含參不等式恒成立，巧思維妙技巧應(yīng)用

摘"要：含參不等式恒成立的綜合問題，是新高考數(shù)學(xué)試卷中一個考查數(shù)學(xué)“四基”與“四能”的重要應(yīng)用場景，內(nèi)涵豐富，知識交匯，解法靈活.結(jié)合一道高考模擬題，就含參不等式恒成立問題中參數(shù)取值范圍的求解及其應(yīng)用的問題，總結(jié)解題技巧，歸納方法策略，并指導(dǎo)師生的數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)以及解題研究.

關(guān)鍵詞：函數(shù)；不等式；恒成立；取值范圍；導(dǎo)數(shù)

含參不等式恒成立問題，包含含參場景下的函數(shù)、方程或不等式等的綜合應(yīng)用，一直是高考命題中的重點與熱點.此類問題形式多樣，變化多端，可以以小題（選擇題或填空題）形式出現(xiàn)，也可以以解答題形式出現(xiàn)，內(nèi)涵豐富多彩，知識綜合性強.同時，此類問題的解題技巧與方法靈活多變，是全面考查考生“四基”與“四能”的一個很好的場景，具有較好的選拔性與區(qū)分度，備受各方關(guān)注.

1"問題呈現(xiàn)

（2024·東北三校一模）已知函數(shù)f（x）=e2x－e－2x－ax，若x≥0時，恒有f（x）≥0，則實數(shù)a的取值范圍是（""）.

A. （－∞，2］"""B. （－∞，4］

C. ［2，+∞）"""D. ［4，+∞）

此題以含參的指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的線性關(guān)系來構(gòu)建復(fù)合函數(shù)，借助自變量取值范圍限制下相應(yīng)的不等式恒成立問題來設(shè)置場景，進而確定相應(yīng)參數(shù)的取值范圍.

解決此類含參的函數(shù)、方程或不等式的綜合應(yīng)用問題時，經(jīng)常借助參數(shù)的全分離或半分離來切入，還可以通過端點處的取值情況利用端點效應(yīng)法求解，也可以利用參數(shù)取值的分類討論法來解決，這些都是破解此類綜合應(yīng)用問題時比較常見的思維方式，也是解決問題的基本切入點.

2"問題破解

方法1：分離參數(shù)法.

當(dāng)x=0時，恒有f（x）≥0，即a∈R.

當(dāng)xgt;0時，因為恒有f（x）=e2x－e－2x－ax≥0，分離參數(shù)，得a≤e2x-e-2xx.

令函數(shù)g（x）=e2x-e-2xx，xgt;0.

則g′（x）=e4x（2x-1）+2x+1x2e2x.

令函數(shù)h（x）=e4x（2x－1）+2x+1，h（0）=0，則h′（x）=2e4x（4x－1）+2，h′（0）=0，h″（x）=32xe4xgt;0，所以導(dǎo)函數(shù)h′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則有h′（x）gt;h′（0）=0，所以函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則有h（x）gt;h（0）=0，即g′（x）gt;0，

所以函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.又當(dāng)x→0+時，g（x）→2e2x+2e-2x1x=0=4，所以g（x）gt;4，即a≤4.

綜上，實數(shù)a的取值范圍是（－∞，4］.

點評：對于含參不等式的恒成立問題，分離參數(shù)是解決問題中比較常用的一種思維方式.而分離參數(shù)后，經(jīng)常通過構(gòu)建新函數(shù)，借助函數(shù)的求導(dǎo)、導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況以及函數(shù)的單調(diào)性來確定對應(yīng)函數(shù)的極值或最值，從而實現(xiàn)參數(shù)的最值（或取值范圍）的確定.在實際使用分離參數(shù)法解題時，往往離不開多次求導(dǎo)以及洛必達(dá)法則等的綜合應(yīng)用.

方法2：分類討論法.

依題意，得函數(shù)f（x）=e2x－e－2x－ax，x≥0，有f（0）=0，

則f′（x）=2e2x+2e－2x－a，f′（0）=4－a.

（1）當(dāng)a≤4時，f′（x）≥0，此時函數(shù)f（x）在［0，+∞）上單調(diào)遞增，所以f（x）≥f（0）=0恒成立，滿足題意.

（2）當(dāng)agt;4時，f′（0）=4－alt;0，f″（x）=4e2x－4e－2x在［0，+∞）上單調(diào)遞增，f″（0）=0，所以導(dǎo)函數(shù)f′（x）在［0，+∞）上單調(diào)遞增.又x→+∞時，f′（x）→+∞，所以存在x0gt;0，使得f′（x0）=0，且當(dāng)x∈（0，x0）時，f′（x）lt;0，所以此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，所以f（x）lt;f（0）=0，不符合題意.

綜上，實數(shù)a的取值范圍是（－∞，4］.

點評：對于含參不等式的恒成立問題，利用函數(shù)求導(dǎo)或代數(shù)式的變形轉(zhuǎn)化，合理選取參數(shù)的值進行分類討論.分類討論法是解決含參的函數(shù)、方程或不等式等問題中最為常見的一種技巧方法，關(guān)鍵是選取合適的參數(shù)取值進行分析與討論.

方法3：端點效應(yīng)法.

依題意，得函數(shù)f（x）=e2x－e－2x－ax，x≥0，則f′（x）=2e2x+2e－2x－a.

由于f（0）=0，則有f′（0）=4－a≥0，解得a≤4.由于導(dǎo)函數(shù)f′（x）在［0，+∞）上單調(diào)遞增，所以a≤4時顯然成立.

當(dāng)agt;4時，存在x0gt;0，使得f′（x0）=0，且當(dāng)x∈（0，x0）時，f′（x）lt;0，所以此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，所以f（x）lt;f（0）=0，與題設(shè)矛盾.

綜上，實數(shù)a的取值范圍是（－∞，4］.

點評：對于含參不等式的恒成立問題，對于端點處的取值情況，借助端點效應(yīng)法往往是解決此類問題的一種“巧技妙法”，可以優(yōu)化解題過程，減少解題步驟，實現(xiàn)問題的最優(yōu)處理.端點效應(yīng)法的關(guān)鍵就是確定相應(yīng)的端點值，并結(jié)合端點值的取值情況進行必要的邏輯推理與數(shù)學(xué)運算，以實現(xiàn)參數(shù)的最值（或取值范圍）的確定與應(yīng)用等.

方法4：數(shù)形結(jié)合法.

依題意，恒有f（x）=e2x－e－2x－ax≥0，半分離參數(shù)，得e2x－e－2x≥ax.

令函數(shù)g（x）=e2x－e－2x，x≥0，則g′（x）=2e2x+2e－2xgt;0，所以函數(shù)g（x）在［0，+∞）上單調(diào)遞增.

又g″（x）=4e2x－4e－2x≥0，x≥0，則知函數(shù)g（x）為下凹函數(shù)，且函數(shù)g（x）在x=0處的切線斜率為4.數(shù)形結(jié)合可知，a≤4.

所以實數(shù)a的取值范圍是（－∞，4］.

點評：對于含參不等式的恒成立問題，半分離參數(shù)也是解決問題時的一種基本技巧方法.通過半分離參數(shù)，利用兩個函數(shù)圖象之間的位置關(guān)系，通過數(shù)形結(jié)合法來處理，解決問題更加直觀形象，處理起來有時更加簡捷.數(shù)形結(jié)合法離不開對應(yīng)函數(shù)圖象的基本特征，如函數(shù)的凹凸性、單調(diào)性等.

3"教學(xué)啟示

3.1"總結(jié)方法，歸納策略

解決此類含參不等式恒成立問題，最為常見的技巧方法有以下幾種.

（1）函數(shù)思維視角.其基本技巧策略是恒等變形對應(yīng)的不等式，分離參數(shù)并合理構(gòu)建函數(shù)，借助函數(shù)的圖象與基本性質(zhì)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等的應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與最值來巧妙轉(zhuǎn)化.

（2）不等式思維視角.其基本技巧策略是恒等變形對應(yīng)的不等式，基于分離參數(shù)的基礎(chǔ)，借助不等式的基本性質(zhì)或重要不等式（包括基本不等式、切線不等式等）的放縮，從不等式角度分析與應(yīng)用.

（3）數(shù)形直觀思維.其基本技巧策略是通過代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征與幾何意義等，構(gòu)建與之相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型（函數(shù)、三角函數(shù)、直線斜率等），依托對應(yīng)模型的圖象，數(shù)形結(jié)合地分析與轉(zhuǎn)化.

當(dāng)然，解決此類含參不等式恒成立問題時，應(yīng)因題而異，選取合適的思維角度切入，結(jié)合對應(yīng)的知識加以綜合分析與巧妙解決.

3.2"交匯思想，提升能力

涉及含參不等式恒成立問題，可以很好地融合函數(shù)與方程、不等式、三角函數(shù)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等相關(guān)的基礎(chǔ)知識，契合高考“在知識交匯點處命題”的指導(dǎo)精神，成為考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、思想方法、基本能力等方面一個比較突出的知識點.

同時，在處理此類含參不等式恒成立問題時，可以巧妙滲透函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論以及數(shù)形結(jié)合等基本數(shù)學(xué)思想方法，技巧方法多變，這需要我們在教學(xué)與學(xué)習(xí)過程中，不斷去分析、理解、領(lǐng)悟、體會與總結(jié)，并且對于鍛煉學(xué)生的綜合解題能力與邏輯推理能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、創(chuàng)造性等都有著非常獨特的作用.