基于個體CPFS結(jié)構(gòu)的復(fù)習課教學(xué)設(shè)計

摘"要：數(shù)學(xué)概念教學(xué)是指在數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過引導(dǎo)學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)概念，將數(shù)學(xué)知識組成一系列有意義的命題進行教學(xué).命題是數(shù)學(xué)中的基本單位，概念與命題教學(xué)在高中占據(jù)主要的地位.本文基于個體的CPFS結(jié)構(gòu)，給出復(fù)習等比數(shù)列通項公式的教學(xué)設(shè)計，以求讓學(xué)生學(xué)習完本課時內(nèi)容后，對等比數(shù)列的概念以及性質(zhì)有更清晰、整體的認識，幫助學(xué)生形成良好的CPFS結(jié)構(gòu)，并探索概念教學(xué)與命題教學(xué)的策略.

關(guān)鍵詞：概念教學(xué)；命題教學(xué)；CPFS結(jié)構(gòu)；等比數(shù)列

個體CPFS結(jié)構(gòu)是喻平教授2003年提出的，是數(shù)學(xué)學(xué)習中特有的認知結(jié)構(gòu).CPFS結(jié)構(gòu)由四個概念組成：概念域（concept field）、概念系（concept system）、命題域（proposition field）、命題系（proposition system）.［1］CPFS結(jié)構(gòu)理論從學(xué)生學(xué)習心理和數(shù)學(xué)命題自身特點出發(fā)，將學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)命題的心理過程分為三個階段：命題的獲得、命題的證明、命題的應(yīng)用.［2］其中一種教學(xué)結(jié)構(gòu)如圖1所示.

學(xué)生在學(xué)習知識時，如果能將新舊知識很好地聯(lián)系起來，形成概念域和命題域，那么他就具備良好的CPFS結(jié)構(gòu)，就能很好地運用知識或者進行知識遷移.所以教師在教學(xué)生時，要幫助學(xué)生建立完備的知識網(wǎng)絡(luò)，使學(xué)生形成良好的CPFS結(jié)構(gòu)，這樣有助于學(xué)生理解知識，培養(yǎng)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)能力.

1"教學(xué)分析

1.1"教材及學(xué)情分析

等比數(shù)列是蘇教版《普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第五冊（2012年版）》第2.3節(jié)的內(nèi)容.從本節(jié)課內(nèi)容在教材中所處的地位來看，它在數(shù)學(xué)學(xué)習過程中發(fā)揮著承上啟下的作用，它是繼等差數(shù)列后又一類特殊的數(shù)列，也是函數(shù)相關(guān)知識的進一步延伸.［4］掌握了等比數(shù)列的概念和通項公式，有利于學(xué)生進一步研究等比數(shù)列的性質(zhì)及前n項和的公式的推導(dǎo)和應(yīng)用，提高學(xué)生利用數(shù)列知識解決實際問題的能力，并起到培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的作用.

本節(jié)課的授課對象是高二學(xué)生，作為復(fù)習課，學(xué)生已經(jīng)學(xué)完了等差數(shù)列和等比數(shù)列，掌握了兩個數(shù)列的定義、通項公式、前n項和及其性質(zhì)，對于一般數(shù)列的通項及前n項和也有一定的了解.但是學(xué)生對數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系以及通項公式和求和公式的理解還停留在表面階段，對這些公式的內(nèi)在聯(lián)系還模糊不清，沒有形成結(jié)構(gòu)化的認知體系，沒有形成等比數(shù)列這個知識的概念域和命題域.因此在本節(jié)的教學(xué)中要進一步引領(lǐng)學(xué)生形成對知識的結(jié)構(gòu)化學(xué)習.

1.2"教學(xué)重難點

教學(xué)重點：等比數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)；遞推式的構(gòu)造方法.

教學(xué)難點：深化對概念的理解，對特殊遞推數(shù)列的構(gòu)造、推導(dǎo)及證明過程.

2"教學(xué)目標及教學(xué)策略分析

2.1"教學(xué)目標

（1）關(guān)鍵能力：數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理，數(shù)學(xué)運算（見表1）.

（2）數(shù)學(xué)抽象2級水平，邏輯推理2級水平，數(shù)學(xué)運算1級水平.

（3）通過等比數(shù)列在生活中的體現(xiàn)及實際應(yīng)用培養(yǎng)學(xué)生的品格與價值觀.

2.2"教學(xué)策略分析

（1）啟發(fā)式教學(xué)，以問題引領(lǐng)學(xué)生探究.

（2）引導(dǎo)學(xué)生從點到面地分析問題，將數(shù)列特殊化，研究遞推公式.

（3）從“數(shù)”的角度進行公式的推導(dǎo)，從“形”的角度對公式進行直觀解釋.

（4）引導(dǎo)學(xué)生對比、總結(jié)數(shù)列遞推式的特點，體會數(shù)學(xué)的規(guī)律美和相似美.

3"教學(xué)過程

3.1"復(fù)習回顧，梳理知識

問題1"等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義是什么？

問題2"等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式是什么？

問題3"學(xué)習一個數(shù)列，需要學(xué)習它的哪些內(nèi)容？

【設(shè)計意圖】以上三個問題，一方面是了解學(xué)生對已學(xué)知識的掌握情況，初步判斷學(xué)生是否建立了等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的聯(lián)系，另一方面是以問題鏈的形式先帶領(lǐng)學(xué)生回顧等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本定義及通項公式，為下面展示新的遞推式奠定基礎(chǔ).

3.2"展示命題，提出問題

教師在黑板上展示式子

an+1=pan+q.

【設(shè)計意圖】筆者設(shè)計教學(xué)的目標核心是幫助學(xué)生建立良好的CPFS結(jié)構(gòu)，建構(gòu)過程的起點就是要教師拋出命題或者概念，繼而開始引導(dǎo)學(xué)生探究學(xué)習.該遞推式本身的結(jié)構(gòu)以及求解通項公式的方法與等比數(shù)列密切相關(guān)，以此作為本節(jié)課研究的命題，有助于學(xué)生體會到由等比數(shù)列到類等比數(shù)列的生長過程，在學(xué)習后，建構(gòu)起等比數(shù)列的良好的CPFS結(jié)構(gòu).

問題1"黑板上的是一個怎樣的式子？

追問1"數(shù)列的遞推關(guān)系式是體現(xiàn)怎樣的關(guān)系的？

追問2"那我們之前有沒有遇到過這樣的遞推關(guān)系式呢？

【設(shè)計意圖】通過這個問題，引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)列遞推關(guān)系式和數(shù)列通項公式之間的聯(lián)系.由這個公式開始今天的授課內(nèi)容，也可以引導(dǎo)學(xué)生建立良好的個體CPFS結(jié)構(gòu)意識.

問題2"既然通過遞推關(guān)系式能夠求得數(shù)列的通項公式，那么同學(xué)們觀察一下黑板上的這個式子，它是否是我們學(xué)過的數(shù)列？能否求出它的通項公式？

【設(shè)計意圖】學(xué)生還無法通過目前掌握的數(shù)列知識求出這個數(shù)列的通項公式，但通過這個問題自然地引出了下面的探究活動，激發(fā)了學(xué)生的探究欲望與學(xué)習興趣，便于正式開展教學(xué)活動.

3.3"設(shè)置活動，觀察分析

3.3.1"活動1：遞推關(guān)系式的特點探究

問題1"大家討論完發(fā)現(xiàn)這個不是我們學(xué)過的等差或等比數(shù)列，要求它的通項公式好像無從下手，那不妨我們先簡化一下問題.大家可以觀察式子中的參數(shù)p和q，當它們?nèi)∫恍┨厥庵档臅r候，關(guān)系是否變得簡單了？比如q=0時，它是一個什么數(shù)列？

追問1"同學(xué)們還能發(fā)現(xiàn)p，q取哪些值的時候，它是一個特殊的數(shù)列呢？

【設(shè)計意圖】面對一個全新的數(shù)列或者遞推式，學(xué)生在處理起來往往會無從下手，筆者為了簡化問題，通過問題1的設(shè)置，引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般去研究問題，先由特殊情況研究式子的特點.

生1：當p=1時，式子變成了an+1=an+q，即an+1-an=q，它就是一個公差為q的等差數(shù)列.

生2：當q=0時，式子變成了an+1=pan，如果p≠0，它就是一個公比為p的等比數(shù)列.

總結(jié)：很好，我們發(fā)現(xiàn)，當p，q取一些特殊值的時候，這個關(guān)系式既可以表示等差數(shù)列，也可以表示等比數(shù)列，這是個神奇的關(guān)系式.接下來我們繼續(xù)研究，看能不能通過這些特殊的情況，找到求解這個數(shù)列通項公式的突破口.

3.3.2"活動2：數(shù)列的通項公式

例1"求解下列數(shù)列的通項.

（1）an+1=an-1，a1=2.

（2）an+1=2an，a1=2.

（3）an+1=2an-1，a1=2.

【設(shè)計意圖】通過特殊情況與一般情況的例題，引導(dǎo)學(xué)生將知識聯(lián)系起來，找尋解題的突破口.

問題1"同學(xué)們很快就求出了前兩個數(shù)列的通項，但是在求解第三個數(shù)列時遇到了問題，我們學(xué)過哪些求數(shù)列通項的方法？

學(xué)生回答：觀察歸納法、累加法、迭代法、公式法.

【設(shè)計意圖】通過數(shù)列單元的學(xué)習，學(xué)生已經(jīng)掌握了許多求解數(shù)列通項公式的方法，這些方法往往適用于某一特定類型的數(shù)列，借助問題1，旨在讓學(xué)生思考目前他們學(xué)過的這些方法能否遷移到這個數(shù)列中，促使學(xué)生對比分析不同數(shù)列的異同以及各個方法的特點，搭建知識橋梁，建立知識結(jié)構(gòu).

教師演示：第三題的公式，乍一看很難處理，但是如果它是一個等差或等比數(shù)列，我們就能很快地套用公式，直接得到它的通項.為此，教師對式子進行了變形：an+1-1=2（an-1）.

問題2"同學(xué)們觀察老師處理過的式子，有沒有發(fā)現(xiàn)什么？

學(xué)生回答：如果把{an-1}看成一個整體，那么它就是一個等比數(shù)列.

追問1"對，很好，這樣的新數(shù)列就是一個等比數(shù)列，那么通過這樣的構(gòu)造，我們能否求出原數(shù)列的通項？

學(xué)生回答：能！利用公式法求出{an-1}的通項，之后加上1就是{an}的通項.

【設(shè)計意圖】通過設(shè)置例題，讓學(xué)生感受該遞推式的構(gòu)造方法以及具體的實踐步驟，引導(dǎo)學(xué)生探究一般式的構(gòu)造方法.

問題3"看完老師講解的方法后，再結(jié)合我們之前探索的式子的特征，同學(xué)們對于求解這樣的遞推式有什么新的想法嗎？

學(xué)生回答：式子比等比數(shù)列多了一個常數(shù)項，可以構(gòu)造出一個新的等比數(shù)列.

追問1"很好，對于這樣的關(guān)系式，我們可以通過構(gòu)造新的等比數(shù)列來求通項.那么如何構(gòu)造呢？

學(xué)生回答：可以將常數(shù)項分配給相鄰兩項.

老師總結(jié)，板書演示：對于形如an+1=pan+q的遞推關(guān)系式，要求數(shù)列通項，我們采用構(gòu)造新等比數(shù)列的方法，構(gòu)造出形如bn=an+λ的等比數(shù)列，其中λ可以通過待定系數(shù)法求出，等式如下.

an+1+λ=p（an+λ）.

則有

an+1=pan+（p-1）λ，所以λ=qp-1.

最后套用公式，可以求出

bn=（a1+λ）pn-1an=（a1+λ）pn-1-λ.

【設(shè)計意圖】教師展示完整的求解過程，通過問題3并結(jié)合此前例題的講解，使學(xué)生感受命題的推導(dǎo)過程，循序漸進地獲得求解方法.通過教師總結(jié)，進一步完善了學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，在問題引導(dǎo)過程中，培養(yǎng)了學(xué)生的核心素養(yǎng)，體現(xiàn)了教學(xué)生長的目標.

3.4"深入研究，鞏固運用

練習

（1）在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=5an+8，求數(shù)列的{an}的通項公式.

（2）在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=（2-1）·（an+2），求數(shù)列的{an}的通項公式.

【設(shè)計意圖】通過例題講解和學(xué)生練習，讓學(xué)生深入理解線性遞推公式的求解及性質(zhì)的運用，促進學(xué)生思考等比數(shù)列的性質(zhì)以及構(gòu)造法的運用，幫助其掌握類等比數(shù)列的等價定義.

3.5"歸納小結(jié)，總結(jié)反思

問題1"通過以上探究學(xué)習，若數(shù)列滿足an+1=pan+q這樣的遞推關(guān)系式，它具備哪些性質(zhì)？我們又該如何求解它的通項公式呢？

教師總結(jié)：這種數(shù)列可以稱為類等比數(shù)列，等比數(shù)列只是它的一種特殊情況.在求解其通項的時候，我們可以采用構(gòu)造法來構(gòu)造等比數(shù)列，并通過待定系數(shù)法求解參數(shù).我們可以用圖2所示的關(guān)系圖來厘清它們之間的結(jié)構(gòu).

【設(shè)計意圖】通過圖示法可以直觀展現(xiàn)知識間的結(jié)構(gòu)，筆者通過畫出概念圖將數(shù)列的研究過程以及知識聯(lián)系清晰地展現(xiàn)出來，讓學(xué)生深化等比數(shù)列知識點之間的連接性，有利于學(xué)生構(gòu)建完整的CPFS結(jié)構(gòu).

問題2"求解數(shù)列的通項公式有哪些方法？

探究"課后思考一下形如這樣的an+1=pan+q·rn遞推關(guān)系式又和我們所學(xué)過的等差、等比數(shù)列有什么聯(lián)系嗎？

【設(shè)計意圖】通過問題2引導(dǎo)學(xué)生反思本節(jié)課知識建構(gòu)的過程，在探究過程中，學(xué)生可以嘗試將本節(jié)課學(xué)習新命題的方法遷移到新的命題學(xué)習中，并以此進行自我評價，是否形成了關(guān)于等比數(shù)列良好的知識結(jié)構(gòu)，能否利用該結(jié)構(gòu)獨立解決問題？

3.6"分層作業(yè)，因材施教

（1）教師根據(jù)學(xué)生掌握的程度，分層布置作業(yè)，鞏固學(xué)生本節(jié)課所學(xué)知識，作業(yè)布置要有針對性.

（2）寫一篇數(shù)學(xué)學(xué)習日記.

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生進行自我反思、自我解釋，回顧自己的學(xué)習過程，從而提升學(xué)生的素養(yǎng).

4"結(jié)束語

本文教學(xué)設(shè)計的主要目標是在幫助學(xué)生形成良好的CPFS結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上掌握所學(xué)內(nèi)容，并促進其學(xué)習能力與學(xué)習素養(yǎng)的發(fā)展.概念學(xué)習和命題學(xué)習是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)和核心，學(xué)生只有掌握好了基本概念和命題，才能進行更深入的學(xué)習探索，所以命題教學(xué)顯得尤為重要.

個體CPFS結(jié)構(gòu)充分地表征了學(xué)生進行數(shù)學(xué)概念與命題學(xué)習的認知特點，其理論對教師進行命題教學(xué)提供了有力的參考依據(jù)，同時也提出了新的要求.筆者基于該理論進行了嘗試，為復(fù)習課的設(shè)計與安排提供了新的可嘗試的路徑.

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