn)化，合理引入?yún)?shù)進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，利用兩個不等式lnt≤1－1t與lnt≥1－1t同時成立的條件，構(gòu)建方程lnt=1－1t，為進(jìn)一步確定兩變量之間的關(guān)系ab=bln b奠定基礎(chǔ)，進(jìn)而通過構(gòu)建函數(shù)，利用求導(dǎo)與函數(shù)的單調(diào)性判斷來達(dá)到目的.在實際解題過程中，沒有一定的目的與方向時，往往通過等價轉(zhuǎn)化法給問題帶來曙光，多變形、多嘗試，一定會有收獲.

方法2：分類討論法.

依題知，函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）.

當(dāng)0lt;blt;1時，函數(shù)f（x）=xa－logbx在（0，+∞）上單調(diào)遞增，此時f（b）=ba－1lt;b0－1=0，不合題意.

當(dāng)bgt;1時，f′（x）=axa－1－1xln b=axxa－1alnb，令f′（x）=0，解得x0=1aln b1a，易知函數(shù)f（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+∞）上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=x0時，f（x）有極小值，也是最小值.

又f（1）≥1且f（1）=1.

所以f（x）min=f（x0）=1，

x0=1.

則x0=1aln b1a=1，可得aln b=1，所以ab=bln b.

構(gòu)建函數(shù)h（b）=bln b，bgt;1，而h′（b）=ln b-1（lnb）2，令h′（b）=0，解得b=e，易知函數(shù)h（b）在（1，e）上單調(diào)遞減，在（e，+∞）上單調(diào)遞增，所以h（b）≥h（b）min=h（e）=e.

綜上，ab的最小值為e.

點評：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的底數(shù)b的取值情況加以分類討論，討論在其不同取值情況下函數(shù)的單調(diào)性，以及與題設(shè)不等式恒成立的關(guān)系，為進(jìn)一步構(gòu)建兩變量之間的關(guān)系ab=blnb提供條件，從而實現(xiàn)雙變量代數(shù)式的最值求解.對于解決含參的函數(shù)、方程或不等式等問題，分類討論法是最為常用的一種技巧方法，關(guān)鍵就是抓住對應(yīng)的變量進(jìn)行合理的分類討論與應(yīng)用.

方法3：特殊思維法.

依題知，函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）.

當(dāng)0lt;blt;1時，函數(shù)f（x）=xa－logbx在（0，+∞）上單調(diào)遞增，此時f（b）=ba－1lt;b0－1=0，不合題意，則只能是bgt;1.

取特殊值b=e，則有f（x）=xa－logbx=xa－ln x，結(jié)合f（x）≥1恒成立，可得xa－ln x≥1恒成立，即xa≥ln x+1恒成立.

結(jié)合切線不等式有l(wèi)n x+1≤x，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時，等號成立.

當(dāng)0lt;alt;1時，ab無最小值，則只能是a≥1，而當(dāng)a=1時，顯然滿足f（x）≥1恒成立.

利用特殊思維的端點效應(yīng)有ab=ae≥e，所以ab的最小值為e，故填答案：e.

點評：用特殊思維解決問題時，有時只能確定相應(yīng)的結(jié)論，而不能進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砼c證明.以上特殊思維應(yīng)用，通過特殊值b=e，a=1，得到不等式f（x）≥1恒成立，進(jìn)而得以確定ab=e，但其是否是最小值，又為什么是最小值，則無法加以嚴(yán)謹(jǐn)說明.這也是此類方法不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牡胤?，但其對小題（選擇題或填空題）的解決，有時有奇效.

3"變式拓展

3.1"題型變式

變式1"（多選題）已知函數(shù)f（x）=xa－logbx（agt;0，bgt;0，且b≠1），若f（x）≥1恒成立，則ab的值可以是（""）.

A. 1"""B. 2"""C. e"""D. 4

該變式問題的具體解析過程，同原問題的解法與應(yīng)用，這里不多加以展開與敘述，而作為多選題的變式與創(chuàng)新考查方式，考生可根據(jù)自身情況和通過驗證法思維來驗證答案，以達(dá)到巧妙得分的目的.

3.2"深入變式

變式2"已知函數(shù)f（x）=2ln（ax+b）（a，b∈R），若直線y=x與曲線y=f（x）相切，則ab的最大值為"""".

解析：設(shè)直線y=x與曲線y=f（x）相切于點P（x0，2ln（ax0+b））.

由于f′（x）=2aax+b，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，f′（x0）=2aax0+b=1，即ax0+b=2a（agt;0）.又點P在切線y=x上，可得2ln（ax0+b）=x0，所以x0=2ln（ax0+b）=2ln 2a，b=2a－ax0=2a－2aln 2a，則有ab=2a2－2a2ln 2a（agt;0）.

結(jié)合切線不等式ln x≤xe，當(dāng)且僅當(dāng)x=e時，等號成立，所以ab=2a2－2a2ln 2a=2a2（1－ln 2a）=a2·lne2a2≤a2·e2a2·1e=e4，當(dāng)且僅當(dāng)e2a2=e，即a=e2時，等號成立.故ab的最大值為e4.

4"教學(xué)啟示

破解此類涉及“雙變量”或“雙參”的不等式恒成立問題，關(guān)鍵是通過不等式恒成立的等價變形與轉(zhuǎn)化，或消元（分主元與次元）處理，或整體（雙變量的代數(shù)式作為一個整體）代換，或巧妙構(gòu)建（構(gòu)建對應(yīng)的函數(shù)等形式）等，這些都是破解此類問題的常見技巧方法與解題思路.

涉及“雙變量”或“雙參”的綜合問題，成為近年高考數(shù)學(xué)試卷中的熱門與難點問題之一.這類問題形式多樣，變化多端，同時交匯融合的數(shù)學(xué)基本知識點比較多，對數(shù)學(xué)思維與思想方法的要求比較高，具有較好的選拔性與區(qū)分度.同時，借助此類綜合問題的應(yīng)用，可以很好地考查學(xué)生思維的發(fā)散性、創(chuàng)新性與開拓性，讓學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)解題習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).